Pokaż uwagę mobilną Pokaż wszystkie uwagi Ukryj wszystkie uwagi
Sekcja 4-1 : Definicja
Wiesz, to zawsze jest trochę przerażające, kiedy poświęcamy całą sekcję tylko na definicję czegoś. Transformaty Laplace’a (lub po prostu transformaty) mogą wydawać się przerażające, gdy po raz pierwszy zaczynamy się im przyglądać. Jednak, jak zobaczymy, nie są one tak złe, jak może się wydawać na początku.
Zanim zaczniemy z definicją transformaty Laplace’a, musimy pozbyć się innej definicji.
Funkcję nazywamy ciągłą na przedziale, jeśli przedział ten można rozbić na skończoną liczbę podprzedziałów, na których funkcja jest ciągła na każdym otwartym podprzedziale (tj. podprzedziale bez punktów końcowych) i ma skończoną granicę w punktach końcowych każdego podprzedziału. Poniżej znajduje się szkic funkcji akordowo ciągłej.
Innymi słowy, funkcja akordowo ciągła to taka funkcja, która ma skończoną liczbę przerw w sobie i nigdzie nie wybucha do nieskończoności.
Przyjrzyjrzyjmy się teraz definicji transformaty Laplace’a.
Definicja
Załóżmy, że f(t)jest funkcją akordowo ciągłą. Transformatę Laplace’a funkcji \(f(t)\) oznaczamy jako \(\mathcal{L}left\{ {f}left( t \ i}right)} \i definiuje się jako
\
Istnieje alternatywna notacja dla transformaty Laplace’a. Dla wygody będziemy często oznaczać transformatę Laplace’a jako,
W tym alternatywnym zapisie zauważmy, że transformata jest tak naprawdę funkcją nowej zmiennej, i że wszystkie ∗ odpadną w procesie całkowania.
Teraz całka w definicji transformaty jest nazywana całką niewłaściwą i prawdopodobnie najlepiej byłoby przypomnieć sobie, jak działają tego typu całki, zanim przejdziemy do obliczania transformat.
Teraz, gdy pamiętamy, jak to zrobić, obliczmy kilka transformat Laplace’a. Zaczniemy od prawdopodobnie najprostszej do obliczenia transformaty Laplace’a.
Nie ma tu wiele do zrobienia poza włożeniem funkcji \(f(t) = 1\) do \(\eqref{eq:eq1})
Teraz, w tym momencie zauważ, że jest to nic więcej niż całka z poprzedniego przykładu z \(c = – s\). Dlatego wszystko, co musimy zrobić, to ponownie użyć całki z odpowiednim podstawieniem. W ten sposób otrzymujemy,
∗
lub, z pewnym uproszczeniem, mamy,
∗
Zauważmy, że musieliśmy nałożyć ograniczenie na ∗, aby faktycznie obliczyć transformatę. Wszystkie transformacje Laplace’a będą miały ograniczenia na ∗. Na tym etapie gry, to ograniczenie jest czymś, co zwykle ignorujemy, ale naprawdę nie powinniśmy nigdy zapomnieć, że ono tam jest.
Zróbmy jeszcze jeden przykład.
Podłącz funkcję do definicji transformaty i zrób małe uproszczenie.
Po raz kolejny zauważmy, że możemy użyć funkcji c = a – s pod warunkiem, że c = a – s. Tak więc zróbmy to.
Zróbmy jeszcze jeden przykład, który nie sprowadza się do zastosowania \u:eqref{eq:eq2}.
Jak pokazuje ten przykład, obliczanie transformat Laplace’a jest często niechlujne.
Zanim przejdziemy do następnej sekcji, musimy zrobić małą notatkę poboczną. Od czasu do czasu można spotkać się z następującą definicją transformaty Laplace’a.
Zwróć uwagę na zmianę dolnej granicy z zera na ujemną nieskończoność. W takich przypadkach prawie zawsze zakłada się, że funkcja \(f(t)\) jest w rzeczywistości zdefiniowana w następujący sposób,
\
Innymi słowy, zakłada się, że funkcja jest równa zero, jeżeli t<0. W tym przypadku pierwsza połowa całki odpadnie, ponieważ funkcja jest równa zero i wrócimy do definicji podanej w . Aby funkcja była zerowa dla t<0 stosuje się zwykle funkcję Heaviside’a. Zajmiemy się nimi w dalszej części rozdziału.
.