Możemy użyć permutacji i kombinacji, aby pomóc nam odpowiedzieć na bardziej złożone pytania dotyczące prawdopodobieństwa
Przykład 1
Wybrano 4-cyfrowy PIN. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie ma powtarzających się cyfr?
Dla każdej cyfry kodu PIN jest 10 możliwych wartości (mianowicie: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), więc istnieje 10 × 10 × 10 × 10 = 10
4 = 10000 wszystkich możliwych kodów PIN.
Aby nie było powtarzających się cyfr, wszystkie cztery cyfry musiałyby być różne, co jest wybieraniem bez zamiany. Możemy albo obliczyć 10 × 9 × 8 × 7, albo zauważyć, że jest to to samo co permutacja
10P4 = 5040.
Prawdopodobieństwo braku powtarzających się cyfr to liczba 4-cyfrowych PIN-ów bez powtarzających się cyfr podzielona przez całkowitą liczbę 4-cyfrowych PIN-ów. Prawdopodobieństwo to wynosi
Prac{{}_{10}}{P}_{4}}}}{{10}^{{4}}}}=={0.5040}}{{10000}}}={0.504}
Przykład 2
W pewnej loterii stanowej 48 kul o numerach od 1 do 48 jest umieszczanych w maszynie i sześć z nich jest losowanych. Jeśli sześć wylosowanych liczb pasuje do liczb, które wybrał gracz, wygrywa on $1,000,000. W tej loterii kolejność wylosowanych liczb nie ma znaczenia. Oblicz prawdopodobieństwo, że wygrasz milion dolarów nagrody, jeśli kupisz jeden bilet loterii.
Aby obliczyć prawdopodobieństwo, musimy policzyć całkowitą liczbę sposobów sześć liczb mogą być rysowane, a liczba sposobów sześć liczb na bilecie gracza może pasować do sześciu liczb wylosowanych z maszyny. Ponieważ nie ma wymogu, aby numery były w jakiejś konkretnej kolejności, liczba możliwych wyników losowania loterii wynosi
48C6 = 12,271,512. Z tych możliwych wyników, tylko jeden pasuje do wszystkich sześciu liczb na bilecie gracza, więc prawdopodobieństwo wygrania nagrody głównej jest:
Przykład 3
W loterii państwowej z poprzedniego przykładu, jeśli pięć z sześciu wylosowanych liczb pasuje do liczb, które gracz wybrał, gracz wygrywa drugą nagrodę w wysokości $1,000. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wygrasz drugą nagrodę, jeśli kupisz jeden bilet loterii.
Jak powyżej, liczba możliwych wyników losowania loterii jest
48C6 = 12,271,512. Aby wygrać drugą nagrodę, pięć z sześciu liczb na bilecie musi pasować do pięciu z sześciu zwycięskich numerów; innymi słowy, musimy wybrać pięć z sześciu zwycięskich numerów i jeden z 42 przegranych numerów. Liczba sposobów, aby wybrać 5 z 6 zwycięskich numerów jest podana przez 6C5 = 6 i liczba sposobów, aby wybrać 1 z 42 przegrywających numerów jest podana przez 42C1 = 42. Tak więc liczba korzystnych wyników jest następnie podana przez Basic Counting Rule: 6C5 × 42C1 = 6 × 42 = 252. 0000205}
Try it Now 1
Pytanie wielokrotnego wyboru w quizie ekonomicznym zawiera 10 pytań z pięcioma możliwymi odpowiedziami każde. Oblicz prawdopodobieństwo losowego odgadnięcia odpowiedzi i uzyskania dokładnie 9 poprawnych pytań.
Przykład 4
Oblicz prawdopodobieństwo losowego dobrania pięciu kart z talii i uzyskania dokładnie jednego asa.
W wielu grach karcianych (takich jak poker) kolejność dobierania kart nie jest ważna (ponieważ gracz może dowolnie zmieniać układ kart na ręce); w poniższych zadaniach będziemy zakładać, że tak jest, chyba że zaznaczono inaczej. Tak więc używamy kombinacji, aby obliczyć możliwą liczbę układów pięciokartowych,
52C5. Ta liczba znajdzie się w mianowniku naszego wzoru na prawdopodobieństwo, ponieważ jest to liczba możliwych wyników.
