1 Wprowadzenie
Modelowanie matematyczne odnosi się do użycia języka matematycznego w celu symulacji zachowania systemu „świata rzeczywistego” (praktycznego). Jego zadaniem jest zapewnienie lepszego zrozumienia i scharakteryzowania systemu. Teoria jest przydatna do wyciągania ogólnych wniosków z prostych modeli, a komputery są przydatne do wyciągania konkretnych wniosków ze skomplikowanych modeli (Bender, 2000 ). W teorii drgań mechanicznych, modele matematyczne – zwane modelami strukturalnymi – są pomocne w analizie dynamicznego zachowania się modelowanej struktury.
Zapotrzebowanie na ulepszone i niezawodne działanie struktur wibracyjnych w zakresie ciężaru, komfortu, bezpieczeństwa, hałasu i trwałości stale rośnie, podczas gdy jednocześnie istnieje zapotrzebowanie na krótsze cykle projektowe, dłuższą żywotność, minimalizację potrzeb w zakresie kontroli i napraw oraz redukcję kosztów. Wraz z pojawieniem się potężnych komputerów, wykonywanie symulacji numerycznych stało się tańsze zarówno pod względem kosztów, jak i czasu, niż przeprowadzanie skomplikowanych eksperymentów. W konsekwencji nastąpił znaczący zwrot w kierunku projektowania wspomaganego komputerowo i eksperymentów numerycznych, gdzie modele strukturalne są wykorzystywane do symulacji eksperymentów oraz do dokładnych i wiarygodnych przewidywań przyszłego zachowania konstrukcji.
Nawet jeśli wkraczamy w erę wirtualnego prototypowania (Van Der Auweraer, 2002 ), badania eksperymentalne i identyfikacja systemu nadal odgrywają kluczową rolę, ponieważ pomagają dynamikom strukturalnym pogodzić przewidywania numeryczne z badaniami eksperymentalnymi. Termin „identyfikacja systemu” jest czasami używany w szerszym kontekście w literaturze technicznej i może odnosić się do pozyskiwania informacji o zachowaniu konstrukcji bezpośrednio z danych doświadczalnych, tj. bez konieczności stosowania modelu (np. identyfikacja liczby aktywnych modów lub obecności częstotliwości drgań własnych w pewnym zakresie częstotliwości). W niniejszym artykule identyfikacja systemu odnosi się do rozwoju (lub poprawy) modeli strukturalnych na podstawie pomiarów wejściowych i wyjściowych wykonanych na rzeczywistej konstrukcji za pomocą urządzeń wibroakustycznych.
Identyfikacja systemów liniowych jest dyscypliną, która znacznie rozwinęła się w ciągu ostatnich 30 lat (Ljung, 1987 ; Soderstrom i Stoica, 1989 ). Estymacja parametrów modalnych – zwana analizą modalną – jest bezsprzecznie najbardziej popularnym podejściem do identyfikacji systemu liniowego w dynamice strukturalnej. Wiadomo, że model układu ma postać parametrów modalnych, czyli częstotliwości drgań własnych, kształtów postaci i współczynników tłumienia. Popularność analizy modalnej wynika z jej dużej ogólności; parametry modalne mogą opisywać zachowanie układu dla dowolnego typu wejścia i dowolnego zakresu tego wejścia. W tym celu opracowano wiele podejść: metoda Ibrahima w dziedzinie czasu (Ibrahim i Mikulcik, 1973 ), algorytm realizacji eigensystemu (Juang i Pappa, 1985 ), stochastyczna metoda identyfikacji podprzestrzeni (Van Overschee i De Moor, 1996 ), metoda złożonej dziedziny częstotliwości polyreference least-squares (Peeters et al., 2004 ), aby wymienić tylko kilka z nich. Opis analizy modalnej nie jest objęty zakresem niniejszego opracowania; zainteresowany czytelnik może zapoznać się z dalszymi szczegółami w (Heylen et al., 1997 ; Maia i Silva, 1997 ; Ewins, 2000 ). Należy jednak zauważyć, że identyfikacja modalna silnie wytłumionych struktur lub złożonych struktur przemysłowych o dużej gęstości modalnej i dużym nakładaniu się modów jest obecnie w zasięgu ręki. Próba unifikacji teoretycznego rozwoju algorytmów identyfikacji modalnej została podjęta w (Allemang i Brown, 1998 ; Allemang i Phillips, 2004 ), co jest kolejną oznaką dojrzałości tej dziedziny badań.
