Dans la Venise du XVIe siècle, les formules de résolution d’équations étaient une propriété intellectuelle étroitement gardée. L’expert en balistique et en fortifications Niccolo Tartaglia s’intéressait particulièrement aux équations quadratiques et cubiques, qui modélisent entre autres le comportement des projectiles en vol. Ces équations vous rappellent peut-être vos cours de mathématiques : les équations quadratiques contiennent un terme x2 et les équations cubiques un terme x3. Tartaglia et d’autres mathématiciens ont remarqué que certaines solutions nécessitaient les racines carrées de nombres négatifs, et c’est là que réside un problème. Les nombres négatifs n’ont pas de racines carrées – il n’existe aucun nombre qui, lorsqu’il est multiplié par lui-même, donne un nombre négatif. C’est parce que les nombres négatifs, lorsqu’ils sont multipliés ensemble, donnent un résultat positif : -2 × -2 = 4 (et non -4).
Tartaglia et son rival, Gerolamo Cardano, ont observé que, s’ils autorisaient les racines carrées négatives dans leurs calculs, ils pouvaient toujours donner des réponses numériques valides (les nombres réels, comme les appellent les mathématiciens). Tartaglia l’a appris à ses dépens lorsqu’il a été battu par l’un des élèves de Cardano lors d’un duel de résolution d’équations qui a duré un mois, en 1530.
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Les mathématiciens utilisent i pour représenter la racine carrée de moins un. On l’appelle l’unité imaginaire – ce n’est pas un nombre réel, il n’existe pas dans la vie « réelle ». Nous pouvons toutefois l’utiliser pour trouver les racines carrées des nombres négatifs. Si je veux calculer les racines carrées de -4, je peux dire que -4 = 4 × -1. Cela signifie que la racine carrée de -4 est la racine carrée de 4 multipliée par la racine carrée de -1. En symboles :
√-4= √4×√-1
La racine carrée de 4 est 2, et la racine carrée de -1 est i, ce qui nous donne la réponse que la racine carrée de -4 est 2i. Nous devons également noter que -2 est également une racine carrée de 4 pour les raisons mentionnées ci-dessus. Cela signifie que les racines carrées de -4 sont 2i et -2i.
L’arithmétique de i elle-même a initialement posé un obstacle aux mathématiciens. J’ai déclaré plus haut qu’un négatif fois un négatif donne un positif et nous sommes familiers de manière innée avec l’idée qu’un positif fois un positif donne un positif. Avec l’unité imaginaire, cela semble se briser, deux positifs se multipliant pour donner un négatif :
i × i = i2 = -1
De même, ici, deux négatifs se multiplient pour donner un négatif :
-i × -i = i2 = -1
Ceci a posé problème pendant un certain temps et a donné l’impression à certains que leur utilisation en mathématiques formelles n’était pas rigoureuse. Rafael Bombelli, un autre italien de la Renaissance, a écrit un livre intitulé, simplement, Algebra en 1572 où il a essayé d’expliquer les mathématiques aux personnes sans expertise de niveau diplôme, ce qui en fait un pionnier précoce de l’éducation. Dans Algebra, il explique comment effectuer l’arithmétique sur les nombres positifs, négatifs et imaginaires, en faisant valoir que l’unité imaginaire (i n’a pas été utilisé comme symbole avant le 18e siècle) n’était ni positive ni négative et n’obéissait donc pas aux règles habituelles de l’arithmétique.
Le travail de ces mathématiciens sur les nombres imaginaires a permis le développement de ce qui est maintenant appelé le théorème fondamental de l’algèbre. En termes de base, le nombre de solutions d’une équation est toujours égal à la plus grande puissance de l’inconnue de l’équation. Par exemple, lorsque je calculais les racines carrées de -4 ci-dessus, je résolvais l’équation x2= -4. La plus grande (et seule) puissance de l’inconnue x dans l’équation est deux, et voilà que nous avons trouvé deux réponses, 2i et -2i.
Avec une équation cubique, où la plus grande puissance est trois, je devrais obtenir trois solutions. Regardons x3 + 4x = 0, qui est la même forme d’équation cubique que celle traitée par Tartaglia. x = 0 est une solution, car 03 – 4 × 0 = 0 – 0 = 0, ce qui remplit l’équation. Mais qu’en est-il des deux autres solutions que nous attendons d’une cubique ?
Eh bien, il n’y a plus de solutions réelles à l’équation, mais il y en a des imaginaires. En fait, 2i et -2i sont aussi des solutions à cette équation, ce qui nous donne nos trois solutions au total.
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Ce n’est que quelques centaines d’années après Bombelli que le théorème fondamental de l’algèbre a été rigoureusement prouvé par le libraire parisien Jean-Robert Argand en 1806. Argand fut également un pionnier dans la mise en relation des nombres imaginaires avec la géométrie via le concept de nombres complexes.
Les nombres complexes sont des nombres comportant une partie réelle et une partie imaginaire. Par exemple, 4 + 2i est un nombre complexe avec une partie réelle égale à 4 et une partie imaginaire égale à 2i. Il s’avère que les nombres réels et les nombres imaginaires sont également des nombres complexes. Par exemple, 17 est un nombre complexe avec une partie réelle égale à 17 et une partie imaginaire égale à zéro, et i est un nombre complexe avec une partie réelle de zéro.
Un autre Français, Abraham de Moivre, a été parmi les premiers à relier les nombres complexes à la géométrie avec son théorème de 1707 qui reliait les nombres complexes et la trigonométrie ensemble. Argand a ensuite développé les diagrammes d’Argand, qui sont comme un graphique normal avec un axe x et y, sauf que ses axes sont les nombres réels et imaginaires. Ces percées ont permis de résoudre des problèmes algébriques complexes en utilisant la géométrie.
Comme tant de développements dans les mathématiques, tout cela était d’un intérêt purement académique jusqu’à l’ère électronique moderne. Les nombres complexes se révèlent incroyablement utiles pour analyser tout ce qui se présente sous forme d’ondes, comme le rayonnement électromagnétique que nous utilisons dans les radios et le wifi, les signaux audio pour la musique et la communication vocale et les alimentations en courant alternatif. De même, la physique quantique réduit toutes les particules à des formes d’onde, ce qui signifie que les nombres complexes sont essentiels pour comprendre ce monde étrange qui nous a permis de profiter des ordinateurs modernes, de la fibre optique, du GPS, de l’imagerie IRM, pour n’en citer que quelques-uns. Dieu merci, les mathématiciens, d’il y a 500 ans à nos jours, ont décidé que les nombres imaginaires valaient la peine d’être étudiés après tout.
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