Caractéristiques de fréquence et de phase de l’oscillation de la flamme de bougie

L’influence du nombre de bougies sur un oscillateur unique

Kitahata et al. ont souligné que la flamme d’un oscillateur à bougie unique vacillerait périodiquement lorsqu’il est composé de pas moins de 3 bougies. Dans le cas contraire, il maintient une combustion stable. Ainsi, l’origine de l’oscillation et l’impact du nombre de bougies dans un oscillateur méritent une étude approfondie. Des oscillateurs de flamme contenant de 1 à 10 bougies ont été testés expérimentalement. La disposition des bougies est indiquée par les points jaunes sur la Fig. 1. La caméra haute vitesse est alignée avec le centre des flammes des bougies, la distance entre elles étant fixe. Toutes les séquences sont enregistrées lorsque la flamme atteint un état d’oscillation stable et, comme le montre la Fig. 1, les images en échelle de gris montrent le moment du pic de chaque groupe de flammes. Le profil de la flamme varie en amplitude, qui tend généralement à augmenter de façon monotone avec le nombre de bougies. Pour une seule bougie, la flamme ne présente pas d’oscillation visible et reste stable ; pour un groupe de 2 bougies, la luminosité de la flamme augmente légèrement et la flamme présente par moments une minuscule fluctuation, mais ni régulière ni évidente. Pour le groupe composé de plus de 3 bougies, la flamme présente une oscillation régulière dont l’amplitude et la fréquence sont plus ou moins stables. Lorsque le nombre de bougies contenues augmente, la luminosité augmente également de façon monotone. Des séries temporelles sont obtenues (voir dans la section Méthodes) et présentées dans la Fig. 2(a). Le spectre de fréquence de chaque oscillateur est obtenu par Fast Fourier Transformation (FFT) et sa dépendance au nombre de bougies est montrée dans la Fig. 2(b). Lorsque le nombre est inférieur à 3, les flammes restent stables mais non périodiques. Lorsque le nombre est égal ou supérieur à 3, une oscillation apparaît et la fréquence diminue de façon monotone lorsque le nombre augmente. De plus, la fréquence reste dans la gamme de 10-12 Hz, ce qui correspond aux résultats de T. Maxworthy et Hamins et al.26,27, dans lesquels des flammes de diffusion étaient concernées et la fréquence était déterminée par le diamètre des jets et la force de l’écoulement. Les données correspondent à une formule empirique entre la fréquence et le diamètre du brûleur28 : f ∝ D-0,49.

Lorsque le nombre de bougies contenues augmente, le débit de combustible augmente en conséquence et entraîne donc une demande croissante d’oxygène. L’air libre autour des bougies allumées a un débit plutôt faible29, qui peut être considéré comme quasi-statique. Il faut plus de temps pour réintroduire l’air nécessaire dans la zone de combustion lorsque la réaction est plus radicale. Parallèlement, la bouffée générée par les bougies devient plus importante à mesure que leur nombre augmente, ce qui nécessite un temps plus long pour flotter à l’air libre. En conséquence, la fréquence de l’oscillateur diminue avec l’augmentation du nombre.

Il convient de noter que l’arrangement affecte également le comportement de l’oscillation, même avec le même nombre de bougies dans un oscillateur. Dans le cas de 6 bougies, par exemple, trois types d’arrangement sont vérifiés dans notre expérience, et on constate que la luminosité et les fréquences sont toutes différentes. Le premier type, comme indiqué à gauche de la figure 3(a), présente la plus grande amplitude et la plus petite fréquence en raison de sa plus grande largeur. D’autre part, le groupe le plus rapproché a la fréquence la plus élevée mais la plus petite amplitude, car une surface de réaction plus petite entraînera à la fois une moindre consommation d’oxygène et une plus petite bouffée comme mentionné ci-dessus. Cependant, la différence dans ces trois cas n’est pas significative en réalité, ce qui indique que l’impact de l’arrangement est beaucoup plus faible que le nombre de bougies.