W niniejszym opracowaniu przeglądowym skupiono się na identyfikacji systemów strukturalnych w obecności nieliniowości. Nieliniowość jest powszechna w przyrodzie, a zachowanie liniowe jest wyjątkiem. W dynamice strukturalnej, typowymi źródłami nieliniowości są:
–
Nieliniowość geometryczna powstaje, gdy struktura ulega dużym przemieszczeniom i wynika z energii potencjalnej. Ilustracją jest wahadło proste, którego równanie ruchu ma postać θ¨+ω02sinθ=0; nieliniowy człon ω02sinθ reprezentuje nieliniowość geometryczną, ponieważ modeluje duże ruchy kątowe. Duże deformacje elastycznych kontinuów sprężystych takich jak belki, płyty i powłoki są również odpowiedzialne za nieliniowości geometryczne (patrz np. (Amabili i Paidoussis, 2003 ; Nayfeh i Pai, 2004 )). Przykład stanowiska badawczego, na którym występuje nieliniowość geometryczna pokazano na Rys. 1. Belka wspornikowa połączona jest na prawym końcu z cienką, krótką belką, która wykazuje nieliniowość geometryczną przy dużych ugięciach.
Fig. 1. Belka wspornikowa połączona z cienką, krótką belką (ECL benchmark; COST Action F3): (a) zamocowanie doświadczalne; (b) zbliżenie połączenia.
–
Nieliniowość bezwładnościowa wywodzi się z nieliniowych członów zawierających prędkości i/lub przyspieszenia w równaniach ruchu i bierze swoje źródło w energii kinetycznej układu (np, warunki przyspieszenia konwekcyjnego w kontinuum i przyspieszenia Coriolisa w ruchach ciał poruszających się względem obracających się ram).
–
Nieliniowe zachowanie materiału można zaobserwować, gdy prawo konstytutywne odnoszące się do naprężeń i odkształceń jest nieliniowe. Dzieje się tak często w przypadku pianek (White et al., 2000 ; Schultze et al., 2001 ; Singh et al., 2003 ) oraz w sprężystych systemach montażowych, takich jak izolatory gumowe (Richards i Singh, 2001 ).
–
Rozproszenie tłumienia jest zasadniczo zjawiskiem nieliniowym i wciąż nie w pełni wymodelowanym i zrozumianym. Założenie tłumienia modalnego niekoniecznie jest najwłaściwszym odzwierciedleniem fizycznej rzeczywistości, a jego powszechne stosowanie należy przypisać wygodzie matematycznej. Efekty tarcia suchego (ciała stykające się, ślizgające się względem siebie) oraz tłumienie histeryczne są przykładami tłumienia nieliniowego (patrz np. Caughey i Vijayaraghavan, 1970 ; Tomlinson i Hibbert, 1979 ; Sherif i Abu Omar, 2004 ; Al-Bender et al., 2004 ). Należy zauważyć, że tarcie suche wpływa na dynamikę szczególnie w przypadku ruchów o małej amplitudzie, co jest sprzeczne z tym, czego można by się spodziewać na podstawie konwencjonalnej wiedzy. Na przykład, spiralne izolatory linowe przedstawione na Rys. 2 charakteryzują się zachowaniem miękkim (Juntunen, 2003 ) z tarciem wewnątrz liny stalowej i zmianą geometrii pętli stalowej pod wpływem obciążenia; w przypadku tego systemu, częstotliwość rezonansowa przesuwa się w dół wraz ze wzrostem poziomu wzbudzenia, co jest wyraźną oznaką zachowania nieliniowego.
Rys. 2. Spiralne izolatory linowe (VTT benchmark; COST Action F3): (a) oprzyrządowanie eksperymentalne; izolatory są zamontowane pomiędzy masą podstawową wstrząsarki elektrodynamicznej a masą obciążającą; (b) zmierzona siła przywracająca.
–
Nieliniowość może również wynikać z warunków brzegowych (na przykład, swobodne powierzchnie w cieczach, wibrouderzenia spowodowane luźnymi połączeniami lub kontaktami ze sztywnymi ograniczeniami, prześwitami, niedoskonale połączonymi ciałami sprężystymi), lub niektórych zewnętrznych nieliniowych sił działających na ciało (np., siły magnetoelastyczne, elektrodynamiczne lub hydrodynamiczne). Prześwit i nieliniowość wibrouderzeniowa posiada nie gładką charakterystykę siła-odkształcenie, jak pokazano na Rys. 3 i ogólnie wymaga specjalnego traktowania w porównaniu z innymi rodzajami nieliniowości (Babitsky i Krupenin, 2001 ).
