Nous pouvons utiliser des permutations et des combinaisons pour nous aider à répondre à des questions de probabilité plus complexes
Exemple 1
Un code PIN à 4 chiffres est sélectionné. Quelle est la probabilité qu’il n’y ait pas de chiffres répétés ?
Il y a 10 valeurs possibles pour chaque chiffre du NIP (à savoir : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), il y a donc 10 × 10 × 10 × 10 = 10
4 = 10000 NIP totaux possibles.
Pour qu’il n’y ait pas de chiffres répétés, il faudrait que les quatre chiffres soient différents, ce qui revient à sélectionner sans remplacement. On peut soit calculer 10 × 9 × 8 × 7, soit remarquer que c’est la même chose que la permutation
10P4 = 5040.
La probabilité d’absence de chiffres répétés est le nombre de NIP à 4 chiffres sans chiffres répétés divisé par le nombre total de NIP à 4 chiffres. Cette probabilité est
\displaystyle\frac{{}_{{10}}{P}_{{4}}}}{{10}^{4}}}}=\frac{{5040}}{{10000}}={0,504}
Exemple 2
Dans la loterie d’un certain état, 48 boules numérotées de 1 à 48 sont placées dans une machine et six d’entre elles sont tirées au hasard. Si les six numéros tirés correspondent aux numéros qu’un joueur avait choisis, ce dernier gagne 1 000 000 $. Dans cette loterie, l’ordre dans lequel les numéros sont tirés n’a pas d’importance. Calculez la probabilité que vous gagniez le prix d’un million de dollars si vous achetez un seul billet de loterie.
Pour calculer la probabilité, nous devons compter le nombre total de façons dont six numéros peuvent être tirés, et le nombre de façons dont les six numéros du billet du joueur pourraient correspondre aux six numéros tirés par la machine. Puisqu’il n’est pas stipulé que les numéros doivent être dans un ordre particulier, le nombre de résultats possibles du tirage de la loterie est
48C6 = 12 271 512. Parmi ces résultats possibles, un seul correspondrait aux six numéros du ticket du joueur, la probabilité de gagner le grand prix est donc :
\displaystyle\frac{{{{}_{{6}}{C}_{{6}}}}{{{}_{48}}{C}_{6}}}}=\frac{{{1}}{{12271512}}\approx={0.0000000815}
Exemple 3
Dans la loterie d’État de l’exemple précédent, si cinq des six numéros tirés correspondent aux numéros qu’un joueur a choisis, ce dernier gagne un deuxième prix de 1 000 $. Calculez la probabilité que vous gagniez le deuxième prix si vous achetez un seul billet de loterie.
Comme ci-dessus, le nombre de résultats possibles du tirage de la loterie est
48C6 = 12 271 512. Pour gagner le deuxième prix, cinq des six numéros du billet doivent correspondre à cinq des six numéros gagnants ; en d’autres termes, nous devons avoir choisi cinq des six numéros gagnants et un des 42 numéros perdants. Le nombre de possibilités de choisir 5 des 6 numéros gagnants est donné par 6C5 = 6 et le nombre de possibilités de choisir 1 des 42 numéros perdants est donné par 42C1 = 42. Le nombre d’issues favorables est donc donné par la règle de base du comptage : 6C5 × 42C1 = 6 × 42 = 252. La probabilité de gagner le deuxième prix est donc
\displaystyle\frac{{{\left({}_{6}}{C}_{5}}\right)}{\left({}_{42}}{C}_{1}}\right)}}{{{{{}_{48}}{C}_{{6}}}}=\frac{{252}}{{12271512}}\approx{0.0000205}
Essayez maintenant 1
Une question à choix multiple dans un quiz d’économie contient 10 questions avec cinq réponses possibles chacune. Calculez la probabilité de deviner les réponses au hasard et d’obtenir exactement 9 questions correctes.
Exemple 4
Calculez la probabilité de tirer au hasard cinq cartes d’un jeu et d’obtenir exactement un As.
