W XVI-wiecznej Wenecji wzory na rozwiązywanie równań były pilnie strzeżoną własnością intelektualną. Szczególnie interesujące dla eksperta od balistyki i fortyfikacji Niccolo Tartaglia były równania kwadratowe i sześcienne, które między innymi modelują zachowanie pocisków w locie. Równania te mogą kojarzyć się Wam z matematyką szkolną – równania kwadratowe mają w sobie człon x2, a sześcienne człon x3. Tartaglia i inni matematycy zauważyli, że niektóre rozwiązania wymagają pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych, i tu pojawia się problem. Liczby ujemne nie mają pierwiastków kwadratowych – nie ma takiej liczby, która pomnożona przez siebie daje liczbę ujemną. To dlatego, że liczby ujemne, gdy pomnożone razem, dają wynik dodatni: -2 × -2 = 4 (nie -4).
Tartaglia i jego rywal, Gerolamo Cardano, zauważył, że jeśli pozwolili ujemne pierwiastki kwadratowe w swoich obliczeniach, nadal mogą dać ważne odpowiedzi liczbowe (Liczby rzeczywiste, jak matematycy nazywają je). Tartaglia przekonał się o tym na własnej skórze, gdy został pokonany przez jednego z uczniów Cardano w trwającym miesiąc pojedynku na rozwiązywanie równań w 1530 roku.
- Pięć dziwnych faktów o matematyce
- Czy matematyka może pokonać terroryzm?
Matematycy używają i do reprezentowania pierwiastka kwadratowego z minus jeden. Nazywa się to jednostką urojoną – nie jest to liczba rzeczywista, nie istnieje w „prawdziwym” życiu. Możemy jednak użyć jej do znalezienia pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych. Jeśli chcę obliczyć pierwiastek kwadratowy z -4, mogę powiedzieć, że -4 = 4 × -1. Oznacza to, że pierwiastek kwadratowy z -4 to pierwiastek kwadratowy z 4 pomnożony przez pierwiastek kwadratowy z -1. W symbolach:
√-4= √4×√-1
Rok kwadratowy z 4 to 2, a pierwiastek kwadratowy z -1 to i, co daje nam odpowiedź, że pierwiastek kwadratowy z -4 to 2i. Powinniśmy również zauważyć, że -2 jest również pierwiastkiem kwadratowym z 4 z powodów podanych powyżej. Oznacza to, że pierwiastki kwadratowe z -4 są 2i i -2i.
The arytmetyka i sam początkowo stanowił przeszkodę dla matematyków. Stwierdziłem powyżej, że ujemny razy ujemny daje dodatni i jesteśmy wrodzenie zaznajomieni z ideą, że dodatni razy dodatni daje dodatni. Z jednostką urojoną, to wydaje się załamywać, z dwoma pozytywami mnożącymi się, aby dać negatyw:
i × i = i2 = -1
Również tutaj dwa negatywy mnożą się, aby dać negatyw:
-i × -i = i2 = -1
To był problem przez jakiś czas i sprawiło, że niektórzy ludzie czuli, że używanie ich w formalnej matematyce nie było rygorystyczne. Rafael Bombelli, inny włoski człowiek renesansu, napisał książkę zatytułowaną, po prostu, Algebra w 1572 roku, gdzie próbował wyjaśnić matematykę dla ludzi bez stopnia ekspertyzy, co czyni go wczesnym pionierem edukacji. W Algebra, on wyjaśnia, jak wykonać arytmetykę na dodatnich, ujemnych i urojonych liczb, czyniąc sprawę, że jednostka urojona (i nie był używany jako symbol aż do 18 wieku) nie był ani dodatni ani ujemny, a zatem nie przestrzegać zwykłych zasad arytmetyki.
Praca tych matematyków na liczbach urojonych pozwoliła na rozwój tego, co jest obecnie nazywany Podstawowym Twierdzeniem Algebry. W prostych słowach, liczba rozwiązań równania jest zawsze równa najwyższej potędze niewiadomej w równaniu. Na przykład, kiedy pracowałem nad pierwiastkami kwadratowymi z -4 powyżej, rozwiązywałem równanie x2= -4. Najwyższą (i jedyną) potęgą niewiadomej x w równaniu jest dwa, i oto znaleźliśmy dwie odpowiedzi, 2i i -2i.
Z równania sześciennego, gdzie najwyższą potęgą jest trzy, powinienem otrzymać trzy rozwiązania. Spójrzmy na x3 + 4x = 0, które jest tą samą formą równania sześciennego, którym zajmował się Tartaglia. x = 0 jest rozwiązaniem, ponieważ 03 – 4 × 0 = 0 – 0 = 0, spełniając równanie. Ale co z pozostałymi dwoma rozwiązaniami, których oczekujemy od sześcianu?
No cóż, nie ma już rzeczywistych rozwiązań tego równania, ale są urojone. W rzeczywistości, 2i oraz -2i również są rozwiązaniami tego równania, co daje nam w sumie trzy rozwiązania.
Posłuchaj odcinków Science Focus Podcast o matematyce:
- Jak to jest z algorytmami? – Hannah Fry
- Co się dzieje, gdy matematyka idzie okropnie, okropnie źle? – Matt Parker
Dopiero kilkaset lat po Bombellim podstawowe twierdzenie algebry zostało rygorystycznie udowodnione przez paryskiego kierownika księgarni Jeana-Roberta Arganda w 1806 roku. Argand był również pionierem w odniesieniu liczb urojonych do geometrii poprzez pojęcie complex numbers.
Liczby zespolone są liczby z rzeczywistą część i część urojona. Na przykład, 4 + 2i jest liczbą złożoną z częścią rzeczywistą równą 4 i część urojona równa 2i. Okazuje się, że zarówno liczby rzeczywiste, jak i urojone są również liczbami złożonymi. Na przykład, 17 jest liczbą złożoną z częścią rzeczywistą równą 17 i częścią urojoną równą zero, a iis jest liczbą złożoną z częścią rzeczywistą zero.
Inny Francuz, Abraham de Moivre, był jednym z pierwszych, aby odnieść liczby złożone do geometrii z jego twierdzenia z 1707, które związane liczby złożone i trygonometrii razem. Argand następnie opracował diagramy Arganda, które są jak normalny wykres z osią x i y, z tym wyjątkiem, że jego osiami są liczby rzeczywiste i urojone. Te przełomowe odkrycia pozwoliły na rozwiązywanie złożonych problemów algebraicznych za pomocą geometrii.
Jak wiele osiągnięć w matematyce, wszystko to miało znaczenie czysto akademickie, aż do czasów nowoczesnej elektroniki. Liczby zespolone okazują się być niezwykle przydatne w analizie wszystkiego, co przychodzi w falach, takich jak promieniowanie elektromagnetyczne, którego używamy w radiach i wifi, sygnały dźwiękowe dla muzyki i komunikacji głosowej oraz zasilacze prądu zmiennego. Podobnie, fizyka kwantowa redukuje wszystkie cząstki do postaci fal, co oznacza, że liczby zespolone są instrumentalne w zrozumieniu tego dziwnego świata, który pozwolił nam cieszyć się nowoczesnymi komputerami, światłowodami, GPS, obrazowaniem MRI, by wymienić tylko kilka. Dzięki Bogu, że matematycy, od 500 lat temu do dziś, zdecydowali, że liczby urojone są warte zbadania mimo wszystko.
Follow Science Focus na Twitterze, Facebooku, Instagramie i Flipboardzie
.