L’un des principaux inconvénients des nombres binaires est que l’équivalent en chaîne binaire d’un grand nombre décimal en base 10 peut être assez long.
Lorsque l’on travaille avec de grands systèmes numériques, comme les ordinateurs, il est courant de trouver des nombres binaires composés de 8, 16 et même 32 chiffres, ce qui rend difficile à la fois la lecture ou l’écriture sans produire d’erreurs, en particulier lorsque l’on travaille avec beaucoup de nombres binaires de 16 ou 32 bits.
Une façon courante de surmonter ce problème est d’organiser les nombres binaires en groupes ou ensembles de quatre bits (4-bits). Ces groupes de 4 bits utilisent un autre type de système de numérotation également couramment utilisé dans les systèmes informatiques et numériques appelés Nombres Hexadécimaux.
Chaîne de nombres hexadécimaux
Le système de numérotation « Hexadécimal » ou simplement « Hex » utilise le système de base de 16 et sont un choix populaire pour représenter les longues valeurs binaires parce que leur format est assez compact et beaucoup plus facile à comprendre par rapport aux longues chaînes binaires de 1 et de 0.
Etant un système en base 16, le système de numération hexadécimal utilise donc 16 (seize) chiffres différents avec une combinaison de chiffres de 0 à 15. En d’autres termes, il y a 16 symboles de chiffres possibles.
Cependant, l’utilisation de cette méthode de notation des chiffres pose un problème potentiel causé par le fait que les chiffres décimaux de 10, 11, 12, 13, 14 et 15 sont normalement écrits en utilisant deux symboles adjacents. Par exemple, si nous écrivons 10 en hexadécimal, voulons-nous dire le nombre décimal dix, ou le nombre binaire deux (1 + 0). Pour contourner ce problème délicat, les nombres hexadécimaux qui identifient les valeurs de dix, onze, . . . , quinze sont remplacés par les lettres majuscules de A, B, C, D, E et F respectivement.
Alors, dans le système de numération hexadécimal, nous utilisons les chiffres de 0 à 9 et les lettres majuscules de A à F pour représenter son équivalent en nombre binaire ou décimal, en commençant par le chiffre le moins significatif à droite.
Comme nous venons de le dire, les chaînes binaires peuvent être assez longues et difficiles à lire, mais nous pouvons nous faciliter la vie en divisant ces grands nombres binaires en groupes pairs pour les rendre beaucoup plus faciles à écrire et à comprendre. Par exemple, le groupe suivant de chiffres binaires 1101 0101 1100 11112 est beaucoup plus facile à lire et à comprendre que 11010101110011112 lorsqu’ils sont tous regroupés.
Dans l’utilisation quotidienne du système de numération décimale, nous utilisons des groupes de trois chiffres ou 000 du côté droit pour rendre un très grand nombre, comme un million ou un trillion, plus facile à comprendre et il en va de même dans les systèmes numériques.
Les nombres hexadécimaux sont un système plus complexe que l’utilisation des seuls chiffres binaires ou décimaux et sont principalement utilisés lorsqu’il s’agit d’ordinateurs et d’emplacements d’adresses mémoire. En divisant un nombre binaire en groupes de 4 bits, chaque groupe ou ensemble de 4 chiffres peut maintenant avoir une valeur possible entre « 0000 » (0) et « 1111 » ( 8+4+2+1 = 15 ), ce qui donne un total de 16 combinaisons de nombres différentes de 0 à 15. N’oubliez pas que « 0 » est également un chiffre valide.
Nous nous souvenons de notre premier tutoriel sur les nombres binaires qu’un groupe de chiffres de 4 bits est appelé un « nibble » et comme 4 bits sont également nécessaires pour produire un nombre hexadécimal, un chiffre hexadécimal peut également être considéré comme un nibble, ou un demi-octet. Alors deux chiffres hexadécimaux sont nécessaires pour produire un octet complet allant de 00 à FF.
