Vi kan bruge permutationer og kombinationer til at hjælpe os med at besvare mere komplekse sandsynlighedsspørgsmål
Eksempel 1
En 4-cifret pinkode er valgt. Hvad er sandsynligheden for, at der ikke er nogen gentagne cifre?
Der er 10 mulige værdier for hvert ciffer i PIN-koden (nemlig: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), så der er 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10
4 = 10000 mulige PIN-koder i alt.
For at der ikke er nogen gentagne cifre, skal alle fire cifre være forskellige, hvilket er at vælge uden erstatning. Vi kan enten beregne 10 × 9 × 9 × 8 × 7 eller bemærke, at dette er det samme som permutationen
10P4 = 5040.
Sandsynligheden for ingen gentagne cifre er antallet af 4-cifrede PIN-koder uden gentagne cifre divideret med det samlede antal 4-cifrede PIN-koder. Denne sandsynlighed er
\displaystyle\frac{{{{}_{10}}}{P}_{{{4}}}}{{{10}^{{4}}}}=\frac{{{5040}}}{{10000}}}={0,504}
Eksempel 2
I en bestemt stats lotteri placeres 48 kugler nummereret fra 1 til 48 i en maskine, og seks af dem trækkes tilfældigt. Hvis de seks udtrukne numre stemmer overens med de numre, som en spiller havde valgt, vinder spilleren 1.000.000 dollars. I dette lotteri er det ligegyldigt, i hvilken rækkefølge tallene trækkes. Beregn sandsynligheden for, at du vinder millionpræmien, hvis du køber en enkelt lottokupon.
For at beregne sandsynligheden skal vi tælle det samlede antal måder, hvorpå seks tal kan trækkes, og antallet af måder, hvorpå de seks tal på spillerens kupon kan stemme overens med de seks tal, der er trukket i maskinen. Da der ikke er nogen bestemmelse om, at tallene skal være i en bestemt rækkefølge, er antallet af mulige udfald af lodtrækningen
48C6 = 12 271 512. Af disse mulige udfald er der kun ét, der passer til alle seks numre på spillerens lod, så sandsynligheden for at vinde den store gevinst er:
\displaystyle\frac{{{{}_{6}}}{C}_{{6}}}}{{{}_{{{48}}}{C}_{{6}}}}=\frac{{{1}}}{{12271512}}}\approx={0.0000000815}
Eksempel 3
I statslotteriet fra det foregående eksempel vinder spilleren en anden præmie på 1.000 dollars, hvis fem af de seks trukne numre svarer til de numre, som en spiller har valgt. Beregn sandsynligheden for, at du vinder andenpræmien, hvis du køber en enkelt lottokupon.
Som ovenfor er antallet af mulige udfald af lodtrækningen
48C6 = 12.271.512. For at vinde andenpræmien skal fem af de seks numre på loddet stemme overens med fem af de seks vindernumre; med andre ord skal vi have valgt fem af de seks vindernumre og et af de 42 tabende numre. Antallet af muligheder for at vælge 5 ud af de 6 vindertal er givet ved 6C5 = 6, og antallet af muligheder for at vælge 1 ud af de 42 tabende tal er givet ved 42C1 = 42. Antallet af gunstige udfald er således givet ved hjælp af den grundlæggende tælleregel: 6C5 × 42C1 = 6 × 42 = 252. Så sandsynligheden for at vinde andenpræmien er
\displaystyle\frac{{{{\left({}_{{{6}}{C}_{{5}}}\right)}{{\left({}_{{{42}}}{C}_{{{1}}}\right)}}}{{{}_{{48}}{C}_{6}}}}=\frac{{{252}}}{{{12271512}}\approx{0.0000205}
Prøv det nu 1
Et multiple-choice-spørgsmål i en økonomisk quiz indeholder 10 spørgsmål med fem svarmuligheder hver. Beregn sandsynligheden for at gætte tilfældigt på svarene og få præcis 9 rigtige spørgsmål.
Eksempel 4
Beregn sandsynligheden for tilfældigt at trække fem kort fra et spil og få præcis et es.