Dans de nombreux jeux de cartes (comme le poker), l’ordre dans lequel les cartes sont tirées n’est pas important (puisque le joueur peut réorganiser les cartes de sa main comme il le souhaite) ; dans les problèmes qui suivent, nous supposerons que c’est le cas, sauf indication contraire. Ainsi, nous utilisons les combinaisons pour calculer le nombre possible de mains à 5 cartes,
52C5. Ce nombre ira dans le dénominateur de notre formule de probabilité, puisqu’il s’agit du nombre de résultats possibles.
Pour le numérateur, nous avons besoin du nombre de façons de tirer un As et quatre autres cartes (dont aucune n’est un As) du jeu. Puisqu’il y a quatre As et que nous en voulons exactement un, il y aura
4C1 façons de choisir un As ; puisqu’il y a 48 non-Aces et que nous en voulons 4, il y aura 48C4 façons de choisir les quatre non-Aces. Maintenant, nous utilisons la règle de base du comptage pour calculer qu’il y aura 4C1 × 48C4 façons de choisir un as et quatre non as.
En mettant tout cela ensemble, we have
\displaystyle{P}{\left(\text{one Ace}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{1}}\right)}{\left({}_{{48}}{C}_{{4}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{778320}}{{2598960}}\approx{0.299}
Exemple 5
Calculez la probabilité de tirer au hasard cinq cartes d’un jeu et d’obtenir exactement deux As.
La solution est similaire à l’exemple précédent, sauf que maintenant nous choisissons 2 As sur 4 et 3 non-Aces sur 48 ; le dénominateur reste le même :
Il est utile de noter que ces problèmes de cartes sont remarquablement similaires aux problèmes de loterie discutés précédemment.
Essayez maintenant 2
Calculez la probabilité de tirer au hasard cinq cartes d’un jeu de cartes et d’obtenir trois As et deux Rois.
Problème d’anniversaire
Faisons une pause pour considérer un problème célèbre de la théorie des probabilités:
Supposons que vous ayez une salle remplie de 30 personnes. Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins un anniversaire partagé?
Devinez la réponse au problème ci-dessus. Votre estimation était-elle assez faible, comme autour de 10 % ? Cela semble être la réponse intuitive (30/365, peut-être ?). Voyons si nous devons écouter notre intuition. Commençons cependant par un problème plus simple.
Exemple 6
Supposons que trois personnes se trouvent dans une pièce. Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins un anniversaire partagé parmi ces trois personnes ?
Il y a beaucoup de façons dont il pourrait y avoir au moins un anniversaire partagé. Heureusement, il existe un moyen plus simple. On se demande « Quelle est l’alternative à l’existence d’au moins un anniversaire partagé ? ». Dans ce cas, l’alternative est qu’il n’y a
pas d’anniversaires partagés. En d’autres termes, l’alternative à « au moins un » est de n’en avoir aucun. En d’autres termes, puisqu’il s’agit d’un événement complémentaire,
P(au moins un) = 1 – P(aucun)
Nous allons donc commencer par calculer la probabilité qu’il n’y ait pas d’anniversaire partagé. Imaginons que vous soyez l’une de ces trois personnes. Votre anniversaire peut être n’importe quoi sans conflit, il y a donc 365 choix sur 365 pour votre anniversaire. Quelle est la probabilité que la deuxième personne ne partage pas votre anniversaire ? Il y a 365 jours dans l’année (ignorons les années bissextiles) et si l’on exclut la date de votre anniversaire, il y a 364 choix qui garantissent que vous ne partagez pas votre anniversaire avec cette personne. Passons maintenant à la troisième personne. Quelle est la probabilité que cette troisième personne n’ait pas le même anniversaire que vous ou que la deuxième personne ? Il y a 363 jours qui ne feront pas double emploi avec votre anniversaire ou celui de la deuxième personne, donc la probabilité que la troisième personne ne partage pas un anniversaire avec les deux premières est 363/365.
