Kære Straight Dope:
Jeg er gammel nok til at have hørt om den “nye matematik”, men så vidt jeg kan se, var det det, hvad jeg blev undervist i i skolen. Jeg har spurgt folk, der er ældre end mig selv, hvad præcis den “gamle matematik” var. De var helt sikkert sikre på, at jeg må have været udsat for de nymodens ting, men virkede forundrede, da jeg spurgte dem, hvad forskellene var. Personligt kunne jeg virkelig ikke finde noget matematik, som jeg blev undervist i i gymnasiet eller på universitetet, som ikke havde et solidt grundlag før dette århundrede.
Matt de Vries
Ian, Jill og Dex svarer:
I det femtende århundrede, når tyske forældre ønskede, at deres børn skulle lære addition og subtraktion, sendte de dem til de lokale universiteter. For at få dem til at lære multiplikation og division var de imidlertid nødt til at sende deres børn til Italien for at læse på en videregående uddannelse. Den nye matematik, der kom til Europa kort efter, og som forvandlede CCLXIV x MDCCCIV til et problem, som vi kan lære sjetteklasser at løse, var virkelig revolutionerende. Den nye matematik i tresserne var, ja, ligesom mange andre bevægelser i tresserne, forstyrrende, foragtet og moderat gavnlig, og den findes nu stadig, men inkognito.
Efter at Sputnik blev lanceret, følte amerikanerne, at skolerne var i krise. National Science Foundation (NSF), der blev oprettet i 1950 for at fremme videnskabelig grundforskning, blev udvidet i 1957 og begyndte at undersøge og fremme ændringer i gymnasieuddannelsen inden for matematik, biologi, kemi og samfundsvidenskab. Ændringerne i læseplaner og tekster havde også en afsmittende effekt på grundskolerne. Hovedvægten i disse ændringer var et skift fra lærerens “fortælling” og elevernes oplæsning til “undersøgelse” og “opdagelse” med håb om, at eleverne ville være mere tilbøjelige til at fastholde oplysninger, som de selv fandt ud af, end det, der bare blev fortalt dem i forelæsningsform og lært udenad. Inden for de hårde videnskaber, og i mindre grad inden for samfundsvidenskaberne, blev dette beskrevet som “praktisk læring”. Det er en undervisningsteknik, som undervisere og forældre stadig har stor respekt for den i dag.
I den mere abstrakte matematik var den “praktiske” konnotation imidlertid forstyrrende for lærere og forældre, som havde lært additionsfakta og multiplikationstabeller udenad. Et af fokuspunkterne i den nye matematik var mængdelære, hvor eleverne blev opfordret til at tænke på tal på en ny, forhåbentlig mere konkret måde. Eleverne skulle tage et sæt på fire ting og lægge det sammen med et andet sæt på fem ting. Ja, resultatet var stadig ni, men der blev lagt vægt på begrebet addition, snarere end på svaret i sig selv. Ved hjælp af denne teknik håbede man, at eleverne ville opdage, at sættene ville give det samme tal uanset rækkefølgen (den kommutative egenskab), og at hvis man tog det ene oprindelige sæt fra det kombinerede sæt, ville det give det andet oprindelige sæt, hvorved man opdagede subtraktion, som er den omvendte af addition. Andre aspekter af den nye matematik omfatter anvendelse af andre talbaser end base 10 og introduktion af mere abstrakte talteoretiske begreber som f.eks. primtal tidligere i elevernes karriere. Som du siger, var ingen af disse begreber nyopdaget i det 20. århundrede; skiftet var udelukkende i undervisningsteknikken, ikke i de grundlæggende begreber.
Lærerne var ret modstandere af dette, idet de bemærkede, at undervisningen af klassen som helhed var mindre ensartet, og at muligheden for, at nogle elever kom for langt bagud, blev stærkt forøget. Forældrene var mere højlydte i deres modstand, idet de hævdede, at de ikke længere kunne hjælpe deres børn i tredje klasse med lektierne, og de påpegede en mærkbar tilbagegang i de mere konkrete færdigheder som f.eks. beregning. Ny matematik blev hånet i det offentlige forum, f.eks. i Tom Lehrer’s sang New Math: “It’s so simple / So very simple, / That only a child can do it!” I 1976 var det kun 9 % af skoledistrikterne, der brugte den af NSF foreskrevne læseplan i deres matematikprogrammer. Morris Kline, i Why Johnny Can’t Add: The Failure of the New Math, skrev, at “med næsten perfekt regelmæssighed, bifalder tilbagevenden til traditionelle undervisningsmetoder med indhold og højere standarder for elevernes præstationer.”
