1 Introduction
La modélisation mathématique fait référence à l’utilisation d’un langage mathématique pour simuler le comportement d’un système du » monde réel » (pratique). Son rôle est de permettre une meilleure compréhension et caractérisation du système. La théorie est utile pour tirer des conclusions générales à partir de modèles simples, et les ordinateurs sont utiles pour tirer des conclusions spécifiques à partir de modèles complexes (Bender, 2000 ). Dans la théorie des vibrations mécaniques, les modèles mathématiques – appelés modèles structurels – sont utiles pour l’analyse du comportement dynamique de la structure modélisée.
La demande de performances améliorées et fiables des structures vibrantes en termes de poids, de confort, de sécurité, de bruit et de durabilité ne cesse de croître alors que, dans le même temps, il existe une demande de cycles de conception plus courts, de durée de vie plus longue, de minimisation des besoins d’inspection et de réparation, et de réduction des coûts. Avec l’avènement des ordinateurs puissants, il est devenu moins coûteux, en termes de coût et de temps, de réaliser des simulations numériques que de mener une expérience sophistiquée. La conséquence a été un changement considérable vers la conception assistée par ordinateur et les expériences numériques, où les modèles structurels sont employés pour simuler les expériences, et pour effectuer des prédictions précises et fiables du comportement futur de la structure.
Même si nous entrons dans l’ère du prototypage virtuel (Van Der Auweraer, 2002 ), les essais expérimentaux et l’identification des systèmes jouent toujours un rôle clé car ils aident le dynamiciste structurel à réconcilier les prédictions numériques avec les investigations expérimentales. Le terme « identification du système » est parfois utilisé dans un contexte plus large dans la littérature technique et peut également faire référence à l’extraction d’informations sur le comportement structurel directement à partir de données expérimentales, c’est-à-dire sans nécessairement demander un modèle (par exemple, l’identification du nombre de modes actifs ou la présence de fréquences naturelles dans une certaine gamme de fréquences). Dans le présent document, l’identification de systèmes fait référence au développement (ou à l’amélioration) de modèles structurels à partir de mesures d’entrée et de sortie effectuées sur la structure réelle à l’aide de dispositifs de détection des vibrations.
L’identification de systèmes linéaires est une discipline qui a considérablement évolué au cours des 30 dernières années (Ljung, 1987 ; Soderstrom et Stoica, 1989 ). L’estimation des paramètres modaux – appelée analyse modale – est indubitablement l’approche la plus populaire pour réaliser l’identification des systèmes linéaires en dynamique des structures. Le modèle du système est connu sous la forme de paramètres modaux, à savoir les fréquences naturelles, les formes de mode et les rapports d’amortissement. La popularité de l’analyse modale provient de sa grande généralité ; les paramètres modaux peuvent décrire le comportement d’un système pour tout type d’entrée et toute plage d’entrée. De nombreuses approches ont été développées à cet effet : la méthode du domaine temporel d’Ibrahim (Ibrahim et Mikulcik, 1973), l’algorithme de réalisation des systèmes propres (Juang et Pappa, 1985), la méthode d’identification stochastique du sous-espace (Van Overschee et De Moor, 1996), la méthode du domaine fréquentiel complexe des moindres carrés polyréférentiels (Peeters et al., 2004), pour n’en citer que quelques-unes. Une description de l’analyse modale n’entre pas dans le cadre de cet article ; le lecteur intéressé peut consulter (Heylen et al., 1997 ; Maia et Silva, 1997 ; Ewins, 2000 ) pour plus de détails. Il est cependant important de noter que l’identification modale des structures fortement amorties ou des structures industrielles complexes avec une forte densité modale et un grand chevauchement modal est maintenant à portée de main. L’unification du développement théorique des algorithmes d’identification modale a été tentée dans (Allemang et Brown, 1998 ; Allemang et Phillips, 2004 ), ce qui est un autre signe de la maturité de ce domaine de recherche.
