I det 16. århundredes Venedig var formler til løsning af ligninger nøje bevogtet som intellektuel ejendom. Af særlig interesse for ballistik- og befæstningseksperten Niccolo Tartaglia var de kvadratiske og kubiske ligninger, som bl.a. modellerer projektilers adfærd under flyvning. Det kan godt være, at du kender dem fra matematiktimerne i skolen – kvadratiske ligninger har et x2-termin i dem og kubiske ligninger et x3-termin. Tartaglia og andre matematikere bemærkede, at nogle løsninger krævede kvadratrødder af negative tal, og heri ligger et problem. Negative tal har ikke kvadratrødder – der findes ikke noget tal, der, når det ganges med sig selv, giver et negativt tal. Det skyldes, at negative tal, når de ganges sammen, giver et positivt resultat: -2 × -2 = 4 (ikke -4).
Tartaglia og hans rival, Gerolamo Cardano, bemærkede, at hvis de tillod negative kvadratrødder i deres beregninger, kunne de stadig give gyldige numeriske svar (reelle tal, som matematikere kalder dem). Tartaglia lærte dette på den hårde måde, da han blev slået af en af Cardanos elever i en månedlang duel om ligningsløsning i 1530.
- Fem mærkelige fakta om matematik
- Kan matematikken besejre terrorisme?
Matematikere bruger i til at repræsentere kvadratroden af minus et. Dette kaldes den imaginære enhed – det er ikke et reelt tal, det findes ikke i det “virkelige” liv. Vi kan dog bruge den til at finde kvadratrødderne af negative tal. Hvis jeg ønsker at beregne kvadratrødderne af -4, kan jeg sige, at -4 = 4 × -1. Det betyder, at kvadratroden af -4 er kvadratroden af 4 ganget med kvadratroden af -1. I symboler:
√-4= √4×√-1
Kvadratroden af 4 er 2, og kvadratroden af -1 er i, hvilket giver os det svar, at kvadratroden af -4 er 2i. Vi skal også bemærke, at -2 også er en kvadratrod af 4 af de grunde, der er nævnt ovenfor. Det betyder, at kvadratrødderne af -4 er 2i og -2i.
I begyndelsen udgjorde selve aritmetikken af i en forhindring for matematikerne. Jeg nævnte ovenfor, at et negativ gange et negativ giver et positivt, og vi er iboende bekendt med tanken om, at et positivt gange et positivt giver et positivt. Med den imaginære enhed synes dette at bryde sammen, idet to positive multipliceres for at give et negativt:
i × i = i2 = -1
Og på samme måde multipliceres her to negative for at give et negativt:
-i × -i = i2 = -1
Dette var i nogen tid et problem og fik nogle mennesker til at føle, at det ikke var stringent at bruge dem i formel matematik. Rafael Bombelli, en anden italiensk renæssancemand, skrev i 1572 en bog, der ganske enkelt hed Algebra, hvor han forsøgte at forklare matematik til folk uden ekspertise på universitetsniveau, hvilket gjorde ham til en tidlig uddannelsespioner. I Algebra forklarer han, hvordan man udfører aritmetik på positive, negative og imaginære tal, idet han argumenterede for, at den imaginære enhed (i blev først brugt som symbol i det 18. århundrede) hverken var positiv eller negativ og derfor ikke adlød de sædvanlige regler for aritmetik.
Disse matematikeres arbejde med imaginære tal gjorde det muligt at udvikle det, der i dag kaldes Algebraens fundamentale sætning. Grundlæggende kan man sige, at antallet af løsninger til en ligning altid er lig med den højeste potens af den ukendte i ligningen. Da jeg f.eks. udregnede kvadratrødderne af -4 ovenfor, løste jeg ligningen x2= -4. Den højeste (og eneste) potens af den ukendte x i ligningen er to, og se og se, vi fandt to svar, 2i og -2i.
Med en kubisk ligning, hvor den højeste potens er tre, burde jeg få tre løsninger. Lad os se på x3 + 4x = 0, som er den samme form for kubisk ligning, som Tartaglia beskæftigede sig med. x = 0 er en løsning, da 03 – 4 × 0 = 0 – 0 = 0 = 0, hvilket opfylder ligningen. Men hvad med de to andre løsninger, som vi forventer af en kubisk?
Jamen, der er ikke flere reelle løsninger til ligningen, men der er imaginære løsninger. Faktisk er 2i og -2i også løsninger til denne ligning, hvilket giver os vores tre løsninger i alt.
Lyt til Science Focus Podcast-episoder om matematik:
- Hvad er det for noget med algoritmer? – Hannah Fry
- Hvad sker der, når matematik går grueligt, grueligt galt? – Matt Parker
Det var først et par hundrede år efter Bombelli, at algebraens fundamentale sætning blev strengt bevist af den parisiske boghandler Jean-Robert Argand i 1806. Argand var også en pioner med hensyn til at relatere imaginære tal til geometri via begrebet komplekse tal.
Komplekse tal er tal med en reel del og en imaginær del. F.eks. er 4 + 2i et komplekst tal med en realdel lig med 4 og en imaginærdel lig med 2i. Det viser sig, at både reelle tal og imaginære tal også er komplekse tal. F.eks. er 17 et komplekst tal med en reel del lig med 17 og en imaginær del lig med nul, og ier et komplekst tal med en reel del lig med nul.
En anden franskmand, Abraham de Moivre, var blandt de første til at relatere komplekse tal til geometri med sin sætning fra 1707, som relaterede komplekse tal og trigonometri sammen. Argand udviklede derefter Argand-diagrammer, der ligner en normal graf med en x- og y-akse, bortset fra at hans akser er de reelle og de imaginære tal. Disse gennembrud gjorde det muligt at løse komplekse algebraiske problemer ved hjælp af geometri.
Som så mange andre udviklinger inden for matematikken var alt dette af rent akademisk interesse indtil den moderne elektroniske tidsalder. Komplekse tal viser sig at være utroligt nyttige til analyse af alt, hvad der kommer i bølger, f.eks. den elektromagnetiske stråling, vi bruger i radioer og wifi, lydsignaler til musik- og talekommunikation og vekselstrømsstrømforsyninger. Ligeledes reducerer kvantefysikken alle partikler til bølgeformer, hvilket betyder, at komplekse tal er afgørende for forståelsen af denne mærkelige verden, som har gjort det muligt for os at nyde godt af moderne computere, fiberoptik, GPS, MRI-billeddannelse, for blot at nævne nogle få. Gudskelov besluttede matematikere fra 500 år siden til i dag, at imaginære tal alligevel var værd at undersøge.
Følg Science Focus på Twitter, Facebook, Instagram og Flipboard