Synchronisation entre deux oscillateurs symétriques identiques

L’impact du nombre de bougies et de l’arrangement sur l’amplitude et la fréquence d’oscillation pour un oscillateur unique est discuté dans la section précédente. Dans cette section, nous étudions un système couplé de deux oscillateurs identiques. Kitahata et al. ont découvert que deux oscillateurs à flamme présentaient une synchronisation en phase lorsque la distance entre eux était comprise entre 20 mm et 30 mm et une synchronisation en opposition de phase pour une distance comprise entre 30 mm et 48 mm. Dans nos expériences, la distance entre les bougies est fixée à 20 mm au départ mais se termine à 60 mm, avec un pas de 5 mm. La figure 4 montre les images en échelle de gris de l’oscillation en phase et en opposition de phase. Lorsque la distance augmente, l’état de synchronisation du système passe de l’état en phase à l’état antiphase à environ 35 mm et de l’état antiphase à l’état incohérent à 60 mm. La relation entre la distance et la fréquence des oscillateurs est enregistrée et analysée, et correspond bien aux résultats précédents1. La fréquence augmente légèrement lorsque le système est synchronisé en phase, mais diminue à partir d’une fréquence élevée dans l’anti-phase. De plus, des images de Schlieren ont été présentées afin d’étudier les états de synchronisation entre les groupes de bougies. En comparant les schémas d’écoulement de la synchronisation en phase et en anti-phase, nous pouvons faire une distinction entre eux. En ce qui concerne le mode en phase, le contour du modèle d’écoulement montre une symétrie spatiale et le profil interne est proche d’une ligne droite. Des courbes asymétriques sont observées pour le contour et la ligne intérieure lorsqu’il s’agit du mode déphasé. L’observation des modèles de flux peut fournir une autre perspective de distinction des modes de synchronisation.

Après l’étude du système de deux oscillateurs couplés symétriquement, nous passons au système de trois bougies positionnées en triangle isocèle. Lorsque les distances entre elles sont suffisamment petites, chaque bougie unique du triangle qui a brûlé de manière stable commence à osciller et montre une synchronisation en phase les unes avec les autres. Comme le montre la figure 5, une plus petite amplitude de l’oscillation de la flamme est observée sur la bougie située au sommet lorsque cet angle est inférieur à 60 degrés, et une plus grande amplitude est observée pour un angle au sommet supérieur à 60 degrés. D’après notre analyse, cette différence est associée à différentes forces de couplage. La force de couplage se compose du rayonnement thermique et du flux de chaleur1, ainsi que du flux d’air entraîné par les tourbillons3,29. Une distance plus proche entraîne une température plus élevée entre les flammes et une plus grande vitesse du tourbillon, ce qui a un impact plus important sur la force de couplage. Dans le premier cas, le triangle a deux côtés longs et une base courte. Par conséquent, la bougie au sommet est faiblement couplée aux deux autres et a une amplitude plus faible, tandis que dans le second cas, le couplage devient relativement plus fort, ce qui conduit à une amplitude plus élevée.

Dans nos expériences, nous nous concentrons sur l’impact généré par le rayonnement thermique, qui est positivement corrélé avec la température. Par conséquent, la mesure de la température entre les flammes peut indiquer la force de couplage entre les oscillateurs. Comme le flux de rayonnement décroît avec une loi carrée inverse en fonction de la distance, nous supposons que pour un seul oscillateur, il existe une plage de rayonnement effective dans laquelle une autre flamme est considérablement influencée alors que l’effet du rayonnement peut être ignoré à l’extérieur. Plus la température est élevée, plus la force de couplage est grande et vice versa. Lorsqu’elle descend à une température proche de la température ambiante, les oscillateurs ne peuvent maintenir leur couplage. Par conséquent, la force de couplage diminue de façon monotone avec l’augmentation de la distance entre les bougies, ce qui sera utilisé pour forger une explication phénoménologique des résultats plus tard.