L’accent est mis dans ce document de synthèse sur l’identification des systèmes structurels en présence de non-linéarité. La non-linéarité est générique dans la Nature, et le comportement linéaire est une exception. Dans la dynamique des structures, les sources typiques de non-linéarité sont:
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La non-linéarité géométrique résulte lorsqu’une structure subit de grands déplacements et provient de l’énergie potentielle. Une illustration est le pendule simple, dont l’équation du mouvement est θ¨+ω02sinθ=0 ; le terme non linéaire ω02sinθ représente la non-linéarité géométrique, car il modélise les grands mouvements angulaires. Les grandes déformations des continuums élastiques flexibles tels que les poutres, les plaques et les coquilles sont également responsables des non-linéarités géométriques (voir, par exemple, (Amabili et Paidoussis, 2003 ; Nayfeh et Pai, 2004 )). La figure 1 présente un exemple de banc d’essai présentant une non-linéarité géométrique. Une poutre en porte-à-faux est connectée à son extrémité droite à une poutre mince et courte qui présente une non-linéarité géométrique lorsque de grandes déflexions se produisent.
Fig. 1. Poutre en porte-à-faux reliée à une poutre mince et courte (repère ECL ; action COST F3) : (a) montage expérimental ; (b) gros plan de la connexion.
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La non-linéarité d’inertie dérive de termes non linéaires contenant des vitesses et/ou des accélérations dans les équations du mouvement, et prend sa source dans l’énergie cinétique du système (ex, termes d’accélération convective dans un continuum et accélérations de Coriolis dans les mouvements de corps se déplaçant par rapport à des cadres en rotation).
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Un comportement non linéaire du matériau peut être observé lorsque la loi constitutive reliant les contraintes et les déformations est non linéaire. C’est souvent le cas dans les mousses (White et al., 2000 ; Schultze et al., 2001 ; Singh et al., 2003 ) et dans les systèmes de montage résilients tels que les isolateurs en caoutchouc (Richards et Singh, 2001 ).
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La dissipation de l’amortissement est essentiellement un phénomène non linéaire et encore peu modélisé et compris. L’hypothèse d’amortissement modal n’est pas nécessairement la représentation la plus appropriée de la réalité physique, et son utilisation répandue est à attribuer à sa commodité mathématique. Les effets de friction sèche (corps en contact, glissant l’un par rapport à l’autre) et l’amortissement hystérétique sont des exemples d’amortissement non linéaire (voir, par exemple, Caughey et Vijayaraghavan, 1970 ; Tomlinson et Hibbert, 1979 ; Sherif et Abu Omar, 2004 ; Al-Bender et al., 2004). Il est important de noter que le frottement sec affecte la dynamique surtout pour les mouvements de faible amplitude, ce qui est contraire à ce que l’on pourrait attendre de la sagesse conventionnelle. Par exemple, les isolateurs à câble hélicoïdal représentés sur la figure 2 sont caractérisés par un comportement de ramollissement (Juntunen, 2003 ) avec un frottement à l’intérieur du câble et un changement de la géométrie de la boucle du câble lorsqu’il est chargé ; pour ce système, la fréquence de résonance se déplace vers le bas lorsque le niveau d’excitation est élevé, ce qui est une indication claire d’un comportement non linéaire.
Fig. 2. Isolateurs à câble hélicoïdal (référence VTT ; action COST F3) : (a) montage expérimental ; les isolateurs sont montés entre la masse de base d’un vibreur électrodynamique et une masse de charge ; (b) force de rappel mesurée.
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La non-linéarité peut également résulter des conditions aux limites (par exemple, des surfaces libres dans les fluides, des vibro-impacts dus à des joints lâches ou des contacts avec des contraintes rigides, des jeux, des corps élastiques imparfaitement liés), ou de certaines forces corporelles non linéaires externes (par ex, forces magnétoélastiques, électrodynamiques ou hydrodynamiques). La non-linéarité de jeu et de vibro-impact possède une caractéristique force-déflexion non lisse comme le montre la figure 3 et nécessite généralement un traitement spécial par rapport aux autres types de non-linéarités (Babitsky et Krupenin, 2001 ).