Rys. 3. Belka uderzająca: (a) zamocowanie doświadczalne; (b) zmierzona siła przywracająca.
W literaturze inżynierskiej odnotowano wiele praktycznych przykładów nieliniowych zachowań dynamicznych. W przemyśle motoryzacyjnym, pisk hamulca, który jest samowzbudzonym drganiem wirnika hamulca związanym ze zmiennością tarcia pomiędzy klockami a wirnikiem jest irytującym, ale nie zagrażającym życiu przykładem niepożądanego efektu nieliniowości (Rhee et al., 1989 ). Wiele samochodów ma wiskoelastyczne mocowania silnika, które wykazują wyraźne zachowanie nieliniowe: zależność od amplitudy, częstotliwości i napięcia wstępnego. W samolocie, oprócz nieliniowej interakcji płyn-struktura, typowe nieliniowości obejmują luzy i tarcie w powierzchniach sterujących i przegubach, nieliniowość hartowania w połączeniu silnik-pylon oraz efekty nasycenia w siłownikach hydraulicznych. W (Von Karman, 1940 ) opisany jest komercyjny samolot, w którym śmigła wywoływały podharmoniczne drgania rzędu 1/2 w skrzydłach, które produkowały podharmoniczne rzędu 1/4 w sterze kierunku. Oscylacje były tak gwałtowne, że ich skutki dla samolotu były katastrofalne (Nayfeh i Mook, 1979 ). W systemach mechatronicznych, źródłem nieliniowości jest tarcie w łożyskach i prowadnicach, jak również luz i luzy w przegubach robotów. W inżynierii lądowej wiele demontowalnych konstrukcji, takich jak trybuny na koncertach i imprezach sportowych, jest podatnych na znaczną nieliniowość strukturalną wynikającą z luzów w połączeniach. Powoduje to powstawanie zarówno luzów jak i tarcia i może unieważnić wszelkie symulacje oparte na modelach liniowych zachowania spowodowanego ruchem tłumu. Nieliniowość może również pojawić się w uszkodzonej konstrukcji: pęknięcia zmęczeniowe, nity i śruby, które otwierają się i zamykają pod wpływem obciążenia dynamicznego lub wewnętrzne części uderzające o siebie nawzajem.
W związku z ciągłym zainteresowaniem rozszerzaniem zakresu osiągów konstrukcji przy coraz większych prędkościach, istnieje potrzeba projektowania lżejszych, bardziej elastycznych, a w konsekwencji bardziej nieliniowych elementów konstrukcyjnych. Wynika z tego, że zapotrzebowanie na wykorzystanie nieliniowych (lub nawet silnie nieliniowych) elementów konstrukcyjnych jest coraz częściej obecne w zastosowaniach inżynierskich. Jest zatem dość paradoksalne, że w dynamice konstrukcji bardzo często zachowanie liniowe jest uważane za oczywiste. Dlaczego tak się dzieje? Należy przyznać, że przy wystarczająco małych amplitudach ruchów, teoria liniowa może być dokładna do modelowania, choć nie zawsze tak jest (np. tarcie suche). Jednakże, głównym powodem jest to, że nieliniowa teoria układów dynamicznych jest znacznie mniej ugruntowana niż jej liniowy odpowiednik. W istocie, podstawowe zasady, które mają zastosowanie do systemu liniowego i które stanowią podstawę analizy modalnej, nie są już ważne w obecności nieliniowości. Ponadto, nawet słabe systemy nieliniowe mogą wykazywać niezwykle interesujące i złożone zjawiska, których systemy liniowe nie mogą wykazywać. Zjawiska te obejmują skoki, bifurkacje, nasycenie, subharmoniczne, superharmoniczne i wewnętrzne rezonanse, przechwytywanie rezonansu, cykle graniczne, interakcje modalne i chaos. Czytelnicy, którzy szukają wprowadzenia do nieliniowych oscylacji mogą skonsultować się z (Nayfeh i Mook, 1979 ; Strogatz, 1994 ; Verhulst, 1999 ; Rand, 2003 ). Bardziej uzdolnieni matematycznie czytelnicy mogą odwołać się do (Guckenheimer i Holmes, 1983 ; Wiggins, 1990 ). Krótki przewodnik, który podkreśla istotne różnice pomiędzy dynamiką liniową i nieliniową jest dostępny w sekcji 2.1 niniejszej pracy.
