1 Introduktion
Matematisk modellering henviser til brugen af matematisk sprog til at simulere opførslen af et system i den “virkelige verden” (praktisk). Dens rolle er at give en bedre forståelse og karakterisering af systemet. Teori er nyttig til at drage generelle konklusioner fra enkle modeller, og computere er nyttige til at drage specifikke konklusioner fra komplicerede modeller (Bender, 2000 ). I teorien om mekaniske vibrationer er matematiske modeller – såkaldte strukturelle modeller – nyttige til analyse af den dynamiske adfærd hos den struktur, der modelleres.
Der er en stadig stigende efterspørgsel efter forbedrede og pålidelige præstationer af vibrerende konstruktioner med hensyn til vægt, komfort, sikkerhed, støj og holdbarhed, samtidig med at der er en efterspørgsel efter kortere konstruktionscyklusser, længere driftslevetid, minimering af inspektions- og reparationsbehov og lavere omkostninger. Med fremkomsten af kraftige computere er det blevet billigere både med hensyn til omkostninger og tid at foretage numeriske simuleringer end at udføre et sofistikeret eksperiment. Konsekvensen har været et betydeligt skift i retning af computerstøttet design og numeriske eksperimenter, hvor strukturmodeller anvendes til at simulere eksperimenter og til at foretage nøjagtige og pålidelige forudsigelser af strukturens fremtidige adfærd.
Selv om vi er på vej ind i en tidsalder med virtuelle prototyper (Van Der Auweraer, 2002 ), spiller eksperimentel afprøvning og systemidentifikation stadig en central rolle, fordi de hjælper strukturdynamikeren til at forene numeriske forudsigelser med eksperimentelle undersøgelser. Udtrykket “systemidentifikation” anvendes undertiden i en bredere sammenhæng i den tekniske litteratur og kan også referere til udtræk af oplysninger om strukturens adfærd direkte fra eksperimentelle data, dvs. uden nødvendigvis at anmode om en model (f.eks. identifikation af antallet af aktive tilstande eller tilstedeværelsen af egenfrekvenser inden for et bestemt frekvensområde). I denne artikel henviser systemidentifikation til udviklingen (eller forbedringen) af strukturelle modeller ud fra input- og outputmålinger, der udføres på den reelle struktur ved hjælp af vibrationsfølere.
Linear systemidentifikation er en disciplin, der har udviklet sig betydeligt i løbet af de sidste 30 år (Ljung, 1987 ; Soderstrom og Stoica, 1989 ). Modal parameterestimation – kaldet modalanalyse – er utvivlsomt den mest populære metode til at udføre lineær systemidentifikation inden for strukturdynamik. Systemets model er kendt som værende i form af modalparametre, nemlig egenfrekvenser, modusformer og dæmpningsforhold. Modalanalysens popularitet skyldes dens store generalitet; modalparametre kan beskrive et systems opførsel for enhver inputtype og ethvert inputområde. Der er blevet udviklet mange tilgange til dette formål: Ibrahims tidsdomænemetode (Ibrahim og Mikulcik, 1973 ), algoritme til realisering af egensystemer (Juang og Pappa, 1985 ), stochastisk underrumsidentifikationsmetode (Van Overschee og De Moor, 1996 ), polyreference least-squares komplekse frekvensdomænemetode (Peeters et al., 2004 ) for blot at nævne nogle få af dem. En beskrivelse af modalanalyse ligger ikke inden for rammerne af denne artikel; den interesserede læser kan finde yderligere oplysninger i (Heylen et al., 1997 ; Maia og Silva, 1997 ; Ewins, 2000 ). Det er dog vigtigt at bemærke, at modal identifikation af stærkt dæmpede strukturer eller komplekse industrielle strukturer med høj modaltæthed og stor modal overlapning nu er inden for rækkevidde. Der blev gjort forsøg på at forene den teoretiske udvikling af algoritmer til modalidentifikation i (Allemang og Brown, 1998 ; Allemang og Phillips, 2004 ), hvilket er endnu et tegn på modenhed på dette forskningsområde.