Fig. 3. Poutre d’impact : (a) montage expérimental ; (b) force de rappel mesurée.
De nombreux exemples pratiques de comportement dynamique non linéaire ont été rapportés dans la littérature d’ingénierie. Dans l’industrie automobile, le crissement des freins qui est une vibration auto-excitée du rotor de frein liée à la variation du frottement entre les plaquettes et le rotor est un exemple irritant mais non menaçant pour la vie d’un effet indésirable de la non-linéarité (Rhee et al, 1989 ). De nombreuses automobiles ont des supports de moteur viscoélastiques qui présentent un comportement non linéaire marqué : dépendance de l’amplitude, de la fréquence et de la précharge. Dans un avion, outre l’interaction fluide-structure non linéaire, les non-linéarités typiques comprennent le jeu et le frottement dans les surfaces de contrôle et les joints, les non-linéarités de durcissement dans la connexion moteur-pylône et les effets de saturation dans les actionneurs hydrauliques. Dans (Von Karman, 1940), un avion commercial est décrit dans lequel les hélices ont induit une vibration subharmonique d’ordre 1/2 dans les ailes qui a produit une subharmonique d’ordre 1/4 dans le gouvernail. Les oscillations étaient si violentes que les effets sur l’avion étaient catastrophiques (Nayfeh et Mook, 1979). Dans les systèmes mécatroniques, les sources de non-linéarités sont le frottement dans les roulements et les glissières, ainsi que le jeu et le dégagement dans les articulations des robots. Dans le domaine du génie civil, de nombreuses structures démontables, telles que les tribunes de concerts et d’événements sportifs, sont sujettes à une non-linéarité structurelle importante en raison du relâchement des joints. Cela crée à la fois des jeux et des frottements et peut invalider toute simulation basée sur un modèle linéaire du comportement créé par le mouvement de la foule. La non-linéarité peut également survenir dans une structure endommagée : fissures de fatigue, rivets et boulons qui s’ouvrent et se ferment ultérieurement sous l’effet d’une charge dynamique ou pièces internes qui s’impactent les unes sur les autres.
Avec l’intérêt continu d’étendre l’enveloppe de performance des structures à des vitesses toujours plus élevées, il est nécessaire de concevoir des éléments structurels plus légers, plus flexibles et, par conséquent, plus non linéaires. Il s’ensuit que la demande d’utilisation de composants structurels non linéaires (ou même fortement non linéaires) est de plus en plus présente dans les applications d’ingénierie. Il est donc assez paradoxal d’observer que, très souvent, le comportement linéaire est considéré comme acquis dans la dynamique des structures. Pourquoi en est-il ainsi ? Il faut reconnaître que pour des mouvements d’amplitude suffisamment faible, la théorie linéaire peut être précise pour la modélisation, bien que ce ne soit pas toujours le cas (par exemple, le frottement sec). Cependant, la raison principale est que la théorie des systèmes dynamiques non linéaires est bien moins établie que sa contrepartie linéaire. En effet, les principes de base qui s’appliquent à un système linéaire et qui constituent la base de l’analyse modale ne sont plus valables en présence de non-linéarité. En outre, même les systèmes non linéaires faibles peuvent présenter des phénomènes extrêmement intéressants et complexes que les systèmes linéaires ne peuvent pas présenter. Ces phénomènes incluent les sauts, les bifurcations, la saturation, les résonances subharmoniques, superharmoniques et internes, les captures de résonance, les cycles limites, les interactions modales et le chaos. Les lecteurs qui souhaitent une introduction aux oscillations non linéaires peuvent consulter (Nayfeh et Mook, 1979 ; Strogatz, 1994 ; Verhulst, 1999 ; Rand, 2003 ). Les lecteurs plus enclins aux mathématiques peuvent se référer à (Guckenheimer et Holmes, 1983 ; Wiggins, 1990 ). Un bref tutoriel qui souligne les différences importantes entre les dynamiques linéaires et non linéaires est disponible dans la section 2.1 de ce document.
