Komplekse tal er tal, der består af to dele – et reelt tal og et imaginært tal. Komplekse tal er byggestenene i mere indviklet matematik, som f.eks. algebra. De kan anvendes i mange aspekter af det virkelige liv, især inden for elektronik og elektromagnetisme.
Standardformatet for komplekse tal er a + bi, med det reelle tal først og det imaginære tal sidst. Da begge dele kan være 0, kan teknisk set ethvert reelt tal eller imaginært tal betragtes som et komplekst tal. Kompleks betyder ikke kompliceret; det betyder, at de to typer tal kombineres for at danne et kompleks, ligesom et boligkompleks – en gruppe bygninger, der er sat sammen.
Reelle tal er håndgribelige værdier, der kan plottes på en vandret tallinje, f.eks. brøker, hele tal eller ethvert tælleligt tal, som du kan komme i tanke om. Imaginære tal er abstrakte begreber, der bruges, når du har brug for kvadratroden af et negativt tal.
Tilføjelse & multiplikation af komplekse tal
Da et komplekst tal er et binomium – et numerisk udtryk med to termer – foregår aritmetikken generelt på samme måde som ethvert binomium, nemlig ved at kombinere de ens termer og forenkle. For eksempel:
(3 + 2i) + (4 – 4i)
(3 + 4) = 7
(2i – 4i) = -2i
Resultatet er 7-2i.
Til multiplikation anvender man FOIL-metoden for polynomialmultiplikation: multiplicer det første, multiplicer det ydre, multiplicer det indre, multiplicer det sidste og adder derefter. For eksempel:
(3 – 2i)(5 + 3i) =
(3)(5) + (3)(3i) + (-2i)(5) + (-2i)(3i) =
15 + 9i + -10i + -6i2 =
15 – i – 6(-1) =
21 – i
Grunden til, at i2 forenkles til (-1), er, at i er kvadratroden af -1.
Den deling af komplekse tal
Divisionen bliver imidlertid mere kompliceret og kræver brug af konjugater. Komplekse konjugater er par af komplekse tal, der har forskellige tegn, f.eks. (a + bi) og (a – bi). Multiplikation af komplekse konjugater får den midterste term til at ophæve sig. For eksempel:
(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – (bi)2
Dette forenkles til a2 – b2(i2) = a2 – b2(-1)
Det endelige resultat er a2 + b2
Ved division af komplekse tal skal du bestemme konjugatet til nævneren og gange tæller og nævner med det konjugerede. For eksempel,
(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)
Den konjugerede af 7 + 4i er 7 – 4i. Så tæller og nævner skal ganges med konjugatet:
(5 + 2i)(7 – 4i) ÷ (7 + 4i)(7 – 4i) =
(35 + 14i – 20i – 8i2) ÷ (49 – 28i + 28i – 16i2 ) =
(35 – 6i + 8) ÷ (49 + 16) =
(43 – 6i) ÷ 65
Absolut værdi af komplekse tal
Den absolutte værdi af et tal betragtes som dets afstand fra nul på tallinjen. Fordi komplekse tal omfatter imaginære tal, kan de ikke plottes på den reelle tallinje. De kan dog måles fra nul på det komplekse talplan, som omfatter en x-akse (for det reelle tal) og en y-akse (for det imaginære tal).
Anvendelse af komplekse tal
Komplekse tal kan bruges til at løse kvadratiske kvadrater for nulpunkter. Den kvadratiske formel løser ax2 + bx + c = 0 for værdierne af x. Hvis formlen giver et negativ i kvadratroden, kan komplekse tal bruges til at forenkle nulpunktet.
Komplekse tal bruges i elektronik og elektromagnetisme. Et enkelt komplekst tal sætter to reelle størrelser sammen, hvilket gør tallene lettere at arbejde med. I elektronik defineres tilstanden af et kredsløbselement f.eks. ved hjælp af spændingen (V) og strømmen (I). Kredsløbselementer kan også have en kapacitet (c) og en induktans (L), der beskriver kredsløbets tendens til at modstå ændringer i V og I. I stedet for at beskrive kredsløbselementets tilstand ved hjælp af V og I kan den beskrives som z = V + Ii. Elektricitetens love kan så udtrykkes ved hjælp af addition og multiplikation af komplekse umbers.
Som tidligere nævnt kan dette også anvendes på elektromagnetisme. I stedet for at blive beskrevet som elektrisk feltstyrke og magnetisk feltstyrke kan man lave et komplekst tal, hvor de elektriske og magnetiske komponenter er de reelle og imaginære tal.
Yderligere læsning:
Complex number calculator
Math is Fun: Komplekse tal
Math Warehouse: Komplekse tal: Komplekse tal
Den seneste nyhed