Nie oznacza to, że układom nieliniowym nie poświęcono znacznej uwagi w ciągu ostatnich dziesięcioleci. Nawet jeśli przez lata jednym ze sposobów badania układów nieliniowych było podejście linearyzujące (Caughey, 1963 ; Iwan, 1973 ), wiele wysiłku poświęcono na opracowanie teorii badania układów nieliniowych w dynamice strukturalnej. Nieliniowe rozszerzenie koncepcji mode shapes zostało zaproponowane w (Rosenberg, 1962 ; Rosenberg, 1966 ) i dalej badane w (Rand, 1974 ; Shaw i Pierre, 1993 ; Vakakis et al., 1996 ; Vakakis, 1997 ). Słabo nieliniowe układy były dokładnie analizowane przy użyciu teorii perturbacji (Nayfeh i Mook, 1979 ; Nayfeh, 1981 ; O’Malley, 1991 ; Kevorkian i Cole, 1996 ). Metody perturbacyjne obejmują na przykład metodę uśredniania, technikę Lindstedta-Poincarégo oraz metodę wielu skal i mają na celu uzyskanie asymptotycznie jednorodnych przybliżeń rozwiązań. W ciągu ostatnich kilkunastu lat można było zaobserwować przejście od struktur słabo nieliniowych do struktur silnie nieliniowych (przez układy silnie nieliniowe rozumie się układy, dla których elementy nieliniowe są tego samego rzędu co elementy liniowe) dzięki rozszerzeniu klasycznych technik perturbacyjnych (Chan et al., 1996 ; Chen i Cheung, 1996 ) oraz rozwojowi nowych metodologii (Pilipchuk, 1985 ; Manevitch, 1999 ; Qaisi i Kilani, 2000 ; Babitsky i Krupenin, 2001 ).
Ostatnio w kilku badaniach zaproponowano wykorzystanie nieliniowości zamiast ich ignorowania lub unikania, co stanowi interesującą zmianę paradygmatu. Na przykład, koncepcja rezonansu parametrycznego jest wykorzystywana do projektowania mikroelektromechanicznych oscylatorów z możliwością filtrowania w (Rhoads et al., 2005 ). W (Vakakis i Gendelman, 2001 ; Vakakis et al., 2004a ; Kerschen et al., 2005b ) pokazano, że istotna (tj. nieliniowa) nieliniowość prowadzi do nieodwracalnych zjawisk nieliniowego transferu energii pomiędzy podsystemami – określanych mianem nieliniowego pompowania energii. W (Nichols et al., 2004 ), chaotyczne przesłuchiwanie i rekonstrukcja przestrzeni fazowej są wykorzystywane do oceny wytrzymałości połączenia śrubowego w belce kompozytowej. W (Epureanu i Hashmi, 2005 ), geometryczny kształt dynamicznych atraktorów jest wykorzystywany do wzmocnienia małych zmian parametrycznych w systemie.
Skupiając się teraz na rozwoju (lub poprawie) modeli strukturalnych z pomiarów eksperymentalnych w obecności nieliniowości, tj, identyfikacji systemów nieliniowych, trzeba przyznać, że nie istnieje ogólna metoda analizy, którą można by zastosować do wszystkich systemów we wszystkich przypadkach (patrz np. poprzednie przeglądy (Adams i Allemang, 1998 ; Worden, 2000 )), jak to ma miejsce w przypadku analizy modalnej w liniowej dynamice strukturalnej. Ponadto, wiele technik, które są w stanie poradzić sobie z systemami o niskiej wymiarowości, załamuje się, gdy mają do czynienia z systemem o wysokiej gęstości modalnej. Dwie przyczyny tego niepowodzenia, a mianowicie brak możliwości zastosowania różnych koncepcji teorii liniowej oraz wysoce „indywidualistyczny” charakter systemów nieliniowych, omówiono w rozdziale 2.1. Trzecim powodem jest to, że funkcja S, która odwzorowuje wejście x(t) na wyjście y(t), y(t)=S, nie jest znana wcześniej. Na przykład, wszechobecny oscylator Duffinga (Duffing, 1918 ), którego równanie ruchu brzmi: my¨(t)+cy˙(t)+ky(t)+k3y3(t)=x(t), stanowi typowy przykład wielomianowej postaci nieliniowości siły przywracającej, podczas gdy tłumienie histeretyczne jest przykładem niepoliczbowej postaci nieliniowości. Stanowi to poważną trudność w porównaniu z identyfikacją układów liniowych, dla których struktura funkcji jest dobrze określona.