Cela ne veut pas dire que les systèmes non linéaires n’ont pas reçu une attention considérable au cours des dernières décennies. Même si, pendant des années, une façon d’étudier les systèmes non linéaires était l’approche par linéarisation (Caughey, 1963 ; Iwan, 1973 ), de nombreux efforts ont été consacrés au développement de théories pour l’étude des systèmes non linéaires en dynamique des structures. Une extension non linéaire du concept de formes de mode a été proposée dans (Rosenberg, 1962 ; Rosenberg, 1966 ) et approfondie dans (Rand, 1974 ; Shaw et Pierre, 1993 ; Vakakis et al., 1996 ; Vakakis, 1997 ). Les systèmes faiblement non linéaires ont été analysés en profondeur à l’aide de la théorie des perturbations (Nayfeh et Mook, 1979 ; Nayfeh, 1981 ; O’Malley, 1991 ; Kevorkian et Cole, 1996 ). Les méthodes de perturbation comprennent par exemple la méthode du calcul de la moyenne, la technique de Lindstedt-Poincaré et la méthode des échelles multiples et visent à obtenir des approximations asymptotiquement uniformes des solutions. Au cours de la dernière décennie environ, on a assisté à une transition des structures faiblement non linéaires vers des structures fortement non linéaires (par systèmes fortement non linéaires, on entend un système pour lequel les termes non linéaires sont du même ordre que les termes linéaires) grâce à l’extension des techniques de perturbation classiques (Chan et al, 1996 ; Chen et Cheung, 1996 ) et au développement de nouvelles méthodologies (Pilipchuk, 1985 ; Manevitch, 1999 ; Qaisi et Kilani, 2000 ; Babitsky et Krupenin, 2001 ).
Récemment, quelques études ont proposé de tirer profit des non-linéarités au lieu de les ignorer ou de les éviter, ce qui représente un changement de paradigme intéressant. Par exemple, le concept de résonance paramétrique est exploité pour concevoir des oscillateurs microélectromécaniques avec des capacités de filtrage dans (Rhoads et al., 2005 ). Dans (Vakakis et Gendelman, 2001 ; Vakakis et al., 2004a ; Kerschen et al., 2005b ), il est démontré que la non-linéarité essentielle (c’est-à-dire non linéarisable) conduit à des phénomènes de transfert d’énergie non linéaire irréversible entre les sous-systèmes, appelés pompage d’énergie non linéaire. Dans (Nichols et al., 2004 ), l’interrogation chaotique et la reconstruction de l’espace de phase sont utilisées pour évaluer la résistance d’une connexion boulonnée dans une poutre composite. Dans (Epureanu et Hashmi, 2005 ), la forme géométrique des attracteurs dynamiques est exploitée pour mettre en valeur de petites variations paramétriques dans un système.
En se focalisant maintenant sur le développement (ou l’amélioration) de modèles structurels à partir de mesures expérimentales en présence de non-linéarité, c’est-à-dire, En se concentrant maintenant sur le développement (ou l’amélioration) de modèles structurels à partir de mesures expérimentales en présence de non-linéarité, c’est-à-dire l’identification de systèmes non linéaires, on est obligé d’admettre qu’il n’existe pas de méthode d’analyse générale qui puisse être appliquée à tous les systèmes dans tous les cas (voir, par exemple, les aperçus précédents (Adams et Allemang, 1998 ; Worden, 2000 )), comme c’est le cas pour l’analyse modale dans la dynamique structurelle linéaire. En outre, de nombreuses techniques capables de traiter des systèmes de faible dimensionnalité échouent si elles sont confrontées à des systèmes à forte densité modale. Deux raisons de cet échec, à savoir l’inapplicabilité de divers concepts de la théorie linéaire et la nature hautement « individualiste » des systèmes non linéaires, sont discutées dans la section 2.1. Une troisième raison est que la fonction S qui fait correspondre l’entrée x(t) à la sortie y(t), y(t)=S, n’est pas connue à l’avance. Par exemple, l’omniprésent oscillateur de Duffing (Duffing, 1918 ), dont l’équation de mouvement est my¨(t)+cy˙(t)+ky(t)+k3y3(t)=x(t), représente un exemple typique de forme polynomiale de non-linéarité de la force de rappel, alors que l’amortissement hystérétique est un exemple de forme non polynomiale de non-linéarité. Ceci représente une difficulté majeure par rapport à l’identification des systèmes linéaires pour lesquels la structure de la fonctionnelle est bien définie.
