Le taux de cisaillement pour un fluide s’écoulant entre deux plaques parallèles, l’une se déplaçant à une vitesse constante et l’autre étant stationnaire (écoulement de Couette), est défini par
γ ˙ = v h , {\displaystyle {\dot {\gamma }}={\frac {v}{h}},}
où :
- est le taux de cisaillement, mesuré en secondes réciproques;
- v est la vitesse de la plaque mobile, mesurée en mètres par seconde;
- h est la distance entre les deux plaques parallèles, mesurée en mètres.
Or:
γ ˙ i j = ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i . {\displaystyle {\dot {\gamma }}_{ij}={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}+{\frac {\partial v_{j}{\partial x_{i}}.}
Pour le cas simple du cisaillement, il s’agit simplement d’un gradient de vitesse dans un matériau en écoulement. L’unité de mesure SI du taux de cisaillement est le s-1, exprimé en « secondes réciproques » ou « secondes inverses ».
Le taux de cisaillement à la paroi interne d’un fluide newtonien s’écoulant dans un tuyau est
γ ˙ = 8 v d , {\displaystyle {\dot {\gamma }}={\frac {8v}{d}},}
où :
- est le taux de cisaillement, mesuré en secondes réciproques;
- v est la vitesse linéaire du fluide;
- d est le diamètre intérieur du tuyau.
La vitesse linéaire du fluide v est liée au débit volumétrique Q par
v = Q A , {\displaystyle v={\frac {Q}{A}},}
où A est la surface de section transversale du tuyau, qui, pour un rayon intérieur du tuyau de r, est donnée par
A = π r 2 , {\displaystyle A=\pi r^{2},}
ce qui produit
v = Q π r 2 . {\displaystyle v={\frac {Q}{\pi r^{2}}.}
Substituant ce qui précède dans l’équation précédente pour le taux de cisaillement d’un fluide newtonien s’écoulant dans un tuyau, et notant (au dénominateur) que d = 2r :
γ ˙ = 8 v d = 8 ( Q π r 2 ) 2 r , {\displaystyle {\dot {\gamma }}={\frac {8v}{d}}={\frac {8\left({\frac {Q}{pi r^{2}}}\right)}{2r},}
qui se simplifie à la forme équivalente suivante pour le taux de cisaillement de la paroi en fonction du débit volumétrique Q et du rayon intérieur r du tuyau :
γ ˙ = 4 Q π r 3 . {\displaystyle {\dot {\gamma }}={\frac {4Q}{\pi r^{3}}.}