De plus, puisque 16 dans le système décimal est la quatrième puissance de 2 ( ou 24 ), il y a une relation directe entre les nombres 2 et 16 donc un chiffre hexadécimal a une valeur égale à quatre chiffres binaires donc maintenant q est égal à « 16 ».
En raison de cette relation, quatre chiffres dans un nombre binaire peuvent être représentés par un seul chiffre hexadécimal. Cela rend la conversion entre les nombres binaires et hexadécimaux très facile, et l’hexadécimal peut être utilisé pour écrire de grands nombres binaires avec beaucoup moins de chiffres.
Les chiffres de 0 à 9 sont toujours utilisés comme dans le système décimal original, mais les chiffres de 10 à 15 sont maintenant représentés par des lettres majuscules de l’alphabet de A à F inclus et la relation entre décimal, binaire et hexadécimal est donnée ci-dessous.
Nombre hexadécimal
| Nombre décimal | 4-bit | Nombre hexadécimal |
| 0 | 0000 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 |
| 8 | 1000 | 8 |
| 9 | 1001 | 9 |
| 10 | 1010 | A |
| 11 | 1011 | B |
| 12 | 1100 | C |
| 13 | 1101 | D |
| 14 | 1110 | E |
| 15 | 1111 | F |
| 16 | 0001 0000 | 10 (1+0) |
| 17 | 0001 0001 | 11 (1+1) |
| Continuant vers le haut par groupes de quatre | ||
En utilisant le nombre binaire original du dessus 1101 0101 1100 11112 ceci peut maintenant être converti en un nombre hexadécimal équivalent de D5CF qui est beaucoup plus facile à lire et à comprendre qu’une longue rangée de 1 et de 0 que nous avions auparavant.
Donc, en utilisant la notation hexadécimale, les nombres numériques peuvent être écrits en utilisant moins de chiffres et avec une probabilité beaucoup plus faible qu’une erreur se produise. De même, reconvertir des nombres basés sur l’hexadécimal en binaire est simplement l’opération inverse.
Alors, les principales caractéristiques d’un système de numération hexadécimal sont qu’il y a 16 chiffres de comptage distincts de 0 à F, chaque chiffre ayant un poids ou une valeur de 16 en commençant par le bit le moins significatif (LSB). Afin de distinguer les nombres hexadécimaux des nombres deniers, un préfixe composé d’un « # », (tiret) ou d’un « $ » (signe dollar) est utilisé avant la valeur réelle du nombre hexadécimal, #D5CF ou $D5CF.
Comme la base d’un système hexadécimal est 16, ce qui représente également le nombre de symboles individuels utilisés dans le système, l’indice 16 est utilisé pour identifier un nombre exprimé en hexadécimal. Par exemple, le nombre hexadécimal précédent est exprimé comme suit : D5CF16
Compter en utilisant des nombres hexadécimaux
Donc, nous savons maintenant comment convertir 4 chiffres binaires en un nombre hexadécimal. Mais si nous avions plus de 4 chiffres binaires comment pourrions-nous compter en hexadécimal au-delà de la lettre finale F. La réponse simple est de recommencer avec un autre ensemble de 4 bits comme suit .
0…à…9, A,B,C,D,E,F, 10…à…19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21….etc
Ne vous trompez pas, 10 ou 20 n’est PAS dix ou vingt c’est 1 + 0 et 2 + 0 en hexadécimal. En fait, vingt n’existe même pas en hexadécimal. Avec deux nombres hexadécimaux, nous pouvons compter jusqu’à FF qui est égal à 255 en décimal. De même, pour compter plus haut que FF, nous ajouterions un troisième chiffre hexadécimal à gauche, de sorte que le premier nombre hexadécimal de 3 bits serait 10016, (25610) et le dernier serait FFF16, (409510). Le nombre hexadécimal maximum à 4 chiffres est FFFF16 qui est égal à 65 535 en décimal et ainsi de suite.