De nombreuses recherches ont montré que lorsque la force de couplage change progressivement entre les oscillateurs couplés, il existe une valeur seuil30,31,32,33,34 pour la transition des états de synchronisation, ou la stabilité du bassin des états cohérents change avec le changement de la force de couplage35. En considérant les expériences de deux oscillateurs identiques, nous pourrions intuitivement arriver à la conclusion que la force de couplage devrait décroître avec l’augmentation de la distance entre eux. Lorsque la force de couplage décroît jusqu’à un certain point, l’état de synchronisation doit passer de cohérent à incohérent. Cependant, cette intuition n’est pas conforme au résultat montré à la figure 6. Lorsque la distance augmente, l’état passe d’une synchronisation en phase à une synchronisation en antiphase. Cela signifie que la transition des états n’est pas causée par le changement de bassin. Par conséquent, la cause de la transition d’état mérite une recherche plus approfondie.

Considérant le couplage mené par le rayonnement thermique entre les oscillateurs de flamme, la distribution de température entre deux oscillateurs a été sondée à l’aide d’une caméra infrarouge. La figure 6(j-l) représente le cas d’une oscillation en phase (20 mm entre deux oscillateurs), en anti-phase (40 mm) et incohérente (70 mm). Sur la base de toutes ces observations expérimentales, le « modèle des pics superposés » a été proposé pour expliquer le phénomène. Grâce à ce modèle, nous avons pu établir un lien entre le changement de distance et la transition des états de synchronisation. Le modèle est illustré à la figure 6 et décrit comme suit. Comme le montre la figure 6(a-c), la ligne continue rouge représente la distance au rayonnement maximum et la ligne noire représente la distance au minimum. Les deux lignes sont des courbes gaussiennes. L’axe horizontal indique une intensité de rayonnement négligeable. Pour les oscillateurs couplés, l’intensité du couplage est représentée par la zone de chevauchement sous les deux courbes de rayonnement effectif. Les courbes de rayonnement maximum et minimum sont le point clé du modèle. Évidemment, dans le cas de deux flammes couplées, il y aura quatre domaines de chevauchement constitués par ces deux paires de courbes. Le domaine de recouvrement des deux profils minimaux est rempli de noir et marqué comme S3, et le recouvrement maximal est marqué de rouge et S1, comme le montre la Fig. 6(a) ; le domaine jaune (vert), marqué comme S2(S2′), indique les recouvrements constitués par une flamme atteignant sa courbe maximale (minimale) et l’autre atteignant sa courbe minimale (maximale), comme le montre la Fig. 6(b) par exemple. Il convient de noter que ces domaines peuvent être recouverts les uns par les autres. Ainsi, pour garantir la définition de chaque domaine, ils ne sont pas tous représentés dans chaque sous-figure. Par exemple, dans la Fig. 6(a), le domaine S1 est partiellement couvert par S3, et S2 et S2′ ne sont pas exprimés alors qu’ils existent bel et bien. Lorsque les oscillateurs sont suffisamment proches, la relation S1 > S2 > S3 > 0 est satisfaite comme le montre la Fig. 6(a). C’est-à-dire que même si les deux flammes tombent à leurs minima, le système possède toujours un couplage adéquat pour maintenir la synchronisation en phase. Lorsque la distance augmente, le domaine S3 disparaît, donc S1 > S2 > 0 = S3 comme le montre la Fig. 6(b). Dans ce cas, les flammes ne peuvent pas garder un couplage assez fort pour maintenir la cohérence si les deux atteignent le minimum alors que dans l’antisynchronisation, les deux flammes atteignent alternativement le minimum et sont capables de maintenir le couplage et la cohérence. Lorsque la distance est suffisamment petite, S1 > 0 = S2 = S3 comme le montre la Fig. 6(c). Dans cette situation, les flammes ne peuvent garder ni la synchronisation en phase ni la synchronisation en antiphase, puisque la force de couplage n’est pas assez forte la plupart du temps, et l’oscillation devient incohérente, c’est-à-dire que la différence de phase entre deux oscillateurs ne peut pas être verrouillée.

