Vis mobilmeddelelse Vis alle noter Vis alle noter Skjul alle noter
Afsnit 4-1 : Definitionen
Det er altid lidt skræmmende, når vi dedikerer et helt afsnit alene til definitionen af noget. Laplace-transformationer (eller bare transformationer) kan virke skræmmende, når vi først begynder at kigge på dem. Men som vi vil se, er de ikke så slemme, som de måske ser ud i første omgang.
Hvor vi begynder med definitionen af Laplace-transformationen, skal vi lige have en anden definition af vejen.
En funktion kaldes stykkevis kontinuert på et interval, hvis intervallet kan opdeles i et endeligt antal delintervaller, hvor funktionen er kontinuert på hvert åbent delinterval (dvs. delintervallet uden endepunkter) og har en endelig grænse ved endepunkterne i hvert delinterval. Nedenfor er en skitse af en stykkevis kontinuert funktion.
Med andre ord er en stykkevis kontinuert funktion en funktion, der har et endeligt antal brud i den og ikke blæser op til uendelighed nogen steder.
Nu skal vi se på definitionen af Laplace-transformationen.
Definition
Sæt, at \(f(t)\) er en stykkevis kontinuert funktion. Laplace-transformationen af \(f(t)\) betegnes \(\mathcal{L}\left\{ {f\left( t \right)} \right\}\\) og er defineret som
\
Der findes en alternativ notation for Laplace-transformationer. For nemheds skyld vil vi ofte betegne Laplace-transformationer som,
\
Med denne alternative notation skal det bemærkes, at transformationen i virkeligheden er en funktion af en ny variabel, \(s\), og at alle \(t\)’erne vil falde ud i integrationsprocessen.
Nu kaldes integralet i definitionen af transformationen et uhensigtsmæssigt integral, og det vil nok være bedst at huske, hvordan denne slags integraler fungerer, før vi rent faktisk kaster os ud i at beregne nogle transformationer.
Nu da vi husker, hvordan man gør, lad os beregne nogle Laplace-transformationer. Vi starter med den nok enkleste Laplace-transformation at beregne.
Der er ikke rigtig meget andet at gøre her end at sætte funktionen \(f(t) = 1\) ind i \(\eqref{eq:eq1}\)
\
Nu skal du på dette tidspunkt bemærke, at dette ikke er andet end integralet i det foregående eksempel med \(c = – s\). Derfor er det eneste, vi skal gøre, at genbruge \(\eqref{eq:eq2}\) med den relevante substitution. Gør man dette giver,
\
Og med en vis forenkling har vi,
\
Bemærk, at vi var nødt til at lægge en begrænsning på \(s\) for rent faktisk at kunne beregne transformationen. Alle Laplace-transformationer vil have begrænsninger på \(s\). På dette stadie af spillet er denne restriktion noget, som vi har en tendens til at ignorere, men vi bør virkelig aldrig glemme, at den er der.
Lad os lave et andet eksempel.
Sæt funktionen ind i definitionen af transformationen og lav en lille forenkling.
\
Og igen, bemærk, at vi kan bruge \(\eqref{eq:eq2}\) under forudsætning af \(c = a – s\). Så lad os gøre dette.
\
Lad os lave endnu et eksempel, som ikke kommer til at handle om en anvendelse af \(\eqref{eq:eq2}\).
Som dette eksempel viser, er beregning af Laplace-transformationer ofte rodet.
Hvor vi går videre til næste afsnit, skal vi lave en lille sidebemærkning. Ved lejlighed vil du se følgende som definitionen af Laplace-transformationen.
\
Bemærk ændringen i den nedre grænse fra nul til negativ uendelighed. I disse tilfælde er der næsten altid en antagelse om, at funktionen \(f(t)\) faktisk er defineret som følger,
\
Med andre ord antages det, at funktionen er nul, hvis t<0. I dette tilfælde vil den første halvdel af integralet falde bort, da funktionen er nul, og vi vil komme tilbage til den definition, der er givet i . Man bruger normalt en Heaviside-funktion for at gøre funktionen nul for t<0. Vi vil se på disse i et senere afsnit.