Mathématiquement, le type le plus simple d’onde transversale est une sinusoïdale plane polarisée linéairement. « Plan » signifie ici que la direction de propagation est immuable et la même sur tout le milieu ; « linéairement polarisé » signifie que la direction du déplacement aussi est immuable et la même sur tout le milieu ; et la magnitude du déplacement est une fonction sinusoïdale seulement du temps et de la position le long de la direction de propagation.
Le mouvement d’une telle onde peut être exprimé mathématiquement comme suit. Soit d la direction de propagation (un vecteur de longueur unitaire), et o tout point de référence dans le milieu. Soit u la direction des oscillations (un autre vecteur de longueur unitaire perpendiculaire à d). Le déplacement d’une particule en tout point p du milieu et à tout instant t (secondes) sera
S ( p , t ) = A u sin ( t – ( p – o ) ⋅ d v T + ϕ ). {\displaystyle S(p,t)=Au\sin {\left({\frac {t-(p-o)\cdot {\frac {d}{v}}}{T}}+\phi \right)}}
où A est l’amplitude ou la force de l’onde, T est sa période, v est la vitesse de propagation, et φ est sa phase en o. Tous ces paramètres sont des nombres réels. Le symbole « – » désigne le produit interne de deux vecteurs.
Selon cette équation, l’onde se déplace dans la direction d et les oscillations se produisent d’avant en arrière le long de la direction u. On dit que l’onde est polarisée linéairement dans la direction u.
Un observateur qui regarde un point fixe p verra la particule qui s’y trouve se déplacer selon un mouvement harmonique simple (sinusoïdal) de période T secondes, avec un déplacement maximal de la particule A dans chaque sens ; c’est-à-dire avec une fréquence de f = 1/T cycles d’oscillation complets chaque seconde. Un instantané de toutes les particules à un moment fixe t montrera le même déplacement pour toutes les particules sur chaque plan perpendiculaire à d, les déplacements dans les plans successifs formant un motif sinusoïdal, chaque cycle complet s’étendant le long de d de la longueur d’onde λ = v T = v/f. L’ensemble du motif se déplace dans la direction d avec la vitesse V.
La même équation décrit une onde lumineuse sinusoïdale plane polarisée linéairement, sauf que le « déplacement » S(p, t) est le champ électrique au point p et au temps t. (Le champ magnétique sera décrit par la même équation, mais avec une direction de « déplacement » qui est perpendiculaire à la fois à d et à u, et une amplitude différente.)
Principe de superpositionModifié
Dans un milieu élastique homogène, les oscillations complexes (vibrations d’un matériau ou flux lumineux) peuvent être décrites comme la superposition de nombreuses ondes sinusoïdales simples, transversales (polarisées linéairement) ou longitudinales.
Les vibrations d’une corde de violon, par exemple, peuvent être analysées comme la somme de nombreuses ondes transversales de différentes fréquences, qui déplacent la corde soit vers le haut ou le bas, soit de gauche à droite. Les ondulations dans un étang peuvent être analysées comme une combinaison d’ondes transversales et longitudinales (ondes de gravité) qui se propagent ensemble.
Polarisation circulaireEdit
Si le milieu est linéaire et permet de multiples directions de déplacement indépendantes pour une même direction de déplacement d, nous pouvons choisir deux directions de polarisation mutuellement perpendiculaires, et exprimer toute onde polarisée linéairement dans toute autre direction comme une combinaison linéaire (mélange) de ces deux ondes.
En combinant deux ondes ayant la même fréquence, la même vitesse et la même direction de déplacement, mais avec des phases différentes et des directions de déplacement indépendantes, on obtient une onde polarisée circulairement ou elliptiquement. Dans une telle onde, les particules décrivent des trajectoires circulaires ou elliptiques, au lieu de se déplacer d’avant en arrière.
Il peut être utile de comprendre de revoir l’expérience de pensée avec une corde tendue mentionnée ci-dessus. Remarquez que vous pouvez également lancer des ondes sur la ficelle en déplaçant votre main vers la droite et la gauche au lieu de vers le haut et le bas. Il s’agit d’un point important. Les ondes peuvent se déplacer dans deux directions indépendantes (orthogonales) (ceci est vrai pour deux directions à angle droit, le haut et le bas et la droite et la gauche sont choisis pour plus de clarté). Toutes les ondes lancées en déplaçant votre main en ligne droite sont des ondes polarisées linéairement.
Mais maintenant, imaginez que vous déplacez votre main dans un cercle. Votre mouvement va lancer une onde en spirale sur la corde. Vous déplacez votre main simultanément de haut en bas et d’un côté à l’autre. Les maxima du mouvement latéral se produisent à un quart de longueur d’onde (ou un quart de tour de cercle, c’est-à-dire 90 degrés ou π/2 radians) des maxima du mouvement de haut en bas. En tout point de la corde, le déplacement de la corde décrira le même cercle que votre main, mais retardé par la vitesse de propagation de l’onde. Remarquez également que vous pouvez choisir de déplacer votre main dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens inverse. Ces mouvements circulaires alternés produisent des ondes polarisées circulairement à droite et à gauche.
Dans la mesure où votre cercle est imparfait, un mouvement régulier décrira une ellipse, et produira des ondes polarisées elliptiquement. À l’extrême de l’excentricité, votre ellipse deviendra une ligne droite, produisant une polarisation linéaire le long du grand axe de l’ellipse. Un mouvement elliptique peut toujours être décomposé en deux mouvements linéaires orthogonaux d’amplitude inégale et déphasés de 90 degrés, la polarisation circulaire étant le cas particulier où les deux mouvements linéaires ont la même amplitude.
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