Si le modèle proposé est correct, alors la courbe de température et les phénomènes devraient s’accorder avec la prédiction du modèle. Afin de vérifier notre modèle, nous avons pris des images infrarouges d’un seul groupe de flamme de bougie lorsqu’il atteint son maximum et son minimum séparément. La courbe de distribution de la température est ensuite calculée et est considérée comme l’étendue effective du rayonnement d’un seul oscillateur. La température ambiante est considérée comme la ligne asymptotique inférieure pour les courbes, car la force de couplage des deux côtés est annulée lorsque les courbes diminuent jusqu’à la température ambiante. Nous appliquons deux ensembles de ces mêmes courbes pour simuler la distribution de température du système couplé de deux oscillateurs identiques. En comparant ces courbes simulées (d-f) avec celles données par le modèle à gauche (a-c) et les distributions de température réelles à droite (g-i), nous avons obtenu des résultats cohérents via les mêmes méthodes de traçage. Ces résultats indiquent que notre modèle fournit une prédiction valide et significative des phénomènes observés dans les expériences. Jusqu’à présent, sur la base de ce modèle, l’état de synchronisation pourrait être expliqué de manière phénoménologique : lorsque les oscillateurs sont assez proches les uns des autres, la rétroaction positive du rayonnement thermique conduit à un mode en phase ; lorsque la distance devient plus grande, le système doit garder une différence de phase de π pour rester sa stabilité ; lorsque la distance est assez grande, la force de couplage est si faible que les oscillateurs ne peuvent pas cohabiter les uns avec les autres, quelle que soit la différence de phase.

Synchronisation entre oscillateurs asymétriques non-identiques et leur différence de phase

Plusieurs phénomènes intéressants sont observés dans un système couplé symétrique, et dans cette section nous étudions le système couplé de deux oscillateurs non-identiques. Deux systèmes asymétriques sont discutés. (1) Le modèle « 3 + 6 », qui consiste en un oscillateur contenant 3 bougies et un autre contenant 6 bougies, comme le montre la figure 7(a), tandis que l’analyse correspondante est représentée à la figure 8. (2) Le motif « 1 + 6 », qui consiste en un oscillateur contenant une seule bougie et un autre contenant 6 bougies, comme le montre la Fig. 9(a).

Nous commençons par le modèle « 3 + 6 ». Comme pour le système symétrique, les flammes ont été synchronisées et verrouillées en phase. Cependant, lorsque les flammes sont très proches (15 mm-35 mm dans nos expériences), la différence de phase n’est plus nulle en raison de son asymétrie. Lorsque la distance augmente (35 mm-55 mm), le système se tourne vers la synchronisation à verrouillage de phase proche de l’anti-phase. Lorsque la distance est supérieure à 55 mm, les flammes deviennent incohérentes et la différence de phase change continuellement. La figure 7(b-d) montre les séries temporelles pour ces cas. Les mêmes résultats sont obtenus dans le domaine des fréquences. L’état de synchronisation proche de l’anti-phase a une fréquence plus élevée qui diminue au fur et à mesure que la séparation entre les oscillateurs augmente, tandis que l’état proche de l’en-phase a une fréquence plus faible mais croissante.

