Vinkelrörelse

1 Introduktion

Matematisk modellering innebär att man använder ett matematiskt språk för att simulera beteendet hos ett system i den ”verkliga världen” (praktiskt). Dess roll är att ge en bättre förståelse och karaktärisering av systemet. Teori är användbart för att dra allmänna slutsatser från enkla modeller, och datorer är användbara för att dra specifika slutsatser från komplicerade modeller (Bender, 2000 ). I teorin om mekaniska vibrationer är matematiska modeller – s.k. strukturella modeller – till hjälp för analysen av det dynamiska beteendet hos den struktur som modelleras.

Den ständigt ökande efterfrågan på förbättrad och tillförlitlig prestanda hos vibrerande konstruktioner när det gäller vikt, komfort, säkerhet, buller och hållbarhet, samtidigt som det finns en efterfrågan på kortare konstruktionscykler, längre livslängd, minimering av inspektions- och reparationsbehov och minskade kostnader. I och med tillkomsten av kraftfulla datorer har det blivit billigare både i fråga om kostnad och tid att utföra numeriska simuleringar än att utföra ett sofistikerat experiment. Följden har blivit en betydande övergång till datorstödd konstruktion och numeriska experiment, där strukturmodeller används för att simulera experiment och för att göra exakta och tillförlitliga förutsägelser av strukturens framtida beteende.

Även om vi är på väg in i en tidsålder av virtuella prototyper (Van Der Auweraer, 2002 ) spelar experimentell provning och systemidentifiering fortfarande en nyckelroll, eftersom de hjälper strukturdynamikern att förena numeriska förutsägelser med experimentella undersökningar. Termen ”systemidentifiering” används ibland i ett bredare sammanhang i den tekniska litteraturen och kan också avse utvinning av information om strukturens beteende direkt från experimentella data, dvs. utan att nödvändigtvis begära en modell (t.ex. identifiering av antalet aktiva modus eller förekomsten av naturliga frekvenser inom ett visst frekvensområde). I detta dokument avser systemidentifiering utvecklingen (eller förbättringen) av strukturella modeller från in- och utmatningsmätningar som utförs på den verkliga strukturen med hjälp av vibrationsavkännande anordningar.

Linjär systemidentifiering är en disciplin som har utvecklats avsevärt under de senaste 30 åren (Ljung, 1987 ; Soderstrom och Stoica, 1989 ). Modalparameterskattning – så kallad modalanalys – är otvivelaktigt det mest populära tillvägagångssättet för att utföra linjär systemidentifiering inom strukturdynamik. Systemets modell är känd i form av modalparametrar, dvs. egenfrekvenser, modalformer och dämpningsförhållanden. Modalanalysens popularitet beror på dess stora generalitet. Modalparametrar kan beskriva ett systems beteende för alla typer av ingångssignaler och alla intervall av ingångssignaler. Många metoder har utvecklats för detta ändamål: Ibrahims tidsdomänmetod (Ibrahim och Mikulcik, 1973 ), algoritmen för realisering av egensystem (Juang och Pappa, 1985 ), metoden för identifiering av stokastiska underrymder (Van Overschee och De Moor, 1996 ), metoden för komplexa frekvensdomäner med minsta kvadraters polyreferens (Peeters et al., 2004 ), för att nämna några av dem. En beskrivning av modalanalys ligger inte inom ramen för detta dokument; den intresserade läsaren kan konsultera (Heylen et al., 1997 ; Maia och Silva, 1997 ; Ewins, 2000 ) för ytterligare information. Det är dock viktigt att notera att modal identifiering av starkt dämpade strukturer eller komplexa industriella strukturer med hög modaltäthet och stor modal överlappning nu är inom räckhåll. En förenhetligning av den teoretiska utvecklingen av algoritmer för modalidentifiering har försökts i (Allemang och Brown, 1998 ; Allemang och Phillips, 2004 ), vilket är ytterligare ett tecken på att detta forskningsområde är moget.

