Les nombres complexes sont des nombres qui se composent de deux parties – un nombre réel et un nombre imaginaire. Les nombres complexes sont les éléments constitutifs de mathématiques plus complexes, comme l’algèbre. Ils peuvent être appliqués à de nombreux aspects de la vie réelle, en particulier en électronique et en électromagnétisme.
Le format standard des nombres complexes est a + bi, avec le nombre réel en premier et le nombre imaginaire en dernier. Parce que l’une ou l’autre partie pourrait être 0, techniquement, tout nombre réel ou nombre imaginaire peut être considéré comme un nombre complexe. Complexe ne signifie pas compliqué ; cela signifie que les deux types de nombres se combinent pour former un complexe, comme un complexe d’habitation – un groupe de bâtiments réunis.
Les nombres réels sont des valeurs tangibles qui peuvent être tracées sur une ligne horizontale de nombres, comme les fractions, les nombres entiers ou tout nombre dénombrable auquel vous pouvez penser. Les nombres imaginaires sont des concepts abstraits qui sont utilisés lorsque vous avez besoin de la racine carrée d’un nombre négatif.
Ajouter &multiplier des nombres complexes
Parce qu’un nombre complexe est un binôme – une expression numérique à deux termes – l’arithmétique se fait généralement de la même manière que tout binôme, en combinant les termes semblables et en simplifiant. Par exemple :
(3 + 2i) + (4 – 4i)
(3 + 4) = 7
(2i – 4i) = -2i
Le résultat est 7-2i.
Pour la multiplication, on emploie la méthode FOIL pour la multiplication des polynômes : multiplier le Premier, multiplier l’Extérieur, multiplier l’Intérieur, multiplier le Dernier, puis additionner. Par exemple :
(3 – 2i)(5 + 3i) =
(3)(5) + (3)(3i) + (-2i)(5) + (-2i)(3i) =
15 + 9i + -10i + -6i2 =
15 – i – 6(-1) =
21 – i
La raison pour laquelle i2 se simplifie en (-1) est que i est la racine carrée de -1.
Division des nombres complexes
La division, cependant, devient plus compliquée et nécessite l’utilisation de conjugués. Les conjugués complexes sont des paires de nombres complexes qui ont des signes différents, comme (a + bi) et (a – bi). La multiplication des conjugués complexes entraîne l’annulation du moyen terme. Par exemple :
(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – (bi)2
Cela se simplifie en a2 – b2(i2) = a2 – b2(-1)
Le résultat final est a2 + b2
Lorsqu’on divise des nombres complexes, on détermine le conjugué du dénominateur et on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué. Par exemple,
(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)
Le conjugué de 7 + 4i est 7 – 4i. Il faut donc multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué :
(5 + 2i)(7 – 4i) ÷ (7 + 4i)(7 – 4i) =
(35 + 14i – 20i – 8i2) ÷ (49 – 28i + 28i – 16i2 ) =
(35 – 6i + 8) ÷ (49 + 16) =
(43 – 6i) ÷ 65
Valeur absolue des nombres complexes
La valeur absolue d’un nombre est considérée comme sa distance par rapport à zéro sur la ligne des nombres. Parce que les nombres complexes incluent des nombres imaginaires, ils ne peuvent pas être tracés sur la ligne des nombres réels. Cependant, ils peuvent être mesurés à partir de zéro sur le plan des nombres complexes, qui comprend un axe x (pour le nombre réel) et l’axe y (pour le nombre imaginaire).
Utilisations des nombres complexes
Les nombres complexes peuvent être utilisés pour résoudre des quadratiques pour les zéros. La formule quadratique résout ax2 + bx + c = 0 pour les valeurs de x. Si la formule fournit un négatif dans la racine carrée, les nombres complexes peuvent être utilisés pour simplifier le zéro.
Les nombres complexes sont utilisés en électronique et en électromagnétisme. Un seul nombre complexe met ensemble deux quantités réelles, ce qui rend les nombres plus faciles à travailler. Par exemple, en électronique, l’état d’un élément de circuit est défini par la tension (V) et le courant (I). Les éléments de circuit peuvent également avoir une capacité (c) et une inductance (L) qui décrivent la tendance du circuit à résister aux changements de V et I. Plutôt que de décrire l’état de l’élément de circuit par V et I, on peut le décrire par z = V + Ii. Les lois de l’électricité peuvent alors être exprimées en utilisant l’addition et la multiplication de nombres complexes.
Comme mentionné précédemment, cela peut également être appliqué à l’électromagnétisme. Au lieu d’être décrit comme l’intensité du champ électrique et l’intensité du champ magnétique, vous pouvez créer un nombre complexe où les composantes électriques et magnétiques sont les nombres réels et imaginaires.
Lectures complémentaires:
Calculatrice de nombres complexes
Les mathématiques sont amusantes : Nombres complexes
Math Warehouse : Nombres complexes
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