Le « modèle des pics superposés » peut également être appliqué à l’explication de la synchronisation dans un système asymétrique. Des méthodes similaires ont été mises en œuvre, bien que certains détails aient été modifiés. Selon notre modèle, l’état de synchronisation devrait ressembler à un mode en phase lorsque la distance est plus petite et à un mode en antiphase lorsqu’elle est plus grande. De plus, l’oscillation devrait être dominée par le groupe « 6 », le plus grand, dont la force de couplage est la plus forte. Sur la figure 8, les courbes de gauche représentent l’oscillateur décharné contenant 3 bougies, tandis que les courbes de droite représentent l’oscillateur robuste possédant 6 bougies en conséquence. Contrairement aux cas symétriques, les portées de rayonnement effectives de « 3 » et « 6 » ne sont pas identiques, donc les domaines superposés ne sont pas symétriques non plus, surtout pour les zones de S2 et S2′ qui déterminent la force de couplage à l’autre et ne sont plus égales. Pour le cas où S1 > S2 (>S2′) > S3 > 0, l’oscillateur de « 6 » imposera une force de couplage plus forte à « 3 » apparemment (ce qui signifie que « 6 » a une température plus élevée ou un rayonnement plus fort), donc « 3 » atteindra son pic maximal plus tôt car son pic est plus bas que « 6 » et une certaine différence de phase apparaît. Pour S1 > S2 (>S2′) > 0 = S3, ce mode se décale de l’anti-phase supposée avec une certaine différence due à l’asymétrie de S2 et S2′. Lorsque la distance est assez grande, la force de couplage devient négligeable et résulte en une incohérence de phase, qui a une différence de phase changeante monotone causée par la fréquence inhérente différente pour « 3 » et « 6 », plutôt que la différence de phase à peine changeante dans le système symétrique.

De la même manière, les courbes de simulation et les profils réels de la distribution de la température sont tracés et montrent la cohérence avec notre modèle. Notre modèle pourrait s’appliquer à ce cas également : des oscillateurs suffisamment fermés et plus affectés par le rayonnement conduisent à un mode en phase ; une distance plus grande oblige le système à conserver un mode similaire en opposition de phase pour conserver sa stabilité ; les oscillateurs perdent leur cohérence lorsque la distance est assez grande.

À la fin de cette section, on discute du motif « 1 + 6 », dont l’asymétrie est beaucoup plus distincte que le cas de « 3 + 6 ». Comme observé précédemment, une seule flamme de bougie n’oscille pas et reste stable dans une situation isolée. Cependant, lorsqu’un oscillateur de « 6 » est placé à proximité (<15 mm), la « 1 » commence à osciller, ce qui est causé par le couplage de « 6 », et présente une synchronisation proche de la phase, similaire au cas de « 3 + 6 ». Au fur et à mesure que la distance augmente, entre 15 mm et 45 mm, l’amplitude de l’oscillation du « 1 » diminue jusqu’à une faible valeur et présente une synchronisation en opposition de phase. Lorsque la distance est supérieure à 45 mm, le couplage devient si faible que la flamme d’une seule bougie cesse d’osciller et retrouve sa stabilité. Pendant ce temps, le groupe de « 6 » oscille encore. Les séries temporelles correspondantes sont présentées à la Fig. 9(b-d) et les distributions de température à la Fig. 10. Au fur et à mesure que la distance augmente, la température au milieu entre les deux flammes décroît jusqu’à la température ambiante, indiquant que le couplage effectif par rayonnement devient négligeable.

Discussion sur les changements de différence de phase dans les systèmes couplés

Dans les sections 3.2 et 3.3, plusieurs changements de différence de phase ont été observés dans des systèmes différemment couplés, qui peuvent être généralement classés en deux cas : (1) la phase incohérente, qui est causée par un couplage plutôt faible. (2) La phase changeant discrètement, qui forme des enveloppes dans les séries temporelles et affiche des étapes dans la différence de phase. Leur distinction et leur origine seront discutées dans la section suivante.

