Matematycznie, najprostszym rodzajem fali poprzecznej jest fala sinusoidalna spolaryzowana liniowo w płaszczyźnie. „Płaszczyznowa” oznacza tutaj, że kierunek propagacji jest niezmienny i taki sam w całym ośrodku; „liniowo spolaryzowana” oznacza, że kierunek przemieszczenia również jest niezmienny i taki sam w całym ośrodku; a wielkość przemieszczenia jest sinusoidalną funkcją tylko czasu i położenia wzdłuż kierunku propagacji.
Ruch takiej fali można wyrazić matematycznie w następujący sposób. Niech d będzie kierunkiem propagacji (wektor o jednostkowej długości), a o dowolnym punktem odniesienia w ośrodku. Niech u będzie kierunkiem oscylacji (inny wektor o długości jednostkowej, prostopadły do d). Przemieszczenie cząstki w dowolnym punkcie p ośrodka i w dowolnym czasie t (sekundy) będzie
S ( p , t ) = A u sin ( t – ( p – o ) ⋅ d v T + ϕ ) { {displaystyle S(p,t)=Au sin {left({ {frac {t-(p-o)⋅ d v}}{T}}+phi }}.
gdzie A to amplituda lub siła fali, T to jej okres, v to prędkość rozchodzenia się, a φ to jej faza w punkcie o. Wszystkie te parametry są liczbami rzeczywistymi. Symbol „-” oznacza iloczyn wewnętrzny dwóch wektorów.
Zgodnie z tym równaniem fala porusza się w kierunku d, a oscylacje występują tam i z powrotem wzdłuż kierunku u. Mówi się, że fala jest spolaryzowana liniowo w kierunku u.
Obserwator, który patrzy na stały punkt p zobaczy, że cząstka tam porusza się w prostym ruchu harmonicznym (sinusoidalnym) o okresie T sekund, z maksymalnym przemieszczeniem cząstki A w każdym kierunku; to jest z częstotliwością f = 1/T pełne cykle oscylacji co sekundę. Migawka wszystkich cząstek w ustalonym czasie t pokaże to samo przemieszczenie dla wszystkich cząstek na każdej płaszczyźnie prostopadłej do d, przy czym przemieszczenia w kolejnych płaszczyznach tworzą wzór sinusoidalny, przy czym każdy pełny cykl rozciąga się wzdłuż d o długość fali λ = v T = v/f. Cały wzór porusza się w kierunku d z prędkością V.
To samo równanie opisuje płaską liniowo spolaryzowaną sinusoidalną falę świetlną, z tym że „przemieszczenie” S(p, t) jest polem elektrycznym w punkcie p i czasie t. (Pole magnetyczne będzie opisane tym samym równaniem, ale z kierunkiem „przemieszczenia”, który jest prostopadły zarówno do d jak i u, oraz inną amplitudą.)
Zasada superpozycjiEdit
W jednorodnym ośrodku sprężystym, złożone oscylacje (drgania w materiale lub przepływy światła) mogą być opisane jako superpozycja wielu prostych fal sinusoidalnych, poprzecznych (spolaryzowanych liniowo) lub podłużnych.
Wibracje struny skrzypiec, na przykład, mogą być analizowane jako suma wielu fal poprzecznych o różnych częstotliwościach, które przesuwają strunę albo w górę lub w dół, albo od lewej do prawej. Falowanie w stawie można analizować jako kombinację fal poprzecznych i podłużnych (fale grawitacyjne), które rozchodzą się razem.
Polaryzacja kołowaEdit
Jeśli ośrodek jest liniowy i pozwala na wiele niezależnych kierunków przemieszczeń dla tego samego kierunku podróży d, możemy wybrać dwa wzajemnie prostopadłe kierunki polaryzacji i wyrazić dowolną falę liniowo spolaryzowaną w dowolnym innym kierunku jako kombinację liniową (mieszanie) tych dwóch fal.
Połączenie dwóch fal o tej samej częstotliwości, prędkości i kierunku przemieszczania, ale o różnych fazach i niezależnych kierunkach przemieszczania, daje falę spolaryzowaną kołowo lub eliptycznie. W takiej fali cząsteczki opisują kołowe lub eliptyczne trajektorie, zamiast poruszać się tam i z powrotem.
Może pomóc w zrozumieniu, aby powrócić do eksperymentu myślowego z napiętą struną wspomnianego powyżej. Zauważ, że można również uruchomić fale na sznurku przez poruszanie ręką w prawo i lewo zamiast w górę iw dół. To jest ważny punkt. Istnieją dwa niezależne (ortogonalne) kierunki, w których mogą poruszać się fale. (Jest to prawdziwe dla dowolnych dwóch kierunków pod kątem prostym, dla jasności wybrano górę i dół oraz prawo i lewo). Wszelkie fale wystrzelone przez poruszanie ręką w linii prostej są falami spolaryzowanymi liniowo.
Ale teraz wyobraź sobie, że poruszasz ręką po okręgu. Twój ruch spowoduje powstanie spiralnej fali na sznurku. Poruszasz ręką jednocześnie zarówno w górę i w dół, jak i z boku na bok. Maksima ruchu z boku na bok występują ćwierć długości fali (lub ćwierć drogi dookoła okręgu, czyli 90 stopni lub π/2 radianów) od maksimów ruchu w górę i w dół. W dowolnym punkcie wzdłuż sznurka, przemieszczenie sznurka będzie opisywało ten sam okrąg co twoja ręka, ale z opóźnieniem wynikającym z prędkości rozchodzenia się fali. Zauważ również, że możesz wybrać, czy chcesz poruszać ręką po okręgu zgodnie, czy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Te naprzemienne ruchy po okręgu wytwarzają fale spolaryzowane kołowo w prawo i w lewo.
W zakresie, w jakim twój okrąg jest niedoskonały, regularny ruch będzie opisywał elipsę i wytwarzał fale spolaryzowane eliptycznie. Na skraju ekscentryczności twoja elipsa stanie się linią prostą, wytwarzając liniową polaryzację wzdłuż głównej osi elipsy. Ruch eliptyczny zawsze można rozłożyć na dwa ortogonalne ruchy liniowe o nierównej amplitudzie i 90 stopni poza fazą, przy czym polaryzacja kołowa jest szczególnym przypadkiem, w którym dwa ruchy liniowe mają taką samą amplitudę.
.