I mange kortspil (f.eks. poker) er rækkefølgen af de kort, der trækkes, ikke vigtig (da spilleren kan omarrangere kortene på sin hånd, som han vil); i de følgende opgaver vil vi antage, at dette er tilfældet, medmindre andet er angivet. Vi bruger således kombinationer til at beregne det mulige antal hænder med 5 kort,
52C5. Dette tal skal indgå i nævneren i vores sandsynlighedsformel, da det er antallet af mulige udfald.
I tælleren skal vi bruge antallet af måder at trække et es og fire andre kort (ingen af dem esser) fra bunken på. Da der er fire esser, og vi ønsker præcis ét af dem, vil der være
4C1 måder at vælge ét es på; da der er 48 ikke esser, og vi ønsker 4 af dem, vil der være 48C4 måder at vælge de fire ikke esser på. Nu bruger vi den grundlæggende tælleregel til at beregne, at der vil være 4C1 × 48C4 muligheder for at vælge et es og fire ikke esser.
Samlet set, we have
\displaystyle{P}{\left(\text{one Ace}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{1}}\right)}{\left({}_{{48}}{C}_{{4}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{778320}}{{2598960}}\approx{0.299}
Eksempel 5
Beregne sandsynligheden for, at man tilfældigt trækker fem kort fra et spil og får præcis to esser.
Løsningen svarer til det foregående eksempel, bortset fra at vi nu vælger 2 esser ud af 4 og 3 ikke esser ud af 48; nævneren forbliver den samme:
Det er nyttigt at bemærke, at disse kortproblemer minder bemærkelsesværdigt meget om de lotteriproblemer, der er diskuteret tidligere.
Prøv det nu 2
Beregn sandsynligheden for tilfældigt at trække fem kort fra et sæt kort og få tre esser og to konger.
Fødselsdagsproblem
Lad os tage en pause og overveje et berømt problem i sandsynlighedsteori:
Sæt, at du har et rum fyldt med 30 personer. Hvad er sandsynligheden for, at der er mindst én fælles fødselsdag?
Gæt selv på svaret på ovenstående problem. Var dit gæt ret lavt, f.eks. omkring 10 %? Det synes at være det intuitive svar (30/365, måske?). Lad os se, om vi skal lytte til vores intuition. Lad os dog starte med et mere simpelt problem:
Eksempel 6
Sæt, at der er tre personer i et rum. Hvad er sandsynligheden for, at der er mindst én fælles fødselsdag blandt disse tre personer?
Der er mange måder, hvorpå der kan være mindst én fælles fødselsdag. Heldigvis er der en nemmere måde. Vi spørger os selv: “Hvad er alternativet til, at der er mindst én fælles fødselsdag?” I dette tilfælde er alternativet, at der
ikke er
nogen fælles fødselsdage. Med andre ord, alternativet til “mindst én” er, at der ikke er nogen. Med andre ord, da der er tale om en komplementær begivenhed,
P(mindst én) = 1 – P(ingen)
Vi vil altså starte med at beregne sandsynligheden for, at der ikke er nogen fælles fødselsdag. Lad os forestille os, at du er en af disse tre personer. Din fødselsdag kan være hvad som helst uden konflikt, så der er 365 valgmuligheder ud af 365 for din fødselsdag. Hvad er sandsynligheden for, at den anden person ikke har samme fødselsdag som dig? Der er 365 dage om året (lad os se bort fra skudår), og hvis man fjerner din fødselsdag fra konflikter, er der 364 valgmuligheder, som vil garantere, at du ikke deler fødselsdag med denne person, så sandsynligheden for, at den anden person ikke deler din fødselsdag, er 364/365. Nu går vi videre til den tredje person. Hvor stor er sandsynligheden for, at denne tredje person ikke har samme fødselsdag som hverken du eller den anden person? Der er 363 dage, som ikke vil overlappe din eller den anden persons fødselsdag, så sandsynligheden for, at den tredje person ikke har fødselsdag sammen med de to første personer, er 363/365.