Nous voulons que la deuxième personne ne partage pas un anniversaire avec vous
et que la troisième personne ne partage pas un anniversaire avec les deux premières personnes, nous utilisons donc la règle de multiplication :
\displaystyle{P}{\left(\text{no shared birthday}\right)}=\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\approx{0.9918}
et ensuite soustraire de 1 pour obtenir
P(anniversaire partagé) = 1 – P(pas d’anniversaire partagé) = 1 – 0,9918 = 0,0082.
C’est un nombre assez petit, donc peut-être est-il logique que la réponse à notre problème original soit petite. Faisons notre groupe un peu plus grand.
Exemple 7
Supposons que cinq personnes se trouvent dans une pièce. Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins un anniversaire partagé entre ces cinq personnes ?
Continuant le schéma de l’exemple précédent, la réponse devrait être
\displaystyle{P}{\left(\text{shared birthday}\right)}={1}-\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\cdot\frac{{362}}{{365}}\cdot\frac{{361}}{{365}}\approx{0.0271}
Notez que nous pourrions réécrire ceci de manière plus compacte comme
\displaystyle{P}{\left(\text{anniversaire partagé}\right)}={1}-\frac{{{}_{{365}}{P}_{{5}}}}{365}^{5}}\approx{0.0271}
ce qui facilite un peu la saisie dans une calculatrice ou un ordinateur, et qui suggère une belle formule alors que nous continuons à élargir la population de notre groupe.
Exemple 8
Supposons que 30 personnes se trouvent dans une pièce. Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins un anniversaire partagé parmi ces 30 personnes ?
Nous pouvons ici calculer
\displaystyle{P}{\left(\text{anniversaire partagé}\right)}={1}-\frac{{{}_{{365}}{P}_{30}}}}{{365}^{{30}}}\approx{0.706}
ce qui nous donne le résultat surprenant que lorsque vous êtes dans une pièce avec 30 personnes, il y a 70% de chances qu’il y ait au moins un anniversaire partagé !
Si vous aimez parier, et si vous pouvez convaincre 30 personnes de révéler leur anniversaire, vous pourriez gagner de l’argent en pariant avec un ami qu’il y aura au moins deux personnes ayant le même anniversaire dans la pièce chaque fois que vous êtes dans une pièce de 30 personnes ou plus. (Bien sûr, vous devrez vous assurer que votre ami n’a pas étudié les probabilités !). Vous ne seriez pas assuré de gagner, mais vous devriez gagner plus de la moitié du temps.
C’est l’un des nombreux résultats de la théorie des probabilités qui est contre-intuitif, c’est-à-dire qu’il va à l’encontre de nos instincts. Si vous ne croyez toujours pas aux mathématiques, vous pouvez effectuer une simulation. Pour que vous n’ayez pas à rassembler des groupes de 30 personnes, quelqu’un a eu la gentillesse de développer un applet Java pour que vous puissiez effectuer une simulation sur ordinateur. Allez sur cette page web:
http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html, et une fois l’applet chargée, sélectionnez 30 anniversaires et continuez à cliquer sur Start et Reset. Si vous gardez une trace du nombre de fois où il y a un anniversaire répété, vous devriez obtenir un anniversaire répété environ 7 fois sur 10 fois que vous exécutez la simulation.
Essayez maintenant 3
Supposez que 10 personnes se trouvent dans une pièce. Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins un anniversaire commun parmi ces 10 personnes ?
- \displaystyle{P}{\left({9}\text{ réponses correctes}\right)}=\frac{9\cdot4}{(5^{10})}\approx0.0000037 chance
- \displaystyle{P}{\left(\text{trois As et deux Kings}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{3}}\right)}{\left({}_{{4}}{C}_{{2}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{24}}{{2598960}}\approx{0.0000092}
- \displaystyle{P}{\left(\text{shared birthday}\right)}={1}-\frac{{{}_{{365}}{P}_{10}}}}{365}^{{10}}}\approx{0.117}
David Lippman, Math in Society, « Probability », sous licence CC BY-SA 3.0.