Många praktiska exempel på icke-linjärt dynamiskt beteende har rapporterats i den tekniska litteraturen. Inom bilindustrin är bromsskrik, som är en självutlöst vibration av bromsrotorerna relaterad till friktionsvariationen mellan beläggen och rotorn, ett irriterande men inte livshotande exempel på en oönskad effekt av olinjäritet (Rhee et al., 1989 ). Många bilar har viskoelastiska motorfästen som uppvisar ett tydligt icke-linjärt beteende: beroende av amplitud, frekvens och förspänning. I ett flygplan omfattar icke-linjäritet förutom den icke-linjära växelverkan mellan vätska och struktur typiska icke-linjäriteter som spel och friktion i styrytor och leder, icke-linjäriteter som leder till härdning i förbindelsen mellan motor och mast och mättnadseffekter i hydrauliska manöverdon. I (Von Karman, 1940 ) beskrivs ett kommersiellt flygplan där propellrarna framkallade en subharmonisk vibration av ordningen 1/2 i vingarna som gav upphov till en subharmonisk vibration av ordningen 1/4 i rodret. Oscillationerna var så våldsamma att effekterna på flygplanet var katastrofala (Nayfeh och Mook, 1979 ). I mekatroniska system är källor till icke-linjäriteter friktion i lager och styrskenor samt spel och spelrum i robotfogar. Inom civilingenjörsbranschen är många demonterbara konstruktioner, t.ex. läktare vid konserter och sportevenemang, benägna att drabbas av betydande strukturell olinjäritet till följd av lösa fogar. Detta skapar både spelrum och friktion och kan göra alla linjära modellbaserade simuleringar av det beteende som skapas av folkrörelser ogiltiga. Icke-linjäritet kan också uppstå i en skadad struktur: utmattningssprickor, nitar och bultar som senare öppnas och stängs under dynamisk belastning eller interna delar som påverkar varandra.

Med det ständiga intresset för att utöka konstruktionernas prestanda vid allt högre hastigheter finns det ett behov av att konstruera lättare, mer flexibla och följaktligen mer icke-linjära konstruktionselement. Följaktligen blir efterfrågan på att använda icke-linjära (eller till och med starkt icke-linjära) strukturella komponenter alltmer närvarande i tekniska tillämpningar. Det är därför ganska paradoxalt att observera att linjärt beteende ofta tas för givet inom strukturdynamiken. Varför är det så? Det bör erkännas att vid rörelser med tillräckligt liten amplitud kan linjär teori vara korrekt för modellering, även om det inte alltid är fallet (t.ex. torrfriktion). Huvudskälet är dock att teorin om icke-linjära dynamiska system är mycket mindre etablerad än den linjära motsvarigheten. De grundläggande principer som gäller för ett linjärt system och som utgör grunden för modalanalysen är inte längre giltiga i närvaro av olinjäritet. Dessutom kan även svaga icke-linjära system uppvisa extremt intressanta och komplexa fenomen som linjära system inte kan uppvisa. Dessa fenomen omfattar hopp, bifurkationer, mättnad, subharmoniska, superharmoniska och interna resonanser, resonansfångster, gränscykler, modala interaktioner och kaos. Läsare som söker en introduktion till icke-linjära svängningar kan konsultera (Nayfeh och Mook, 1979 ; Strogatz, 1994 ; Verhulst, 1999 ; Rand, 2003 ). Mer matematiskt intresserade läsare kan läsa (Guckenheimer och Holmes, 1983 ; Wiggins, 1990 ). En kort handledning som betonar de viktiga skillnaderna mellan linjär och icke-linjär dynamik finns i avsnitt 2.1 i detta dokument.

Detta betyder inte att icke-linjära system inte har fått stor uppmärksamhet under de senaste decennierna. Även om ett sätt att studera icke-linjära system under många år var linjäriseringsmetoden (Caughey, 1963 ; Iwan, 1973 ), har många ansträngningar gjorts för att utveckla teorier för undersökning av icke-linjära system inom strukturdynamik. En icke-linjär utvidgning av begreppet mode shapes föreslogs i (Rosenberg, 1962; Rosenberg, 1966 ) och undersöktes vidare i (Rand, 1974; Shaw och Pierre, 1993; Vakakis et al., 1996; Vakakis, 1997 ). Svagt icke-linjära system analyserades grundligt med hjälp av störningsteori (Nayfeh och Mook, 1979 ; Nayfeh, 1981 ; O’Malley, 1991 ; Kevorkian och Cole, 1996 ). Perturbationsmetoderna omfattar till exempel medelvärdesmetoden, Lindstedt-Poincaré-tekniken och metoden med flera skalor och syftar till att erhålla asymptotiskt enhetliga approximationer av lösningarna. Under det senaste decenniet har man sett en övergång från svagt icke-linjära strukturer till starkt icke-linjära strukturer (med starkt icke-linjära system menas ett system där de icke-linjära termerna är av samma ordning som de linjära termerna) tack vare en utvidgning av klassiska störningstekniker (Chan et al, 1996 ; Chen och Cheung, 1996 ) och utveckling av nya metoder (Pilipchuk, 1985 ; Manevitch, 1999 ; Qaisi och Kilani, 2000 ; Babitsky och Krupenin, 2001 ).