Fokus i denne oversigtsartikel er på identifikation af strukturelle systemer i tilstedeværelse af ikke-linearitet. Ikke-linearitet er generisk i naturen, og lineær adfærd er en undtagelse. I strukturdynamik er typiske kilder til ikke-linearitet følgende:
–
Geometrisk ikke-linearitet opstår, når en struktur udsættes for store forskydninger, og opstår på grund af den potentielle energi. Et eksempel herpå er det simple pendul, hvis bevægelsesligning er θ¨+ω02sinθ=0; det ikke-lineære udtryk ω02sinθ repræsenterer geometrisk ikke-linearitet, da det modellerer store vinkelbevægelser. Store deformationer af fleksible elastiske kontinua såsom bjælker, plader og skaller er også ansvarlige for geometrisk ikke-linearitet (se f.eks. (Amabili og Paidoussis, 2003 ; Nayfeh og Pai, 2004 )). Et eksempel på et prøveanlæg med geometrisk ikke-linearitet er vist i fig. 1. En cantileverbjælke er i sin højre ende forbundet med en tynd, kort bjælke, der udviser en geometrisk ikke-linearitet, når der opstår store deformationer.
Fig. 1. Cantilever-bjælke forbundet med en tynd, kort bjælke (ECL-benchmark; COST-aktion F3): (a) forsøgsopstilling; (b) nærbillede af forbindelsen.
–
Inertia nonlinearitet stammer fra ikke-lineære termer, der indeholder hastigheder og/eller accelerationer i bevægelsesligningerne, og tager sit udspring i systemets kinetiske energi (f.eks, konvektive accelerationstermer i et kontinuum og coriolisaccelerationer i bevægelser af legemer, der bevæger sig i forhold til roterende rammer).
–
En ikke-lineær materialeadfærd kan observeres, når den konstitutive lov, der relaterer spændinger og belastninger, er ikke-lineær. Dette er ofte tilfældet i skum (White et al., 2000 ; Schultze et al., 2001 ; Singh et al., 2003 ) og i elastiske monteringssystemer som f.eks. gummiisolatorer (Richards og Singh, 2001 ).
–
Dæmpningsdissipation er i det væsentlige et ikke-lineært og stadig ikke fuldt ud modelleret og forstået fænomen. Den modale dæmpningsantagelse er ikke nødvendigvis den mest hensigtsmæssige repræsentation af den fysiske virkelighed, og dens udbredte anvendelse skyldes dens matematiske bekvemmelighed. Tørre friktionseffekter (kroppe i kontakt, der glider i forhold til hinanden) og hysteretisk dæmpning er eksempler på ikke-lineær dæmpning (se f.eks. Caughey og Vijayaraghavan, 1970 ; Tomlinson og Hibbert, 1979 ; Sherif og Abu Omar, 2004 ; Al-Bender et al., 2004 ). Det er vigtigt at bemærke, at tørfriktion påvirker dynamikken især for bevægelser med små amplituder, hvilket er i modstrid med, hvad man kunne forvente ifølge konventionel visdom. For eksempel er de spiralformede wireisolatorer, der er afbildet i fig. 2, karakteriseret ved en blødgørende adfærd (Juntunen, 2003 ) med friktion i wiren og ændring af wirens løkkegeometri ved belastning; for dette system forskydes resonansfrekvensen nedad, når excitationsniveauet øges, hvilket er et klart tegn på ikke-lineær adfærd.
Figur 2. Spiralformede isolatorer af stålwirer (VTT benchmark; COST-aktion F3): (a) forsøgsopstilling; isolatorerne er monteret mellem grundmassen i en elektrodynamisk rystemaskine og en belastningsmasse; (b) målt tilbagekraft.
–
Non linearitet kan også opstå som følge af randbetingelser (f.eks. frie overflader i væsker, vibropåvirkninger som følge af løse samlinger eller kontakter med stive begrænsninger, mellemrum, ufuldstændigt bundet elastiske legemer) eller visse eksterne ikke-lineære kropskræfter (f.eks, magnetoelastiske, elektrodynamiske eller hydrodynamiske kræfter). Ikke-linearitet i forbindelse med mellemrum og vibro-slag har en ikke-flydende kraft-bøjningskarakteristik som vist i fig. 3 og kræver generelt en særlig behandling sammenlignet med andre typer af ikke-lineariteter (Babitsky og Krupenin, 2001 ).
Figur 3. Anslagsstråle: (a) eksperimentel fastgørelse; (b) målt tilbagekraft.
Der er i den tekniske litteratur blevet rapporteret mange praktiske eksempler på ikke-lineær dynamisk adfærd. I bilindustrien er bremseglatter, som er en selvudløst vibration af bremserotoren, der er relateret til friktionsvariationen mellem bremseklodserne og rotoren, et irriterende, men ikke livstruende eksempel på en uønsket effekt af ikke-linearitet (Rhee et al., 1989 ). Mange biler har viskoelastiske motorophæng, som udviser en markant ikke-lineær opførsel: afhængighed af amplitude, frekvens og forspænding. I et fly er der ud over den ikke-lineære vekselvirkning mellem væske og struktur også typiske ikke-lineariteter som f.eks. tilbagespil og friktion i styreflader og samlinger, ikke-lineariteter i forbindelse med hærdning i forbindelsen mellem motor og pylon og mætningseffekter i hydrauliske aktuatorer. I (Von Karman, 1940 ) beskrives et kommercielt fly, hvor propellerne inducerede en subharmonisk vibration af orden 1/2 i vingerne, som producerede en subharmonisk vibration af orden 1/4 i roret. Svingningerne var så voldsomme, at virkningerne på flyet var katastrofale (Nayfeh og Mook, 1979 ). I mekatroniske systemer er kilderne til ikke-lineariteter friktion i lejer og føringsveje samt spil og spændinger i robotled. Inden for civilingeniørarbejde er mange demonterbare konstruktioner som f.eks. tribuner ved koncerter og sportsbegivenheder udsat for betydelige strukturelle ulineariteter som følge af løshed i leddene. Dette skaber både spillerum og friktion og kan gøre enhver lineær modelbaseret simulering af den adfærd, der opstår ved publikumsbevægelser, ugyldig. Ikke-linearitet kan også opstå i en beskadiget struktur: træthedsrevner, nitter og bolte, der efterfølgende åbner og lukker sig under dynamisk belastning, eller interne dele, der støder på hinanden.
Med den fortsatte interesse for at udvide strukturers ydeevne ved stadig højere hastigheder er der behov for at designe lettere, mere fleksible og følgelig mere ikke-lineære strukturelle elementer. Det følger heraf, at efterspørgslen efter at anvende ikke-lineære (eller endog stærkt ikke-lineære) strukturelle komponenter er mere og mere til stede i tekniske anvendelser. Det er derfor temmelig paradoksalt at konstatere, at lineær adfærd meget ofte tages for givet inden for strukturdynamik. Hvorfor er det sådan? Det bør erkendes, at ved bevægelser med tilstrækkelig lille amplitude kan lineær teori være nøjagtig til modellering, selv om det ikke altid er tilfældet (f.eks. tørre gnidninger). Hovedårsagen er imidlertid, at teorien om ikke-lineære dynamiske systemer er langt mindre veletableret end dens lineære modstykke. De grundlæggende principper, der gælder for et lineært system, og som danner grundlaget for modalanalyse, er nemlig ikke længere gyldige, når der er ikke-linearitet til stede. Desuden kan selv svage ikke-lineære systemer udvise yderst interessante og komplekse fænomener, som lineære systemer ikke kan udvise. Disse fænomener omfatter spring, bifurkationer, mætning, subharmoniske, superharmoniske og interne resonanser, resonansfanger, grænsecykler, modale interaktioner og kaos. Læsere, der søger en introduktion til ikke-lineære svingninger, kan konsultere (Nayfeh og Mook, 1979 ; Strogatz, 1994 ; Verhulst, 1999 ; Rand, 2003 ). Mere matematisk interesserede læsere kan læse (Guckenheimer og Holmes, 1983 ; Wiggins, 1990 ). En kort vejledning, der fremhæver de vigtige forskelle mellem lineær og ikke-lineær dynamik, findes i afsnit 2.1 i dette dokument.
Det betyder ikke, at ikke-lineære systemer ikke har fået betydelig opmærksomhed i de seneste årtier. Selv om en måde at studere ikke-lineære systemer på i årevis var den lineære tilgang (Caughey, 1963 ; Iwan, 1973 ), er der blevet brugt mange kræfter på at udvikle teorier til undersøgelse af ikke-lineære systemer i strukturdynamikken. En ikke-lineær udvidelse af begrebet “mode shapes” blev foreslået i (Rosenberg, 1962; Rosenberg, 1966 ) og yderligere undersøgt i (Rand, 1974; Shaw og Pierre, 1993; Vakakis et al., 1996; Vakakis, 1997 ). Svagt ikke-lineære systemer blev grundigt analyseret ved hjælp af forstyrrelsesteori (Nayfeh og Mook, 1979 ; Nayfeh, 1981 ; O’Malley, 1991 ; Kevorkian og Cole, 1996 ). Perturbationsmetoderne omfatter f.eks. metoden til midling, Lindstedt-Poincaré-teknikken og metoden med flere skalaer og har til formål at opnå asymptotisk ensartede approksimationer af løsningerne. I løbet af det sidste årti har man været vidne til en overgang fra svagt ikke-lineære strukturer til stærkt ikke-lineære strukturer (med stærkt ikke-lineære systemer menes et system, hvor de ikke-lineære termer er af samme orden som de lineære termer) takket være en udvidelse af de klassiske forstyrrelsesteknikker (Chan et al, 1996 ; Chen og Cheung, 1996 ) og udvikling af nye metoder (Pilipchuk, 1985 ; Manevitch, 1999 ; Qaisi og Kilani, 2000 ; Babitsky og Krupenin, 2001 ).
For nylig har nogle få undersøgelser foreslået at drage fordel af ikke-lineariteter i stedet for at ignorere eller undgå dem, hvilket repræsenterer et interessant paradigmeskift. F.eks. udnyttes begrebet parametrisk resonans til at designe mikroelektromekaniske oscillatorer med filtreringsmuligheder i (Rhoads et al., 2005 ). I (Vakakis og Gendelman, 2001; Vakakis et al., 2004a; Kerschen et al., 2005b ) vises det, at væsentlig (dvs. ikke-lineær) ikke-linearitet fører til irreversible ikke-lineære energioverførselsfænomener mellem delsystemer – kaldet ikke-lineær energipumpning. I (Nichols et al., 2004 ) anvendes kaotisk afhøring og rekonstruktion af faserummet til at vurdere styrken af en boltet forbindelse i en kompositbjælke. I (Epureanu og Hashmi, 2005 ) udnyttes den geometriske form af dynamiske attraktorer til at forstærke små parametriske variationer i et system.
Fokuseres nu på udvikling (eller forbedring) af strukturelle modeller ud fra eksperimentelle målinger i tilstedeværelse af ikke-linearitet, dvs, ikke-lineær systemidentifikation, er man tvunget til at indrømme, at der ikke findes nogen generel analysemetode, der kan anvendes på alle systemer i alle tilfælde (se f.eks. tidligere oversigter (Adams og Allemang, 1998 ; Worden, 2000 )), ligesom det er tilfældet for modalanalyse i lineær strukturdynamik. Desuden bryder mange teknikker, som er i stand til at håndtere systemer med lav dimensionalitet, sammen, hvis de står over for systemer med høj modaltæthed. To årsager til dette svigt, nemlig den manglende anvendelighed af forskellige begreber i den lineære teori og den meget “individualistiske” karakter af ikke-lineære systemer, er behandlet i afsnit 2.1. En tredje grund er, at den funktion S, der afbilder input x(t) til output y(t), y(t)=S, ikke er kendt på forhånd. F.eks. repræsenterer den allestedsnærværende Duffing-oscillator (Duffing, 1918 ), hvis bevægelsesligning er my¨(t)+cy˙(t)+ky(t)+k3y3(t)=x(t), et typisk eksempel på polynomial form af ikke-linearitet i forbindelse med genopretningskraft, hvorimod hysteretisk dæmpning er et eksempel på ikke-polynomial form af ikke-linearitet. Dette udgør en stor vanskelighed i forhold til identifikation af lineære systemer, for hvilke funktionalitetens struktur er veldefineret.
Selv om der er forskel på den måde, man “historisk” gjorde identifikation af ikke-lineære systemer på, og den måde, man ville gøre det på nu, kan identifikationsprocessen betragtes som et forløb gennem tre trin, nemlig detektion, karakterisering og parameterestimation, som skitseret i fig. 4. Når ikke-lineær adfærd er blevet påvist, siges et ikke-lineært system at være karakteriseret, efter at placeringen, typen og den funktionelle form af alle ikke-lineariteterne i hele systemet er fastlagt. Parametrene for den valgte model estimeres derefter ved hjælp af lineære mindste kvadraters tilpasning eller ikke-lineære optimeringsalgoritmer, afhængigt af den pågældende metode.
Figur 4. Identifikationsproces.
Nonlineær systemidentifikation er en integreret del af verifikations- og valideringsprocessen(V&V). Ifølge (Roache, 1998 ) henviser verifikation til at løse ligningerne korrekt, dvs. at udføre beregningerne på en matematisk korrekt måde, mens validering henviser til at løse de korrekte ligninger, dvs. at formulere en matematisk model og vælge koefficienterne på en sådan måde, at det relevante fysiske fænomen beskrives med en passende grad af troværdighed. Som anført i (Doebling, 2002 ) er en definition, der indfanger mange af de vigtige aspekter af modelvalidering, hentet fra litteraturen om simuleringsvidenskab:
Den dokumentation, at en model inden for sit anvendelsesområde besidder et tilfredsstillende nøjagtighedsområde, der er i overensstemmelse med den tilsigtede anvendelse af modellen (Schlesinger et al, 1979 ).
Diskussionen om verifikation og validering ligger uden for rammerne af dette oversigtsdokument; læseren kan konsultere (Roache, 1998 ; Link og Friswell, 2003 ; Babuska og Oden, 2004 ; Hemez et al., 2005 ) og referencerne heri.
Dokumentets anvendelsesområde: Motivationen bag dette oversigtsdokument er tredobbelt. For det første er det hensigten at give et kortfattet udgangspunkt for både forskere og praktikere, der ønsker at vurdere det aktuelle tekniske stade inden for identifikation af ikke-lineære strukturelle modeller. For det andet er det hensigten at gennemgå flere metoder, der er blevet foreslået i den tekniske litteratur, og at fremhæve nogle af de grunde, der forhindrer disse teknikker i at blive anvendt på komplekse strukturer. Det sidste mål med denne artikel er at identificere fremtidige forskningsbehov, som vil kunne bidrage til at “skubbe til grænserne” inden for identifikation af ikke-lineære systemer.
Femnet ikke-lineær dynamik er ekstremt bredt, og der findes en omfattende litteratur. Dette dokument er uundgåeligt orienteret mod de områder, som forfatterne er mest fortrolige med, og det betyder naturligvis de områder, som forfatterne og deres kolleger har forsket i. Der er derfor ikke tale om en omfattende oversigt over tidligere og nuværende tilgange til identifikation af ikke-lineære dynamiske strukturer; der er f.eks. ikke gjort noget forsøg på at opsummere mange af de udviklinger, der stammer fra kontrolteori.
Det er ikke beskrevet heri, hvordan eksperimenterne skal udformes (f.eks. valg af spændingskilder, antal og placering af sensorer), som er afgørende for, om identifikationsprocessen lykkes. Nogle oplysninger kan findes i (Leontaritis og Billings, 1987 ; Duym og Schoukens, 1995 ; Worden og Tomlinson, 2001 ). Systemidentifikation i forbindelse med kaotiske vibrationer (Moon, 1987 ) er heller ikke behandlet.