Représentation d’un nombre hexadécimal
| MSB | Nombre hexadécimal | LSB | ||||||
| 168. | 167 | 166 | 165 | 164 | 163 | 162 | 161 | 160 |
| 4.3G | 2.6G | 16M | 1M | 65k | 4k | 256 | 16 | 1 |
Cet ajout de chiffres hexadécimaux supplémentaires pour convertir les nombres décimaux et binaires en un nombre hexadécimal est très facile s’il y a 4, 8, 12 ou 16 chiffres binaires à convertir. Mais nous pouvons également ajouter des zéros à gauche du bit le plus significatif, le MSB, si le nombre de bits binaires n’est pas un multiple de quatre.
Par exemple, 110010110110012 est un nombre binaire de quatorze bits qui est trop grand pour seulement trois chiffres hexadécimaux, mais trop petit pour un nombre hexadécimal de quatre. La réponse est d’AJOUTER des zéros supplémentaires au bit le plus à gauche jusqu’à ce que nous ayons un ensemble complet de nombre binaire de quatre bits ou des multiples de ceux-ci.
Ajout de 0 supplémentaires à un nombre binaire
| Nombre binaire | 0011 | 0010 | 1101 | 1001 |
| Nombre hexadécimal | 3 | 2 | D | 9 |
Le principal avantage d’un nombre hexadécimal est qu’il est très compact et qu’en utilisant une base de 16, le nombre de chiffres utilisés pour représenter un nombre donné est généralement inférieur à celui du binaire ou du décimal. En outre, il est rapide et facile de convertir entre les nombres hexadécimaux et binaires.
Nombres hexadécimaux Exemple No1
Convertissez le nombre binaire suivant 1110 10102 en son équivalent en nombre hexadécimal.
| Nombre binaire = 111010102 | |||
| Groupez les bits en quatre en commençant par le côté droit | |||
| = | 1110 | 1010 | |
| Trouvez l’équivalent décimal de chaque groupe individuel | |||
| = | 14 | 10 | (en décimal) |
| Convertir en Hexadécimal en utilisant la table ci-dessus | |||
| = | E | A | (en Hex) |
| Alors, l’équivalent hexadécimal du nombre binaire
1110 10102 est #EA16 |
|||
Nombres hexadécimaux Exemple No2
Convertissez le nombre hexadécimal suivant #3FA716 en son équivalent binaire, et aussi en son équivalent décimal ou denier en utilisant des indices pour identifier chaque système de numération.
#3FA716
= 0011 1111 1010 01112
= (8192 + 4096 + 2048 + 1024 + 512 + 256 + 128 + 32 + 4 + 2 + 1)
= 16,29510
Alors, le nombre décimal de 16 295 peut être représenté par :-
#3FA716 en hexadécimal
ou
0011 1111 1010 01112 en binaire.
Résumé des nombres hexadécimaux
Puis pour résumer. Le système de numération hexadécimal, ou Hex, est couramment utilisé dans les systèmes informatiques et numériques pour réduire de grandes chaînes de nombres binaires en un ensemble de quatre chiffres que nous pouvons facilement comprendre. Le mot « Hexadécimal » signifie seize car ce type de système de numération numérique utilise 16 chiffres différents de 0 à 9, et de A à F.
Les nombres hexadécimaux regroupent les nombres binaires en ensembles de quatre chiffres. Pour convertir une séquence binaire en un nombre hexadécimal équivalent, nous devons d’abord regrouper les chiffres binaires en un ensemble de 4 bits. Ces ensembles binaires peuvent avoir n’importe quelle valeur de 010 ( 00002 ) à 1510 ( 11112 ) représentant l’équivalent hexadécimal de 0 à F.
Dans le prochain tutoriel sur la logique binaire, nous verrons comment convertir des chaînes entières de nombres binaires en un autre système de numération numérique appelé nombres octaux et vice versa.
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