Matematiskt sett är den enklaste typen av tvärvåg en plan linjärt polariserad sinusvåg. ”Plan” betyder här att utbredningsriktningen är oförändrad och densamma över hela mediet; ”linjärt polariserad” betyder att förskjutningsriktningen också är oförändrad och densamma över hela mediet; och förskjutningens storlek är en sinusformig funktion endast av tiden och av positionen längs med utbredningsriktningen.
Bewegningen av en sådan våg kan matematiskt uttryckas på följande sätt. Låt d vara utbredningsriktningen (en vektor med längdenhet) och o en valfri referenspunkt i mediet. Låt u vara svängningsriktningen (en annan vektor med längdenhet vinkelrätt mot d). Förskjutningen av en partikel i varje punkt p i mediet och vid varje tidpunkt t (sekunder) blir
S ( p , t ) = A u sin ( t – ( p – o ) ⋅ d v T + ϕ ) {\displaystyle S(p,t)=Au\sin {\left({\frac {t-(p-o)\cdot {\frac {d}{v}}}}{T}}}+\phi \right)}}
varvid A är vågens amplitud eller styrka, T är dess period, v är utbredningshastigheten och φ är dess fas vid o. Alla dessa parametrar är verkliga tal. Symbolen ”-” betecknar den inre produkten av två vektorer.
Med denna ekvation färdas vågen i riktningen d och svängningarna sker fram och tillbaka längs riktningen u. Vågen sägs vara linjärt polariserad i riktningen u.
En observatör som tittar på en fast punkt p kommer att se partikeln där röra sig i en enkel harmonisk (sinusformad) rörelse med period T sekunder, med maximal partikelförskjutning A i varje riktning; det vill säga med en frekvens på f = 1/T fulla svängningscykler varje sekund. En ögonblicksbild av alla partiklar vid en fast tidpunkt t kommer att visa samma förskjutning för alla partiklar på varje plan vinkelrätt mot d, med förskjutningarna i på varandra följande plan som bildar ett sinusformigt mönster, där varje hel cykel sträcker sig längs d med våglängden λ = v T = v/f. Hela mönstret rör sig i riktning d med hastigheten V.
Samma ekvation beskriver en plan linjärt polariserad sinusformig ljusvåg, förutom att ”förskjutningen” S(p, t) är det elektriska fältet i punkten p och tiden t. (Magnetfältet kommer att beskrivas av samma ekvation, men med en ”förskjutnings”-riktning som är vinkelrät mot både d och u, och en annan amplitud.)
SuperpositionsprincipenRedigera
I ett homogent elastiskt medium kan komplexa svängningar (vibrationer i ett material eller ljusflöden) beskrivas som en superposition av många enkla sinusvågor, antingen tvärgående (linjärt polariserade) eller längsgående.
Vibrationerna i en fiolsträng kan till exempel analyseras som en summa av många tvärgående vågor med olika frekvenser, som förskjuter strängen antingen uppåt eller nedåt eller från vänster till höger. Krusningarna i en damm kan analyseras som en kombination av transversala och longitudinella vågor (gravitationsvågor) som fortplantar sig tillsammans.
Cirkulär polariseringRedigera
Om mediet är linjärt och tillåter flera oberoende förskjutningsriktningar för samma förflyttningsriktning d kan vi välja två ömsesidigt vinkelräta polarisationsriktningar och uttrycka en våg som är linjärt polariserad i någon annan riktning som en linjär kombination (blandning) av dessa två vågor.
Om man kombinerar två vågor med samma frekvens, hastighet och färdriktning, men med olika faser och oberoende förskjutningsriktningar, får man en cirkulärt eller elliptiskt polariserad våg. I en sådan våg beskriver partiklarna cirkulära eller elliptiska banor i stället för att röra sig fram och tillbaka.
Det kan vara till hjälp för förståelsen att återigen se på tankeexperimentet med ett spänt snöre som nämndes ovan. Lägg märke till att man också kan utlösa vågor på strängen genom att flytta handen till höger och vänster i stället för upp och ner. Detta är en viktig punkt. Det finns två oberoende (ortogonala) riktningar som vågorna kan röra sig i. (Detta gäller för alla två riktningar i rät vinkel, upp och ner och höger och vänster har valts för tydlighetens skull). Alla vågor som utlöses genom att flytta handen i en rak linje är linjärt polariserade vågor.
Men föreställ dig nu att du rör din hand i en cirkel. Din rörelse kommer att starta en spiralvåg på snöret. Du rör din hand samtidigt både uppåt och nedåt och från sida till sida. Maxima för rörelsen från sida till sida inträffar en kvarts våglängd (eller en kvarts väg runt cirkeln, det vill säga 90 grader eller π/2 radianer) från maxima för rörelsen uppåt och nedåt. Vid varje punkt längs strängen kommer strängens förflyttning att beskriva samma cirkel som din hand, men fördröjd med vågens utbredningshastighet. Lägg också märke till att du kan välja att flytta din hand i en cirkel medurs eller moturs. Dessa alternerande cirkelrörelser ger upphov till höger och vänster cirkulärt polariserade vågor.
I den mån din cirkel är ofullständig kommer en regelbunden rörelse att beskriva en ellips och producera elliptiskt polariserade vågor. Vid den extrema excentriciteten kommer din ellips att bli en rät linje och producera linjär polarisation längs ellipsens huvudaxel. En elliptisk rörelse kan alltid sönderdelas i två ortogonala linjära rörelser med ojämna amplituder och 90 grader ur fas, med cirkulär polarisation som specialfall där de två linjära rörelserna har samma amplitud.
.