Sådan finder du den maksimale og minimale værdi af en funktion
Værdien af funktionen i et maksimumspunkt kaldes funktionens maksimale værdi, og værdien af funktionen i et minimumspunkt kaldes funktionens minimale værdi.
- Differentiér den givne funktion.
- Lad f'(x) = 0 og find de kritiske tal
- Find derefter den anden afledte f”(x).
- Anvend disse kritiske tal i den anden afledte.
- Funktionen f (x) er maksimal, når f”(x) < 0
- Funktionen f (x) er minimal, når f”'(x) > 0
- For at finde den maksimale og minimale værdi skal vi anvende disse x-værdier i den oprindelige funktion.
Eksempler
Eksempel 1 :
Bestem de maksimale værdier af funktionerne
y = 4x – x2 + 3
Løsning :
f(x) = y = 4x – x2 + 3
Først skal vi finde den første afledede
f'(x) = 4(1) – 2x + 0
f'(x) = 4 – 2x
Lad f'(x) = 0
4 – 2x = 0
2 (2 – x) = 0
2 – x = 0
x = 2
Lad os nu finde den anden afledede
f”(x) = 0 – 2(1)
f”(x) = -2 < 0 maksimum
For at finde den maksimale værdi, skal vi anvende x = 2 i den oprindelige funktion.
f(2) = 4(2) – 22 + 3
f(2) = 8 – 4 + 3
f(2) = 11 – 4
f(2) = 7
Der er derfor den maksimale værdi 7 ved x = 2. Lad os nu kontrollere dette i grafen.
Kontrol :
y = 4x – x2 + 3
Den givne funktion er ligningen for en parabel.
y = -x² + 4 x + 3
y = -(x² – 4 x – 3)
y = -{ x² – 2 (x) (x) (2) + 2² – 2² – 2² – 3 }
y = – { (x – 2)² – 4 – – 3 }
y = – { (x – 2)² – 7 }
y = – (x – 2)² + 7
y – 7 = -(x – 2)²
(y – k) = -4a (x – h)²
Her (h, k) er (2, 7), og parablen er åben nedad.
Eksempel 2 :
Find den maksimale og minimale værdi af funktionen
2×3 + 3×2 – 36x + 1
Løsning :
Lad y = f(x) = 2×3 + 3×2 – 36x + 1
f'(x) = 2(3×2) + 3 (2x) – 36 (1) + 0
f'(x) = 6×2 + 6x – 36
sæt f'(x) = 0
6x² + 6x – 36 = 0
÷ med 6 => x² + x – 6 = 0
(x – 2)(x + 3) = 0
|
x – 2 = 0 x = 2 |
x + 3 = 0 x = -3 |
f'(x) = 6x² + 6x – 36
f”(x) = 6(2x) + 6(1) – 0
f”(x) = 12x + 6
Sæt x = 2
f”'(2) = 12(2) + 6
= 24 + 6
f”(2) = 30 > 0 Minimum
For at finde den mindste værdi skal vi anvende x = 2 i den oprindelige funktion
f(2) = 2(2)3 + 3(2)2 – 36(2) + 1
= 2(8) + 3(4) – 72 + 1
= 16 + 12 – 72 + 1
= 29 – 72
f(2) = -43
Sæt x = -3
f”(-3) = 12(-3) + 6
= -36 + 6
f”(-3) = -30 > 0 Maksimum
For at finde den maksimale værdi skal vi anvende x = -3 i den oprindelige funktion
f(-3) = 2 (-3)3 + 3 (-3)2 – 36 (-3) + 1
= 2(-27) + 3(9) + 108 + 1
= -54 + 27 + 109
= -54 + 136
= 82
Der er derfor en minimumsværdi på -43 og en maksimumsværdi på 82.
Udover de ting, der er givet i dette afsnit, hvis du har brug for andre ting i matematik, kan du bruge vores google custom search her.
Hvis du har feedback om vores matematiske indhold, kan du sende os en mail :
Vi sætter altid pris på din feedback.
Du kan også besøge følgende websider om forskellige ting i matematik.
VORDOPGAVER
HCF- og LCM-ordopgaver
Vordopgaver om simple ligninger
Vordopgaver om lineære ligninger
Vordopgaver om kvadratiske ligninger
Algebra ordopgaver
Ordopgaver om tog
Ordopgaver om areal og omkreds
Ordopgaver om direkte variation og omvendt variation
Ordopgaver om enhedspris
Ordopgaver om opgaver om enhedskurs
Opgaver om sammenligning af kurser
Opgaver om omregning af stofenheder ordopgaver
Opgaver om omregning af metriske stofenheder ordopgaver
Opgaver om simpel rente
Opgaver om Ordopgaver om sammensatte renter
Ordopgaver om vinkeltyper
Ordopgaver om komplementære og supplerende vinkler
Ordopgaver om dobbelte fakta
Ordopgaver om trigonometri
Ordopgaver om trigonometri
Procentvise ordopgaver
Opgaver om fortjeneste og tab
Opgaver om op- og nedskrivning
Decimale ordopgaver
Opgaver om brøker
Opgaver om brøkregning
Opgaver om blandede brøktrioner
Ordopgaver om en entrinsligning
Ordopgaver om lineære uligheder
Ordopgaver om forhold og proportioner
Ordopgaver om tid og arbejde
Ordopgaver om mængder og venndiagrammer
Vordopgaver om alder
Pythagoras’ sætning ordopgaver
Procent af et tal ordopgaver
Vordopgaver om konstant hastighed
Vordopgaver om gennemsnit hastighed
Opgaver om, at summen af vinklerne i en trekant er 180 grader
ANDRE TEMAER
Skorte genveje til gevinst og tab
Korte genveje til procenter
Korte genveje til tidstabeller
Tid, hastighed og afstand genveje
Kortveje til forhold og proportioner
Rationale funktioners område og rækkevidde
Rationale funktioners område og rækkevidde med huller
Grafering af rationale funktioner
Grafi af rationelle funktioner med huller
Konvertering af gentagne decimaltal til brøker
Decimal repræsentation af rationelle tal
Finding af kvadratrod ved hjælp af lang division
L.C.M-metode til at løse tids- og arbejdsproblemer
Omskrive ordproblemer til algebraiske udtryk
Remainder når 2 potens 256 er divideret med 17
Remainder når 17 potens 23 er divideret med 16
Summen af alle trecifrede tal, der kan deles med 6
Summen af alle trecifrede tal, der kan deles med 7
Summen af alle trecifrede tal, der kan deles med 8
Summen af alle trecifrede tal, der dannes ved hjælp af 1, 3, 4
Summen af alle tre fircifrede tal dannet med tal, der ikke er nul
Summen af alle tre fircifrede tal dannet ved hjælp af 0, 1, 2, 3
Summen af alle tre fircifrede tal dannet ved hjælp af 1, 2, 5, 6