Komplexa tal är tal som består av två delar – ett verkligt tal och ett imaginärt tal. Komplexa tal är byggstenarna i mer komplicerad matematik, till exempel algebra. De kan tillämpas på många aspekter av det verkliga livet, särskilt inom elektronik och elektromagnetism.
Standardformatet för komplexa tal är a + bi, med det reella talet först och det imaginära talet sist. Eftersom båda delarna kan vara 0 kan tekniskt sett alla reella tal eller imaginära tal betraktas som komplexa tal. Komplex betyder inte komplicerat; det betyder att de två typerna av tal kombineras för att bilda ett komplex, som ett bostadskomplex – en grupp byggnader som är sammanfogade.
Reella tal är påtagliga värden som kan plottas ut på en horisontell tallinje, till exempel bråk, heltal eller vilket räknebart tal som helst som du kan tänka dig. Imaginära tal är abstrakta begrepp som används när du behöver kvadratroten av ett negativt tal.
Addera & multiplicera komplexa tal
Eftersom ett komplext tal är ett binom – ett numeriskt uttryck med två termer – görs aritmetik i allmänhet på samma sätt som alla binom, genom att kombinera de likadana termerna och förenkla. Till exempel:
(3 + 2i) + (4 – 4i)
(3 + 4) = 7
(2i – 4i) = -2i
Resultatet är 7-2i.
För multiplikation tillämpar du FOIL-metoden för polynommultiplikation: multiplicera First, multiplicera Outer, multiplicera Inner, multiplicera Last och addera sedan. Till exempel: Multipel, multiplicera, multiplicera, multiplicera, multiplicera och lägg till:
(3 – 2i)(5 + 3i) =
(3)(5) + (3)(3i) + (-2i)(5) + (-2i)(3i) =
15 + 9i + -10i + -6i2 =
15 – i – 6(-1) =
21 – i
Anledningen till att i2 förenklas till (-1) är att i är kvadratroten av -1.
Dividerar komplexa tal
Divisionen blir dock mer komplicerad och kräver att man använder konjugater. Komplexa konjugater är par av komplexa tal som har olika tecken, till exempel (a + bi) och (a – bi). Multiplicering av komplexa konjugater gör att den mellersta termen upphävs. Till exempel:
(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – (bi)2
Detta förenklas till a2 – b2(i2) = a2 – b2(-1)
Det slutgiltiga resultatet är a2 + b2
När du dividerar komplexa tal bestämmer du konjugatet till nämnaren och multiplicerar täljaren och nämnaren med konjugatet. Exempel
(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)
Den konjugerade delen av 7 + 4i är 7 – 4i. Multiplicera alltså täljaren och nämnaren med konjugatet:
(5 + 2i)(7 – 4i) ÷ (7 + 4i)(7 – 4i) =
(35 + 14i – 20i – 8i2) ÷ (49 – 28i + 28i – 16i2 ) =
(35 – 6i + 8) ÷ (49 + 16) =
(43 – 6i) ÷ 65
Komplexa tals absoluta värde
Ett tals absoluta värde anses vara dess avstånd från noll på tallinjen. Eftersom komplexa tal innehåller imaginära tal kan de inte plottas på den reella tallinjen. De kan dock mätas från noll på det komplexa talplanet, som innehåller en x-axel (för det reella talet) och en y-axel (för det imaginära talet).
Användning av komplexa tal
Komplexa tal kan användas för att lösa kvadratiska tal för nollor. Den kvadratiska formeln löser ax2 + bx + c = 0 för värdena på x. Om formeln ger en negativ i kvadratroten kan komplexa tal användas för att förenkla nollan.
Komplexa tal används inom elektronik och elektromagnetism. Ett enda komplext tal sätter ihop två reella storheter, vilket gör siffrorna lättare att arbeta med. Inom elektronik definieras tillståndet hos ett kretselement till exempel av spänningen (V) och strömmen (I). Kretselement kan också ha en kapacitans (c) och induktans (L) som beskriver kretsens tendens att motstå förändringar i V och I. I stället för att beskriva kretselementets tillstånd med V och I kan det beskrivas som z = V + Ii. Elektricitetens lagar kan då uttryckas med hjälp av addition och multiplikation av komplexa umbers.
Som tidigare nämnts kan detta även tillämpas på elektromagnetism. Istället för att beskrivas som elektrisk fältstyrka och magnetisk fältstyrka kan man skapa ett komplext tal där de elektriska och magnetiska komponenterna är de reella och imaginära talen.
Vidare läsning:
Kalkylator för komplexa tal
Matematik är kul: Komplexa tal
Math Warehouse: Komplexa tal
Renoverade nyheter