Le premier cas de changement de phase est dû à la longue distance entre les flammes, qui conduit à un couplage trop faible pour conserver la cohérence. Pour le système symétrique idéal, la différence de phase devrait rester constante même si la distance entre les oscillateurs est grande, puisque la fréquence propre des oscillateurs est la même. Cependant, une minuscule variation de la différence de phase est observée dans notre expérience, qui change lentement en une demi-période (en restant dans une plage de π). D’après l’observation et l’analyse, ce type de changement est attribué à la combustion instable de la bougie. Comme la flamme dure plus de 10 secondes, les mèches des bougies qui participent à la combustion s’allongent et se penchent vers l’extérieur, la flamme perd donc sa symétrie et son étanchéité et donne lieu à l’irrégularité de l’oscillation. Le changement subtil de l’amplitude entraîne également des variations de la fréquence et de la différence de phase. Pour le système d’asymétrie, il est clair que la différence de phase devrait changer de façon monotone puisque les fréquences inhérentes des oscillateurs non identiques sont différentes comme cela est observé dans nos expériences.

Dans le deuxième cas, des changements plus intéressants de la différence de phase sont observés dans nos expériences. Un autre système asymétrique de « 3 + 6 » est considéré, comme le montre la figure 11(c). Les amplitudes des deux oscillateurs présentent des enveloppes périodiques. Le taux de changement de phase dans ce cas est beaucoup plus élevé que dans le premier cas, presque deux fois plus. Ce type de changement continu de la différence de phase est probablement attribuable aux enveloppes périodiques de l’amplitude, qui indique une fréquence changeant périodiquement.

Méthode de modélisation numérique

Le simulateur numérique de dynamique des fluides Fire Dynamics Simulator (FDS), développé par le NIST, a été utilisé pour modéliser les comportements du feu. Les résultats simulés ont été comparés et évalués sur la base de l’illustration visuelle de la forme de la flamme ainsi que de la distribution de la température autour de la pointe de la flamme.

Les paramètres liés à la chaleur utilisés dans le modèle de simulation sont fixés à certaines valeurs et pourraient ne pas correspondre totalement aux situations réelles en raison du manque d’équipement de mesure du flux thermique. Nous avons d’abord simulé la situation correspondant à la section 3.2. Afin d’obtenir les valeurs initiales appropriées pour la simulation d’un seul groupe de bougies, nous avons utilisé une méthode similaire à celle de la section 3.1, selon laquelle le taux de dégagement de chaleur par unité de surface (HRRPUA) de la partie en feu dans le modèle était continuellement ajusté pour trouver les paramètres minimaux applicables au groupe. Nous avons également effectué des simulations d’autres circonstances pour observer le résultat.

Pour la simulation, un domaine de 140 × 60 × 200 mm3 contenant 210000 cellules a été créé autour de la bougie virtuelle. La condition aux limites a été fixée comme des évents d’ouverture pour les 4 parois latérales et le plafond de la bougie et comme une paroi inerte froide pour le sol. Le modèle de bougie a été simplifié pour réduire la consommation de ressources informatiques. Il consiste en une base de bougie inerte de 11 × 11 × 20 mm3 et une mèche de 5,5 × 5,5 × 10 mm3. La base et la mèche sont alignées coaxialement et les surfaces de la mèche partagent une HRRPUA uniforme de 1340,0 kW/mm2 par défaut. De plus, les propriétés de la cire brûlante ont été tirées d’anciens résultats de mesure. Les paramètres initiaux des deux bougies sont définis comme identiques au début des simulations.

Le même processus pour deux oscillateurs identiques a ensuite été répété dans la simulation. Les résultats sont présentés dans la figure 12. Lorsque la distance entre eux augmente, nous avons trouvé des oscillations en phase et en anti-phase à 30 mm et 45 mm. De même, lorsque la distance est supérieure à 70 mm, les oscillateurs deviennent incohérents, ce qui est similaire aux résultats expérimentaux. La simulation a permis de vérifier que les modes de synchronisation pouvaient changer avec l’augmentation de la distance. La similitude entre les résultats des expériences et des simulations constitue également une vérification pour le modèle phénoménologique proposé.

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