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Section 4-1 : La définition
Vous savez, c’est toujours un peu effrayant quand on consacre une section entière juste à la définition de quelque chose. Les transformées de Laplace (ou simplement les transformées) peuvent sembler effrayantes lorsque nous commençons à les examiner. Cependant, comme nous allons le voir, elles ne sont pas aussi mauvaises qu’elles peuvent paraître au premier abord.
Avant de commencer avec la définition de la transformée de Laplace, nous devons nous débarrasser d’une autre définition.
Une fonction est dite continue par morceaux sur un intervalle si l’intervalle peut être décomposé en un nombre fini de sous-intervalles sur lesquels la fonction est continue sur chaque sous-intervalle ouvert (c’est-à-dire le sous-intervalle sans ses extrémités) et a une limite finie aux extrémités de chaque sous-intervalle. Ci-dessous, un croquis d’une fonction continue par morceaux.
En d’autres termes, une fonction continue par morceaux est une fonction qui a un nombre fini de ruptures et qui n’explose à l’infini nulle part.
Maintenant, regardons la définition de la transformée de Laplace.
Définition
Supposons que \(f(t)\) est une fonction continue par morceaux. La transformée de Laplace de \(f(t)\) est notée \(\mathcal{L}\left\{ {f\left( t \right)} \right\}\) et définie comme
\
Il existe une notation alternative pour les transformées de Laplace. Pour des raisons de commodité, nous désignerons souvent les transformées de Laplace par,
\
Avec cette notation alternative, notez que la transformée est réellement une fonction d’une nouvelle variable, \(s\), et que tous les \(t\) vont tomber dans le processus d’intégration.
Maintenant, l’intégrale dans la définition de la transformée est appelée une intégrale impropre et il serait probablement préférable de se rappeler comment ces types d’intégrales fonctionnent avant de sauter réellement dans le calcul de certaines transformées.
Maintenant que nous nous souvenons comment les faire, calculons quelques transformées de Laplace. Nous allons commencer avec probablement la transformée de Laplace la plus simple à calculer.
Il n’y a pas vraiment grand chose à faire ici, à part insérer la fonction \(f(t) = 1\) dans \(\eqref{eq:eq1}\)
\
Maintenant, à ce stade, remarquez que ce n’est rien de plus que l’intégrale de l’exemple précédent avec \(c = – s\). Par conséquent, tout ce que nous devons faire est de réutiliser \(\eqref{eq:eq2}\) avec la substitution appropriée. En faisant cela, on obtient,
\
Ou, avec une certaine simplification, on a,
\
Notez que nous avons dû mettre une restriction sur \(s\) afin de calculer réellement la transformation. Toutes les transformées de Laplace auront des restrictions sur \(s\). À ce stade du jeu, cette restriction est quelque chose que nous avons tendance à ignorer, mais nous ne devrions vraiment jamais oublier qu’elle est là.
Faisons un autre exemple.
Placer la fonction dans la définition de la transformée et faire une petite simplification.
\N
Encore une fois, remarquez que nous pouvons utiliser \(\eqref{eq:eq2}\) à condition que \(c = a – s\). Donc, faisons cela.
\
Faisons un autre exemple qui ne se résume pas à une application de \(\eqref{eq:eq2}\).
Comme cet exemple le montre, le calcul des transformées de Laplace est souvent désordonné.
Avant de passer à la section suivante, nous devons faire un petit aparté. À l’occasion, vous verrez ce qui suit comme définition de la transformée de Laplace.
Notez le changement de la limite inférieure de zéro à l’infini négatif. Dans ces cas, il y a presque toujours l’hypothèse que la fonction \(f(t)\\) est en fait définie comme suit,
\
En d’autres termes, on suppose que la fonction est nulle si t<0. Dans ce cas, la première moitié de l’intégrale tombe puisque la fonction est nulle et on revient à la définition donnée dans . Une fonction de Heaviside est généralement utilisée pour rendre la fonction nulle pour t<0. Nous les étudierons dans une section ultérieure.
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