Nyligen har några studier föreslagit att man ska dra nytta av icke-linjäriteter i stället för att ignorera eller undvika dem, vilket är ett intressant paradigmskifte. Till exempel utnyttjas begreppet parametrisk resonans för att utforma mikroelektromekaniska oscillatorer med filterförmåga i (Rhoads et al., 2005 ). I (Vakakis och Gendelman, 2001; Vakakis et al., 2004a; Kerschen et al., 2005b ) visas att väsentlig (dvs. icke-linjäriserbar) icke-linjäritet leder till irreversibla icke-linjära energiöverföringsfenomen mellan delsystem, som kallas icke-linjär energipumpning. I (Nichols et al., 2004 ) används kaotisk förfrågan och fasrumsrekonstruktion för att bedöma styrkan hos en skruvförbindelse i en kompositbalk. I (Epureanu och Hashmi, 2005 ) utnyttjas den geometriska formen hos dynamiska attraktorer för att förstärka små parametriska variationer i ett system.

Fokuserar nu på utveckling (eller förbättring) av strukturella modeller från experimentella mätningar i närvaro av icke-linjäritet, dvs, identifiering av icke-linjära system, måste man medge att det inte finns någon allmän analysmetod som kan tillämpas på alla system i alla fall (se t.ex. tidigare översikter (Adams och Allemang, 1998 ; Worden, 2000 )), vilket är fallet med modalanalys inom linjär strukturdynamik. Många tekniker som kan hantera system med låg dimensionalitet kollapsar dessutom om de ställs inför system med hög modaltäthet. Två orsaker till detta misslyckande, nämligen att olika begrepp i linjär teori inte kan tillämpas och att icke-linjära system är mycket ”individualistiska”, diskuteras i avsnitt 2.1. En tredje orsak är att man inte i förväg känner till den funktion S som avbildar ingången x(t) till utgången y(t), y(t)=S. Den allestädes närvarande Duffing-oscillatorn (Duffing, 1918 ), vars rörelseekvation är my¨(t)+cy˙(t)+ky(t)+k3y3(t)=x(t), representerar till exempel ett typiskt exempel på polynomisk form av icke-linjäritet i form av återställande kraft, medan hysteretisk dämpning är ett exempel på icke-polynomisk form av icke-linjäritet. Detta utgör en stor svårighet jämfört med identifiering av linjära system för vilka funktionens struktur är väldefinierad.

Nonlineär systemidentifiering är en integrerad del av verifierings- och valideringsprocessen(V&V). Enligt (Roache, 1998 ) avser verifiering att lösa ekvationerna korrekt, dvs. att utföra beräkningarna på ett matematiskt korrekt sätt, medan validering avser att lösa de korrekta ekvationerna, dvs. att formulera en matematisk modell och välja koefficienter på ett sådant sätt att det fysiska fenomen som är av intresse beskrivs på en lämplig nivå av trovärdighet. Som anges i (Doebling, 2002 ) är en definition som fångar många av de viktiga aspekterna av modellvalidering hämtad från litteraturen inom simuleringsvetenskapen:

Det är styrkt att en modell inom sitt tillämpningsområde har en tillfredsställande noggrannhet som är förenlig med den avsedda tillämpningen av modellen (Schlesinger et al, 1979 ).

Diskussionen om verifiering och validering ligger utanför ramen för detta översiktsdokument; läsaren kan konsultera (Roache, 1998 ; Link och Friswell, 2003 ; Babuska och Oden, 2004 ; Hemez et al., 2005 ) och referenser däri.

Dokumentets omfattning: Motivationen bakom denna undersökning är trefaldig. För det första är det tänkt att ge en kortfattad utgångspunkt för både forskare och praktiker som vill bedöma den aktuella situationen när det gäller identifiering av icke-linjära strukturella modeller. För det andra är avsikten att gå igenom flera metoder som föreslagits i facklitteraturen och att belysa några av de orsaker som hindrar dessa tekniker från att tillämpas på komplexa strukturer. Det sista målet med denna uppsats är att identifiera framtida forskningsbehov som skulle bidra till att ”skjuta på gränserna” inom identifiering av icke-linjära system.

Materialet om icke-linjär dynamik är extremt brett och det finns en omfattande litteratur. Denna artikel är oundvikligen inriktad på de områden som författarna är mest förtrogna med, och detta innebär naturligtvis de områden som författarna och kollegor har forskat på. Det är därför inte en heltäckande översikt över tidigare och nuvarande metoder för identifiering av icke-linjära dynamiska strukturer; det finns till exempel inget försök att sammanfatta många av de utvecklingar som har sitt ursprung i reglerteori.

Experimentets utformning (t.ex. val av exciteringskällor, antal och placering av sensorer), som är avgörande för hur framgångsrik identifieringsprocessen blir, beskrivs inte här. Viss information finns i (Leontaritis och Billings, 1987 ; Duym och Schoukens, 1995 ; Worden och Tomlinson, 2001 ). Systemidentifiering i närvaro av kaotiska vibrationer (Moon, 1987 ) diskuteras inte heller.