W liczniku potrzebujemy liczby sposobów na wylosowanie jednego Asa i czterech innych kart (z których żadna nie jest Asem) z talii. Ponieważ są cztery Asy i chcemy dokładnie jednego z nich, będzie
4C1 sposobów, aby wybrać jednego Asa; ponieważ jest 48 nie-Asów i chcemy 4 z nich, będzie 48C4 sposobów, aby wybrać cztery nie-Asy. Teraz użyjemy Podstawowej Reguły Liczenia, aby obliczyć, że będzie 4C1 × 48C4 sposobów na wybranie jednego asa i czterech nie-asów.
Połączenie tego wszystkiego razem, we have
\displaystyle{P}{\left(\text{one Ace}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{1}}\right)}{\left({}_{{48}}{C}_{{4}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{778320}}{{2598960}}\approx{0.299}
Przykład 5
Oblicz prawdopodobieństwo losowego dobrania pięciu kart z talii i otrzymania dokładnie dwóch asów.
Rozwiązanie jest podobne do poprzedniego przykładu, z tym, że teraz wybieramy 2 asy z 4 i 3 nie asy z 48; mianownik pozostaje taki sam:
Przydatne jest zauważyć, że te problemy z kartami są bardzo podobne do problemów z loterią omówionych wcześniej.
Try it Now 2
Oblicz prawdopodobieństwo losowego wyciągnięcia pięciu kart z talii kart i otrzymania trzech asów i dwóch króli.
Problem urodzinowy
Zróbmy przerwę, aby rozważyć słynny problem z teorii prawdopodobieństwa:
Załóżmy, że masz pokój pełen 30 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest co najmniej jedno wspólne urodziny?
Zgadnij odpowiedź na powyższe pytanie. Czy Twoje przypuszczenie było dość niskie, jak około 10%? To wydaje się być intuicyjną odpowiedzią (30/365, być może?). Zobaczmy, czy powinniśmy posłuchać intuicji. Zacznijmy jednak od prostszego problemu.
Przykład 6
Załóżmy, że trzy osoby znajdują się w pokoju. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród tych trzech osób są co najmniej jedne wspólne urodziny?
Jest wiele sposobów na to, by były co najmniej jedne wspólne urodziny. Na szczęście jest łatwiejszy sposób. Zadajemy sobie pytanie „Jaka jest alternatywa dla posiadania co najmniej jednej wspólnej daty urodzin?”. W tym przypadku alternatywą jest to, że nie ma
żadnych wspólnych urodzin. Innymi słowy, alternatywą dla „co najmniej jednego” jest nieposiadanie żadnego. Innymi słowy, ponieważ jest to zdarzenie komplementarne,
P(co najmniej jedno) = 1 – P(żadne)
Zaczniemy więc od obliczenia prawdopodobieństwa, że nie ma wspólnych urodzin. Wyobraźmy sobie, że jesteś jedną z tych trzech osób. Twoje urodziny mogą być czymkolwiek bez konfliktu, więc jest 365 wyborów z 365 na twoje urodziny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga osoba nie ma tych samych urodzin? Jest 365 dni w roku (zignorujmy lata przestępne) i usuwając twoje urodziny z konfliktu, są 364 wybory, które zagwarantują, że nie będziesz miał urodzin z tą osobą, więc prawdopodobieństwo, że druga osoba nie ma twoich urodzin wynosi 364/365. Teraz przechodzimy do trzeciej osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta trzecia osoba nie ma tych samych urodzin co Ty lub druga osoba? Jest 363 dni, które nie pokrywają się z Twoimi urodzinami lub urodzinami drugiej osoby, więc prawdopodobieństwo, że trzecia osoba nie ma tych samych urodzin co dwie pierwsze jest równe 363/365.
