COMMENT TROUVER LA VALEUR MAXIMALE ET MINIMALE D’UNE FONCTION
La valeur de la fonction à un point maximal est appelée la valeur maximale de la fonction et la valeur de la fonction à un point minimal est appelée la valeur minimale de la fonction.
- Différencier la fonction donnée.
- Laissez f'(x) = 0 et trouvez les nombres critiques
- Puis trouvez la dérivée seconde f »(x).
- Appliquez ces nombres critiques dans la dérivée seconde.
- La fonction f (x) est maximale lorsque f »(x) < 0
- La fonction f (x) est minimale lorsque f »(x) > 0
- Pour trouver la valeur maximale et minimale, nous devons appliquer ces valeurs x dans la fonction originale.
Exemples
Exemple 1 :
Déterminer les valeurs maximales des fonctions
y = 4x – x2 + 3
Solution :
f(x) = y = 4x – x2 + 3
Trouvons d’abord la dérivée première
f'(x) = 4(1) – 2x + 0
f'(x) = 4 – 2x
Laissons f'(x) = 0
4 – 2x = 0
2 (2 – x) = 0
2 – x = 0
x = 2
Maintenant trouvons la dérivée seconde
f »(x) = 0 – 2(1)
f »(x) = -2 < 0 Maximum
Pour trouver la valeur maximale, nous devons appliquer x = 2 dans la fonction originale.
f(2) = 4(2) – 22 + 3
f(2) = 8 – 4 + 3
f(2) = 11 – 4
f(2) = 7
Donc la valeur maximale est 7 à x = 2. Vérifions maintenant cela dans le graphique.
Vérification :
y = 4x – x2 + 3
La fonction donnée est l’équation de la parabole.
y = -x² + 4 x + 3
y = -(x² – 4 x – 3)
y = -{ x² – 2 (x) (2) + 2² – 2² – 3 }
y = – { (x – 2)² – 4 – 3 }
y = – { (x – 2)² – 7 }
y = – (x – 2)² + 7
y – 7 = -(x – 2)²
(y – k) = -4a (x – h)²
Ici (h, k) est (2, 7) et la parabole est ouverte vers le bas.
Exemple 2 :
Trouvez la valeur maximale et minimale de la fonction
2×3 + 3×2 – 36x + 1
Solution :
Let y = f(x) = 2×3 + 3×2 – 36x + 1
f'(x) = 2(3×2) + 3 (2x) – 36 (1) + 0
f'(x) = 6×2 + 6x – 36
fixer f'(x) = 0
6x² + 6x – 36 = 0
÷ par 6 => x² + x – 6 = 0
(x – 2)(x + 3) = 0
|
x – 2 = 0 x = 2 |
x + 3 = 0 x = -3 |
f'(x) = 6x² + 6x – 36
f »(x) = 6(2x) + 6(1) – 0
f »(x) = 12x + 6
Mettre x = 2
f »(2) = 12(2) + 6
= 24 + 6
f »(2) = 30 > 0 Minimum
Pour trouver la valeur minimale appliquons x = 2 dans la fonction originale
f(2) = 2(2)3 + 3(2)2 -. 36(2) + 1
= 2(8) + 3(4) – 72 + 1
= 16 + 12 – 72 + 1
= 29 – 72
f(2) = -43
Placer x = -3
f »(-3) = 12(-3) + 6
= -36 + 6
f »(-3) = -30 > 0 Maximum
Pour trouver la valeur maximale appliquons x = -.3 dans la fonction originale
f(-3) = 2 (-3)3 + 3 (-3)2 – 36 (-3) + 1
= 2(-27) + 3(9) + 108 + 1
= -54 + 27 + 109
= -54 + 136
= 82
Donc la valeur minimale est -43 et la valeur maximale est 82.
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