Lærebøgerne var kun domineret af det nye matematiksystem i ca. 10 år. Elementer som mængdelære og base-n-beregning er dog stadig bevaret den dag i dag, om end med mindre vægt og som en meget mindre del af det samlede pensum. Lad mig slet ikke komme i gang med den såkaldte “nye nye matematik”, som er en debat, der stadig skal besvares i klasseværelserne, på skolebestyrelses- og forældrebestyrelsesmøder og måske ved domstolene, og som lover at blive et varmt emne i de næste par år. Stay tuned.
SDSTAFF Jill tilføjer:
Her er min fars svar:
“Jeg kan huske indførelsen af ‘ny matematik’ helt tilbage i Scotts Valley. Jeg kan virkelig ikke huske, hvad det var, bortset fra at mit indtryk er, at det bestod mere af at tale om matematik end af at gøre det. De fleste af forældrene var syg af bekymring, fordi de ikke forstod det.”
“Som hjælp kan jeg huske min ungdom i Dudley Elementary School (K, 1-7). Det blev kaldt aritmetik ikke matematik. De første ti eller femten minutter af hver dag i syv år bestod af øvelser i at addere, subtrahere, gange og dividere tal. Vi fik hver især udleveret et kort med dagens opgaver på. Vi havde hver en tavle af tyndt, gennemsigtigt papir. Kortet kom under den øverste side. Vi skrev svarene på papiret. Alle hadede dette. På den anden side kunne alle, der gik igennem syv år af dette, håndtere tal uden lommeregner.”
“Selvfølgelig lavede vi også de sædvanlige ting i aritmetiktimerne. En ting, der var anderledes, var, at vi lærte logaritmer i 7. klasse. Logaritmer bruges ikke længere på grund af computeren og den elektroniske lommeregner. Jeg elsker dem stadigvæk, for de er rigtig smarte. (‘Cool’ er det nye matematikord for ‘pæn’.)
“Den grundlæggende forskel er, at vi lavede aritmetik, som handler om tal, og ny matematik handler mere om ideer og begreber. En anden er: ‘Dette er problemet. Hvad er svaret?’ i modsætning til: ‘Dette er konceptet. Hvad betyder det? Endnu et forsøg på at gøre det sjovt at lære i stedet for at arbejde.”
SDSTAFF Dex tilføjer:
Følgende eksempler kan være med til at tydeliggøre forskellen mellem den nye og den gamle matematik.
1960: En skovhugger sælger et vognlæs tømmer for 100 $. Hans produktionsomkostninger er 4/5 af denne pris. Hvad er hans fortjeneste?
1970 (traditionel matematik): En skovhugger sælger et vognlæs tømmer for 100 $. Hans produktionsomkostninger er 80 $. Hvad er hans fortjeneste?
1975 (Ny matematik): En skovhugger bytter et sæt L af tømmer for et sæt M af penge. Mængden M’s kardinalitet er 100, og hvert element er 1 $ værd.
a) Lav 100 punkter, der repræsenterer elementerne i mængden M
b) Mængden C, der repræsenterer produktionsomkostningerne, indeholder 20 punkter mindre end mængden M. Repræsentér mængden C som en delmængde af mængden M.
c) Hvad er kardinaliteten af mængden P af fortjeneste?
1990 (Dumhed-down math): En skovhugger sælger et vognlæs tømmer for 100 $. Hans produktionsomkostninger er 80 $, og hans fortjeneste er 20 $. Understreg tallet 20.
1997 (Helhedsmatematik): Ved at fælde en skov fuld af smukke træer tjener en skovhugger 20 dollars.
(a) Hvad synes du om denne måde at tjene penge på?
(b) Hvordan havde skovens fugle og egern det?
(c) Tegn et billede af skoven, som du gerne ville have, at den skulle se ud.
Ian, Jill og Dex
Send spørgsmål til Cecil via [email protected].
STAFF REPORTERNE ER SKREVET AF STRAIGHT DOPE SCIENCE ADVISORY BOARD, CECIL’S ONLINE AUXILIARY. SELV OM SDSAB GØR SIT BEDSTE, REDIGERES DISSE KLUMMER AF ED ZOTTI, IKKE CECIL, SÅ MED HENSYN TIL NØJAGTIGHED MÅ DU HELLERE KRYDSE FINGRE.