Chcemy, aby druga osoba nie miała urodzin z tobą
i trzecia osoba nie miała urodzin z pierwszymi dwiema osobami, więc używamy reguły mnożenia:
\displaystyle{P}{\left(\text{no shared birthday}\right)}=\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\approx{0.9918}
a następnie odejmij od 1, aby otrzymać
P(wspólne urodziny) = 1 – P(brak wspólnych urodzin) = 1 – 0.9918 = 0.0082.
To całkiem mała liczba, więc może ma sens, że odpowiedź na nasz oryginalny problem będzie mała. Zróbmy naszą grupę trochę większą.
Przykład 7
Załóżmy, że pięć osób znajduje się w pokoju. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród tych pięciu osób jest co najmniej jedna osoba, która ma wspólne urodziny?
Kontynuując schemat z poprzedniego przykładu, odpowiedź powinna brzmieć
displaystyle{P}{left(\tekst{wspólne urodziny}}prawa)}={1}-.\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\cdot\frac{{362}}{{365}}\cdot\frac{{361}}{{365}}\approx{0.0271}
Zauważmy, że moglibyśmy to zapisać bardziej zwięźle jako
displaystyle{P}{left(\tekst{wspólne urodziny}}}={1}-}frac{{}_{365}}{P}_{5}}}}{{365}^{{5}}}}approx{0.0271}
co nieco ułatwia wpisanie tego do kalkulatora lub komputera, i co sugeruje ładną formułę w miarę dalszego rozszerzania populacji naszej grupy.
Przykład 8
Załóżmy, że 30 osób znajduje się w pokoju. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród tych 30 osób jest co najmniej jedna osoba, która ma wspólne urodziny?
W tym miejscu możemy obliczyć
displaystyle{P}{left(\tekst{wspólne urodziny}}}}={1}-}frac{{}_{365}}{P}_{30}}}}{{365}^{{30}}}}}approx{0.706}
co daje nam zaskakujący wynik, że kiedy jesteś w pokoju z 30 osobami, jest 70% szans, że będzie co najmniej jedna wspólna data urodzenia!
Jeśli lubisz się zakładać i jeśli uda Ci się przekonać 30 osób do ujawnienia swoich urodzin, możesz być w stanie wygrać trochę pieniędzy zakładając się z przyjacielem, że w pokoju będą co najmniej dwie osoby z tymi samymi urodzinami za każdym razem, gdy jesteś w pokoju z 30 lub więcej osobami. (Oczywiście, musiałbyś się upewnić, że Twój przyjaciel nie studiował rachunku prawdopodobieństwa!) Nie miałbyś gwarancji wygranej, ale powinieneś wygrać więcej niż połowę czasu.
Jest to jeden z wielu wyników w teorii prawdopodobieństwa, który jest sprzeczny z intuicją; to znaczy, idzie wbrew naszym instynktom. Je±li nadal nie wierzysz w matematyk¦, mo „esz przeprowadzi¢ symulacj¦. Abyś nie musiał chodzić i zbierać grup po 30 osób, ktoś uprzejmie opracował aplet Javy, abyś mógł przeprowadzić symulację komputerową. Wejdź na tę stronę:
http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html, a gdy aplet się załaduje, wybierz 30 urodzin, a następnie kliknij Start i Reset. Jeśli będziesz śledzić liczbę powtórzeń urodzin, powinieneś otrzymać powtórzone urodziny około 7 na każde 10 razy, kiedy przeprowadzasz symulację.
Try it Now 3
Załóżmy, że 10 osób znajduje się w pokoju. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród tych 10 osób jest co najmniej jedna osoba, która ma wspólne urodziny?
- displaystyle{P}{left({9}text{ answers correct}}right)}==frac{9}cdot4}{(5^{10})}}approx0.0000037 szans
- displaystyle{P}{left(^tekst{trzy asy i dwa króle}}prawda)}=frac{9}cdot4}{(5^{10}}}}. Kings}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{3}}\right)}{\left({}_{{4}}{C}_{{2}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{24}}{{2598960}}\approx{0.0000092}
- displaystyle{P}{left(\}text{shared birthday}}right)}}={1}-{frac{{}_{365}}{P}_{{10}}}}{{365}^{{10}}}}approx{0.117}
David Lippman, Math in Society, „Probability,” licensed under a CC BY-SA 3.0 license.