Même s’il y a une différence entre la façon dont on faisait l’identification des systèmes non linéaires « historiquement » et la façon dont on la ferait maintenant, le processus d’identification peut être considéré comme une progression en trois étapes, à savoir la détection, la caractérisation et l’estimation des paramètres, comme indiqué sur la figure 4. Une fois le comportement non linéaire détecté, on dit qu’un système non linéaire est caractérisé après avoir déterminé l’emplacement, le type et la forme fonctionnelle de toutes les non-linéarités du système. Les paramètres du modèle sélectionné sont ensuite estimés à l’aide d’un ajustement linéaire des moindres carrés ou d’algorithmes d’optimisation non linéaire, selon la méthode considérée.
Fig. 4. Processus d’identification.
L’identification des systèmes non linéaires fait partie intégrante du processus de vérification et de validation(V&V). Selon (Roache, 1998 ), la vérification se réfère à la résolution correcte des équations, c’est-à-dire à l’exécution des calculs d’une manière mathématiquement correcte, tandis que la validation se réfère à la résolution des équations correctes, c’est-à-dire à la formulation d’un modèle mathématique et à la sélection des coefficients de sorte que le phénomène physique d’intérêt soit décrit à un niveau de fidélité adéquat. Comme indiqué dans (Doebling, 2002 ), une définition qui capture plusieurs des aspects importants de la validation de modèle est tirée de la littérature des sciences de la simulation:
La justification qu’un modèle dans son domaine d’applicabilité possède une gamme satisfaisante de précision compatible avec l’application prévue du modèle (Schlesinger et al…, 1979 ).
La discussion de la vérification et de la validation dépasse la portée de ce document d’aperçu ; le lecteur peut consulter (Roache, 1998 ; Link et Friswell, 2003 ; Babuska et Oden, 2004 ; Hemez et al., 2005 ) et les références qui s’y trouvent.
Portée du document : La motivation de ce document d’enquête est triple. Premièrement, il vise à fournir un point de départ concis pour les chercheurs et les praticiens qui souhaitent évaluer l’état actuel de l’art dans l’identification des modèles structurels non linéaires. Deuxièmement, le document a pour but de passer en revue plusieurs méthodes qui ont été proposées dans la littérature technique et de souligner certaines des raisons qui empêchent l’application de ces techniques à des structures complexes. Le dernier objectif de ce document est d’identifier les besoins futurs en matière de recherche qui aideraient à » pousser l’enveloppe » dans l’identification des systèmes non linéaires.
Le sujet de la dynamique non linéaire est extrêmement vaste, et une vaste littérature existe. Cet article est inévitablement biaisé vers les domaines que les auteurs connaissent le mieux, et cela signifie bien sûr les domaines dans lesquels les auteurs et leurs collègues ont mené des recherches. Par conséquent, il ne s’agit pas d’un aperçu complet des approches passées et actuelles pour l’identification des structures dynamiques non linéaires ; par exemple, il n’y a aucune tentative de résumer de nombreux développements provenant de la théorie du contrôle.
La conception des expériences (par exemple, la sélection des sources d’excitation, le nombre et l’emplacement des capteurs) qui conditionne le succès du processus d’identification n’est pas décrite ici. Certaines informations peuvent être trouvées dans (Leontaritis et Billings, 1987 ; Duym et Schoukens, 1995 ; Worden et Tomlinson, 2001 ). L’identification de systèmes en présence de vibrations chaotiques (Moon, 1987 ) n’est pas non plus abordée.