Exponential Growth
Charles Darwin, w swojej teorii doboru naturalnego, był pod dużym wpływem angielskiego duchownego Thomasa Malthusa. Malthus opublikował w 1798 roku książkę, w której stwierdził, że populacje z nieograniczonymi zasobami naturalnymi rosną bardzo szybko, a następnie wzrost populacji maleje w miarę wyczerpywania się zasobów. Ten przyspieszający wzór rosnącej wielkości populacji jest nazywany wzrostem wykładniczym.
Najlepszy przykład wzrostu wykładniczego jest postrzegany w bakteriach. Bakterie są prokariota, które rozmnażają się przez rozszczepienie prokariotyczne. Ten podział trwa około godziny dla wielu gatunków bakterii. Jeśli 1000 bakterii zostanie umieszczonych w dużej kolbie z nieograniczoną ilością składników odżywczych (więc składniki odżywcze nie zostaną wyczerpane), po godzinie nastąpi jedna runda podziału i każdy organizm podzieli się, w wyniku czego powstanie 2000 organizmów – wzrost o 1000. W ciągu następnej godziny każdy z 2000 organizmów podwoi się, dając 4000, co oznacza wzrost o 2000 organizmów. Po trzeciej godzinie w kolbie powinno znajdować się 8000 bakterii, co oznacza wzrost o 4000 organizmów. Ważną koncepcją wzrostu wykładniczego jest to, że tempo wzrostu populacji – liczba organizmów dodawanych w każdym pokoleniu reprodukcyjnym – jest coraz szybsze; to znaczy, że rośnie ono w coraz większym tempie. Po 1 dniu i 24 takich cyklach populacja wzrosłaby z 1000 do ponad 16 miliardów. Gdy wielkość populacji, N, jest wykreślana w czasie, powstaje krzywa wzrostu w kształcie litery J (rysunek rzedu).
Przykład bakterii nie jest reprezentatywny dla rzeczywistego świata, w którym zasoby są ograniczone. Ponadto, niektóre bakterie umrą podczas eksperymentu, a więc nie będą się rozmnażać, obniżając tempo wzrostu. Dlatego też, przy obliczaniu tempa wzrostu populacji, wskaźnik śmierci (D) (liczba organizmów, które umierają w danym przedziale czasu) jest odejmowany od wskaźnika urodzeń (B) (liczba organizmów, które rodzą się w tym przedziale czasu). Pokazuje to następujący wzór:
Współczynnik urodzeń jest zwykle wyrażany w przeliczeniu na jednego mieszkańca (na każdego osobnika). Tak więc, B (wskaźnik urodzeń) = bN (wskaźnik urodzeń „b” na osobę pomnożony przez liczbę osobników „N”) i D (wskaźnik zgonów) =dN (wskaźnik zgonów „d” na osobę pomnożony przez liczbę osobników „N”). Dodatkowo, ekologów interesuje populacja w konkretnym punkcie w czasie, nieskończenie małym przedziale czasowym. Z tego powodu, terminologia rachunku różniczkowego jest używana do uzyskania „chwilowego” tempa wzrostu, zastępując zmianę w liczbie i czasie specyficzną dla danej chwili miarą liczby i czasu.
Zauważ, że „d” związane z pierwszym terminem odnosi się do pochodnej (tak jak termin ten jest używany w rachunku) i jest różne od wskaźnika zgonów, zwanego również „d”. Różnica pomiędzy wskaźnikami urodzeń i zgonów jest dalej upraszczana poprzez zastąpienie terminu „r” (wewnętrzne tempo wzrostu) dla relacji pomiędzy wskaźnikami urodzeń i zgonów:
Wartość „Δ(r)” może być dodatnia, co oznacza, że populacja zwiększa swoją liczebność; lub ujemna, co oznacza, że populacja zmniejsza swoją liczebność; lub zerowa, gdzie liczebność populacji jest niezmienna, co jest stanem znanym jako zerowy przyrost naturalny. Dalsze udoskonalenie wzoru uznaje, że różne gatunki mają nieodłączne różnice w ich wewnętrznym tempie wzrostu (często uważane za potencjał reprodukcji), nawet w idealnych warunkach. Oczywiste jest, że bakteria może rozmnażać się szybciej i mieć wyższe wewnętrzne tempo wzrostu niż człowiek. Maksymalne tempo wzrostu dla danego gatunku to jego potencjał biotyczny, czyli r_{max}}, co zmienia równanie na: