Matematisk set er den enkleste form for transversalbølge en plan lineært polariseret sinusbølge. “Plane” betyder her, at udbredelsesretningen er uforanderlig og ens over hele mediet; “lineært polariseret” betyder, at forskydningsretningen også er uforanderlig og ens over hele mediet, og at forskydningens størrelse kun er en sinusformet funktion af tiden og af positionen langs udbredelsesretningen.
Bevægelsen af en sådan bølge kan matematisk udtrykkes på følgende måde. Lad d være udbredelsesretningen (en vektor med længdeenhed), og o et vilkårligt referencepunkt i mediet. Lad u være svingningsretningen (en anden enhedslængdevektor vinkelret på d). En partikels forskydning i et vilkårligt punkt p i mediet og til et vilkårligt tidspunkt t (sekunder) vil være
S ( p , t ) = A u sin ( t – ( p – o ) ⋅ d v T + ϕ ) {\displaystyle S(p,t)=Au\sin {\left({\frac {t-(p-o)\cdot {\frac {\frac {d}{v}}}}{T}}}+\phi \right)}}
hvor A er bølgens amplitude eller styrke, T er dens periode, v er udbredelseshastigheden, og φ er dens fase ved o. Alle disse parametre er reelle tal. Symbolet “-” betegner det indre produkt af to vektorer.
Med denne ligning bevæger bølgen sig i retningen d, og svingningerne sker frem og tilbage langs retningen u. Bølgen siges at være lineært polariseret i retningen u.
En iagttager, der ser på et fast punkt p, vil se partiklen dér bevæge sig i en simpel harmonisk (sinusformet) bevægelse med en periode på T sekunder, med maksimal partikelforskydning A i hver retning; dvs. med en frekvens på f = 1/T fulde svingningscyklusser hvert sekund. Et øjebliksbillede af alle partikler på et fast tidspunkt t vil vise den samme forskydning for alle partikler i hvert plan vinkelret på d, idet forskydningerne i de på hinanden følgende planer danner et sinusformet mønster, hvor hver fuld cyklus strækker sig langs d med bølgelængden λ = v T = v/f. Hele mønstret bevæger sig i retning d med hastigheden V.
Den samme ligning beskriver en plan lineært polariseret sinusformet sinusformet lysbølge, bortset fra at “forskydningen” S(p, t) er det elektriske felt i punktet p og tidspunktet t. (Det magnetiske felt vil blive beskrevet med den samme ligning, men med en “forskydningsretning”, der er vinkelret på både d og u, og med en anden amplitude.)
OverlejringsprincipRediger
I et homogent elastisk medium kan komplekse svingninger (vibrationer i et materiale eller lysstrømme) beskrives som en overlejring af mange simple sinusbølger, enten transversale (lineært polariserede) eller longitudinale.
Vibrationerne i en violinstreng kan f.eks. analyseres som summen af mange transversale bølger med forskellige frekvenser, der forskyder strengen enten op eller ned eller fra venstre til højre. Krusninger i en dam kan analyseres som en kombination af tværgående og langsgående bølger (tyngdebølger), der forplanter sig sammen.
Cirkulær polariseringRediger
Hvis mediet er lineært og tillader flere uafhængige forskydningsretninger for den samme bevægelsesretning d, kan vi vælge to gensidigt vinkelrette polarisationsretninger og udtrykke enhver bølge, der er lineært polariseret i en hvilken som helst anden retning, som en lineær kombination (blanding) af disse to bølger.
Gennem at kombinere to bølger med samme frekvens, hastighed og bevægelsesretning, men med forskellige faser og uafhængige forskydningsretninger, opnår man en cirkulært eller elliptisk polariseret bølge. I en sådan bølge beskriver partiklerne cirkulære eller elliptiske baner i stedet for at bevæge sig frem og tilbage.
Det kan hjælpe på forståelsen at genbesøge tankeeksperimentet med en spændt snor, som er nævnt ovenfor. Bemærk, at man også kan udsende bølger på strengen ved at bevæge hånden til højre og venstre i stedet for op og ned. Dette er en vigtig pointe. Der er to uafhængige (ortogonale) retninger, som bølgerne kan bevæge sig i. (Dette gælder for to retvinklede retninger, op og ned og højre og venstre er valgt for overskuelighedens skyld). Alle bølger, der udsendes ved at bevæge din hånd i en lige linje, er lineært polariserede bølger.
Men forestil dig nu, at du bevæger din hånd i en cirkel. Din bevægelse vil udsende en spiralbølge på strengen. Du bevæger din hånd samtidig både opad og nedad og fra side til side. Maximaene for bevægelsen fra side til side opstår en kvart bølgelængde (eller en kvart vej rundt om cirklen, dvs. 90 grader eller π/2 radianer) fra maksimaene for bevægelsen opad og nedad. På et hvilket som helst punkt langs strengen vil strengen forskydning beskrive den samme cirkel som din hånd, men forsinket med bølgens udbredelseshastighed. Bemærk også, at du kan vælge at bevæge din hånd i en cirkel med uret eller mod uret. Disse skiftevis cirkulære bevægelser frembringer højre og venstre cirkulært polariserede bølger.
I det omfang din cirkel er ufuldkommen, vil en regelmæssig bevægelse beskrive en ellipse og producere elliptisk polariserede bølger. Ved den ekstreme excentricitet vil din ellipse blive en ret linje, der producerer lineær polarisering langs ellipsens hovedakse. En elliptisk bevægelse kan altid opdeles i to ortogonale lineære bevægelser med ulige amplitude og 90 grader ude af fase, idet cirkulær polarisering er det særlige tilfælde, hvor de to lineære bevægelser har samme amplitude.