Vi ønsker, at den anden person ikke skal dele fødselsdag med dig
og at den tredje person ikke skal dele fødselsdag med de to første personer, så vi bruger multiplikationsreglen:
\displaystyle{P}{\left(\text{no shared birthday}\right)}=\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\approx{0.9918}
og derefter trække fra 1 for at få
P(fælles fødselsdag) = 1 – P(ingen fælles fødselsdag) = 1 – 0,9918 = 0,0082.
Dette er et ret lille tal, så måske giver det mening, at svaret på vores oprindelige problem vil være lille. Lad os gøre vores gruppe lidt større.
Eksempel 7
Sæt, at der er fem personer i et rum. Hvad er sandsynligheden for, at der er mindst én fælles fødselsdag blandt disse fem personer?
Fortsæt mønsteret fra det foregående eksempel, bør svaret være
\displaystyle{P}{\left(\text{fælles fødselsdag}\right)}={1}-\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\cdot\frac{{362}}{{365}}\cdot\frac{{361}}{{365}}\approx{0.0271}
Bemærk, at vi kan omskrive dette mere kompakt som
\displaystyle{P}{\left(\text{delte fødselsdag}\right)}={1}-\frac{{{}_{{365}}{P}_{{5}}}}{{365}^{{{5}}}}\approx{0.0271}
som gør det lidt nemmere at skrive i en lommeregner eller computer, og som foreslår en fin formel, når vi fortsætter med at udvide populationen i vores gruppe.
Eksempel 8
Sæt, at der er 30 personer i et rum. Hvad er sandsynligheden for, at der er mindst én fælles fødselsdag blandt disse 30 personer?
Her kan vi beregne
\displaystyle{P}{P}{\left(\text{delte fødselsdag}\right)}={1}-\frac{{{}_{{365}}{P}}_{{{30}}}}{{{365}^{{30}}}}\approx{{0.706}
som giver os det overraskende resultat, at når du er i et rum med 30 personer, er der 70% chance for, at der vil være mindst én fælles fødselsdag!
Hvis du kan lide at vædde, og hvis du kan overtale 30 personer til at afsløre deres fødselsdage, kan du måske vinde nogle penge ved at vædde med en ven om, at der vil være mindst to personer med samme fødselsdag i rummet, hver gang du er i et rum med 30 eller flere personer. (Du skal selvfølgelig sikre dig, at din ven ikke har studeret sandsynlighed!) Du ville ikke være garanteret at vinde, men du skulle vinde mere end halvdelen af gangene.
Dette er et af mange resultater i sandsynlighedsteorien, som er kontraintuitivt; det vil sige, at det går imod vores mavefornemmelser. Hvis du stadig ikke tror på matematikken, kan du udføre en simulering. Bare så du ikke behøver at gå rundt og samle grupper på 30 personer, har nogen venligst udviklet en Java-applet, så du kan foretage en computersimulering. Gå til denne webside:
http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html, og når appletten er indlæst, skal du vælge 30 fødselsdage og derefter blive ved med at klikke på Start og Nulstil. Hvis du holder styr på antallet af gange, hvor der er en gentagen fødselsdag, skulle du få en gentagen fødselsdag ca. 7 ud af hver 10 gange, du kører simuleringen.
Prøv det nu 3
Sæt, at der er 10 personer i et rum. Hvad er sandsynligheden for, at der er mindst én fælles fødselsdag blandt disse 10 personer?
- \displaystyle{P}{\left({9}\ \text{svar korrekt}\right)}=\frac{9\cdot4}{(5^{10})}\approx0.0000037 chance
- \displaystyle{P}{\left(\text{tre esser og to Kings}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{3}}\right)}{\left({}_{{4}}{C}_{{2}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{24}}{{2598960}}\approx{0.0000092}
- \displaystyle{P}{\left(\text{delte fødselsdag}\right)}={1}-\frac{{{}_{{365}}}{P}_{{10}}}}{{{365}^{{{10}}}}\approx{0.117}
David Lippman, Math in Society, “Probability,” licenseret under en CC BY-SA 3.0 licens.