Nawet jeśli istnieje różnica pomiędzy sposobem, w jaki dokonywano identyfikacji systemów nieliniowych „historycznie”, a sposobem, w jaki robi się to obecnie, proces identyfikacji może być postrzegany jako postęp poprzez trzy etapy, a mianowicie wykrywanie, charakteryzację i estymację parametrów, jak przedstawiono na Rys. 4. Po wykryciu zachowania nieliniowego, system nieliniowy zostaje scharakteryzowany po określeniu lokalizacji, typu i formy funkcjonalnej wszystkich nieliniowości w całym systemie. Parametry wybranego modelu są następnie szacowane przy użyciu liniowego dopasowania metodą najmniejszych kwadratów lub algorytmów optymalizacji nieliniowej w zależności od rozważanej metody.
Rys. 4. Proces identyfikacji.
Identyfikacja systemu nieliniowego jest integralną częścią procesu weryfikacji i walidacji(V&V). Według (Roache, 1998 ) weryfikacja odnosi się do poprawnego rozwiązywania równań, tj. wykonywania obliczeń w sposób matematycznie poprawny, natomiast walidacja odnosi się do rozwiązywania poprawnych równań, tj. formułowania modelu matematycznego i takiego doboru współczynników, aby interesujące nas zjawisko fizyczne było opisane z odpowiednią wiernością. Jak podano w (Doebling, 2002 ), jedna z definicji, która oddaje wiele ważnych aspektów walidacji modelu, pochodzi z literatury z dziedziny nauk symulacyjnych:
Potwierdzenie, że model w swojej dziedzinie stosowalności posiada zadowalający zakres dokładności zgodny z zamierzonym zastosowaniem modelu (Schlesinger i in… 1979 ), 1979 ).
Dyskusja na temat weryfikacji i walidacji wykracza poza zakres niniejszej pracy przeglądowej; czytelnik może zapoznać się z (Roache, 1998 ; Link i Friswell, 2003 ; Babuska i Oden, 2004 ; Hemez et al., 2005 ) i odnośnikami do nich.
Zakres pracy: Motywacja stojąca za tym dokumentem badawczym jest trojaka. Po pierwsze, ma ona stanowić zwięzły punkt wyjścia dla badaczy i praktyków pragnących ocenić aktualny stan wiedzy w zakresie identyfikacji nieliniowych modeli strukturalnych. Po drugie, praca ma na celu przegląd kilku metod, które zostały zaproponowane w literaturze technicznej i podkreślenie niektórych powodów, które uniemożliwiają zastosowanie tych technik do złożonych struktur. Ostatnim celem pracy jest identyfikacja przyszłych potrzeb badawczych, które pomogłyby „przesunąć granicę” w identyfikacji systemów nieliniowych.
Przedmiot dynamiki nieliniowej jest niezwykle szeroki i istnieje obszerna literatura na ten temat. Niniejsze opracowanie jest nieuchronnie ukierunkowane na te obszary, które autorzy znają najlepiej, a to oczywiście oznacza te obszary, w których autorzy i ich współpracownicy prowadzili badania. Dlatego nie jest to wyczerpujący przegląd przeszłych i obecnych podejść do identyfikacji nieliniowych struktur dynamicznych; na przykład, nie ma tu próby podsumowania wielu osiągnięć wywodzących się z teorii sterowania.
Projekt eksperymentu (np. wybór źródeł wzbudzenia, liczba i lokalizacja czujników), który warunkuje sukces procesu identyfikacji, nie jest tu opisany. Pewne informacje można znaleźć w (Leontaritis i Billings, 1987 ; Duym i Schoukens, 1995 ; Worden i Tomlinson, 2001 ). Nie omówiono również identyfikacji systemu w obecności drgań chaotycznych (Moon, 1987 ).
.