Czwartoklasistka Alice pyta, „Ile przekątnych jest w dziesięciokącie?”
Wspaniałe pytanie, Alice. Ale zamiast dawać ci odpowiedź na to pytanie, pokażę ci, jak możesz to sobie sama obliczyć. I nie tylko to, pokażę ci, jak możesz znaleźć odpowiedź dla dowolnego wielokąta, nawet jeśli ma 20, 50 lub 2000 boków!
Gotowa? Zacznijmy od prostego przykładu. Weźmy wielokąt, który ma 8 boków (nazywany jest ośmiokątem), jak poniżej:
Teraz, ten wielokąt, ponieważ ma 8 boków, ma również 8 wierzchołków. Wydaje się to trochę przytłaczające, aby spróbować dowiedzieć się, wszystkie przekątne, więc skupmy się tylko na jednym wierzchołku. Ile przekątnych można narysować w ośmiokącie, które zaczynają się w jednym wierzchołku?
Odpowiedź na to pytanie brzmi: pięć. Spójrz na poniższy diagram:
W tym diagramie wybrałem przekątną w lewo tuż pod górnym wierzchołkiem, i narysowałem przekątne do każdego wierzchołka, do którego mogę narysować przekątną. Do których przekątnych nie mogę narysować przekątnych? Cóż, nie mogę narysować przekątnej od wierzchołka z powrotem do niego samego, i nie mogę narysować przekątnych do dwóch wierzchołków obok tego wierzchołka (ponieważ to nie byłyby przekątne; to byłyby boki!).
Są więc trzy wierzchołki, do których nie mogę narysować przekątnych z tego wierzchołka. Osiem wierzchołków razem, minus trzy, do których nie mogę rysować, pozostawia pięć. To ważne do zapamiętania: odejmij 3 od liczby wierzchołków, a masz liczbę przekątnych, które możesz narysować z dowolnego wierzchołka.
Ale to tylko jeden wierzchołek! Możesz narysować przekątne z dowolnego wierzchołka, prawda? Jasne! W naszym ośmiokącie jest osiem wierzchołków, więc weźmy liczbę przekątnych na wierzchołek i pomnóżmy ją przez liczbę wierzchołków: 5 x 8 = 40.
Można by pokusić się o myślenie, że to jest nasza odpowiedź, ale tak nie jest. Dlaczego nie? Ponieważ policzyliśmy każdą przekątną dwa razy! Każda przekątna ma dwa wierzchołki, więc policzyliśmy ją z jednego końca i policzyliśmy ją również z drugiego końca. Aby otrzymać rzeczywistą liczbę przekątnych, musimy podzielić naszą odpowiedź przez 2. 40 / 2 = 20. W ośmiokącie jest dwadzieścia przekątnych.
Spróbujmy to rozumowanie na wielokącie, który ma 2000 boków. Nie narysuję dla ciebie wielokąta o 2000 bokach; będziemy musieli wypracować to rozumowanie bez obrazka.
- Wybierz wierzchołek. Ile przekątnych można poprowadzić z tego wierzchołka? Odpowiedź: 2000 – 3 = 1997.
- Ile jest w sumie wierzchołków? Odpowiedź: 2000
- Ile przekątnych liczymy od wszystkich wierzchołków? Odpowiedź: 1997 x 2000 = 3.994.000
- Oops! Policzyliśmy każdą przekątną dwa razy! Jak pozbyć się duplikatów? Odpowiedź: 3994000 / 2 = 1,997,000
Więc 2000-gon ma 1,997,000 przekątnych!
Po zrobieniu czegoś tak szalonego jak 2000-gon, dziesięciokąt nie powinien wydawać się tak trudny, prawda? Pomogę ci zacząć, a ty możesz skończyć to stąd. Wybrałem wierzchołek i narysowałem przekątne od tego wierzchołka.
Ile ich jest? Czy byłeś w stanie określić, ile ich jest bez patrzenia na obrazek?
Czy jesteś w stanie to określić? Mam nadzieję, że tak! Powodzenia, Alice.
Przy okazji, jest pewien wzór, którego możesz użyć; wygląda on tak: D = n(n – 3)/2. Ale szczerze mówiąc, nie oczekuję, że moi uczniowie zapamiętają go. Oczekuję, że zapamiętają, jak to tutaj rozumujemy. Jeśli zrozumiesz logikę, to jest to nawet lepsze niż posiadanie wzoru!