Liczby zespolone to liczby, które składają się z dwóch części – liczby rzeczywistej i liczby urojonej. Liczby złożone są budulcem bardziej skomplikowanej matematyki, takiej jak algebra. Mogą być stosowane w wielu aspektach prawdziwego życia, zwłaszcza w elektronice i electromagnetism.
Standardowy format dla liczb zespolonych jest a + bi, z liczbą rzeczywistą pierwszy i liczba urojona ostatni. Ponieważ każda część może być 0, technicznie rzecz biorąc, każda liczba rzeczywista lub urojona może być uznana za liczbę złożoną. Złożone nie oznacza skomplikowane, oznacza to, że dwa rodzaje liczb łączą się w kompleks, jak kompleks mieszkaniowy – grupa budynków połączonych razem.
Liczby rzeczywiste są namacalne wartości, które mogą być wykreślone na poziomej linii liczbowej, takie jak ułamki, liczby całkowite lub dowolne policzalne liczby, które można myśleć. Liczby urojone są abstrakcyjne pojęcia, które są używane, gdy trzeba pierwiastek kwadratowy z ujemnej number.
Dodawanie & mnożenie liczb złożonych
Because liczba złożona jest dwumian – wyrażenie liczbowe z dwoma warunkami – arytmetyka jest ogólnie wykonane w taki sam sposób jak każdy dwumian, łącząc podobne warunki i upraszczając. Na przykład:
(3 + 2i) + (4 – 4i)
(3 + 4) = 7
(2i – 4i) = -2i
Wynikiem jest 7-2i.
Do mnożenia stosujemy metodę mnożenia wielomianów FOIL: mnożymy Pierwszy, mnożymy Zewnętrzny, mnożymy Wewnętrzny, mnożymy Ostatni, a następnie dodajemy. Na przykład:
(3 – 2i)(5 + 3i) =
(3)(5) + (3)(3i) + (-2i)(5) + (-2i)(3i) =
15 + 9i + -10i + -6i2 =
15 -. i – 6(-1) =
21 – i
Powód, dla którego i2 upraszcza się do (-1) jest taki, że i jest pierwiastkiem kwadratowym z -1.
Dzielenie liczb złożonych
Dzielenie, jednak, staje się bardziej skomplikowane i wymaga użycia koniugatów. Złożone koniugaty są parami liczb złożonych, które mają różne znaki, takie jak (a + bi) i (a – bi). Mnożenie koniugatów złożonych powoduje anulowanie środkowego członu. Na przykład:
(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – (bi)2
Upraszcza się to do a2 – b2(i2) = a2 – b2(-1)
Wynikiem końcowym jest a2 + b2
Przy dzieleniu liczb złożonych, określ koniugat mianownika i pomnóż licznik i mianownik przez ten koniugat. Na przykład
(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)
Sprzężeniem liczby 7 + 4i jest 7 – 4i. Zatem pomnóż licznik i mianownik przez koniugat:
(5 + 2i)(7 – 4i) ÷ (7 + 4i)(7 – 4i) =
(35 + 14i – 20i – 8i2) ÷ (49 – 28i + 28i – 16i2 ) =
(35 – 6i + 8) ÷ (49 + 16) =
(43 -. 6i) ÷ 65
Wartość bezwzględna liczb zespolonych
Za wartość bezwzględną liczby uważa się jej odległość od zera na linii liczb. Ponieważ liczby zespolone zawierają liczby urojone, nie można ich wykreślić na linii liczb rzeczywistych. Jednak mogą one być mierzone od zera na płaszczyźnie liczby zespolonej, która zawiera oś x (dla liczby rzeczywistej) i oś y (dla liczby urojonej).
Zastosowania liczb zespolonych
Liczby zespolone mogą być używane do rozwiązywania kwadratur dla zer. Wzór kwadratowy rozwiązuje ax2 + bx + c = 0 dla wartości x. Jeśli wzór przewiduje ujemną w pierwiastku kwadratowym, liczby zespolone mogą być używane do uproszczenia zera.
Liczby zespolone są używane w elektronice i elektromagnetyzmie. Pojedyncza liczba złożona składa się z dwóch rzeczywistych wielkości, dzięki czemu numery łatwiejsze do pracy. Na przykład, w elektronice, stan elementu obwodu jest określony przez napięcie (V) i prąd (I). Elementy obwodu mogą również posiadać pojemność (c) i indukcyjność (L), które opisują tendencję obwodu do przeciwstawiania się zmianom V i I. Zamiast opisywać stan elementu obwodu za pomocą V i I, można go opisać jako z = V + Ii. Prawa elektryczności mogą być wtedy wyrażone za pomocą dodawania i mnożenia liczb zespolonych.
Jak wspomniano wcześniej, można to również zastosować do elektromagnetyzmu. Zamiast być opisane jako natężenie pola elektrycznego i natężenie pola magnetycznego, można utworzyć liczbę złożoną, gdzie elektryczne i magnetyczne składniki są rzeczywiste i urojone numbers.
Dalsze czytanie:
Kalkulator liczb zespolonych
Math is Fun: Complex Numbers
Math Warehouse: Complex Numbers
Recent news
.