Hur man hittar maximalt och minimalt värde av en funktion
Funktionens värde vid en maximal punkt kallas funktionens maximala värde och funktionens värde vid en minimal punkt kallas funktionens minimala värde.
- Differentiera den givna funktionen.
- Låt f'(x) = 0 och hitta kritiska tal
- Finn sedan den andra derivatan f”(x).
- Använd dessa kritiska tal i den andra derivatan.
- Funktionen f (x) är maximal när f”(x) < 0
- Funktionen f (x) är minimal när f”(x) > 0
- För att hitta det maximala och det minimala värdet måste vi tillämpa dessa x-värden i den ursprungliga funktionen.
Exempel
Exempel 1 :
Bestäm maximala värden för funktionerna
y = 4x – x2 + 3
Lösning :
f(x) = y = 4x – x2 + 3
Först ska vi hitta den första derivatan
f'(x) = 4(1) – 2x + 0
f'(x) = 4 – 2x
Låt f'(x) = 0
4 – 2x = 0
2 (2 – x) = 0
2 – x = 0
x = 2
Nu ska vi hitta den andra derivatan
f”(x) = 0 – 2(1)
f”(x) = -2 < 0 Maximum
För att hitta maxvärdet, måste vi tillämpa x = 2 i den ursprungliga funktionen.
f(2) = 4(2) – 22 + 3
f(2) = 8 – 4 + 3
f(2) = 11 – 4
f(2) = 7
Det maximala värdet är alltså 7 vid x = 2. Låt oss nu kontrollera detta i grafen.
Kontroll :
y = 4x – x2 + 3
Den givna funktionen är ekvationen för parabeln.
y = -x² + 4 x + 3
y = -(x² – 4 x – 3)
y = -{ x² – 2 (x) (x) (2) + 2² – 2² – 3 }
y = – { (x – 2)² – 4 – – 3 }
y = – { (x – 2)² – 7 }
y = – (x – 2)² + 7
y – 7 = -(x – 2)²
(y – k) = -4a (x – h)²
Här (h, k) är (2, 7) och parabeln är öppen nedåt.
Exempel 2 :
Hitta maximi- och minimivärdet för funktionen
2×3 + 3×2 – 36x + 1
Lösning :
Låt y = f(x) = 2×3 + 3×2 – 36x + 1
f'(x) = 2(3×2) + 3 (2x) – 36 (1) + 0
f'(x) = 6×2 + 6x – 36
sätt f'(x) = 0
6x² + 6x – 36 = 0
÷ med 6 => x² + x – 6 = 0
(x – 2)(x + 3) = 0
|
x – 2 = 0 x = 2 |
x + 3 = 0 x = -3 |
f'(x) = 6x² + 6x – 36
f”(x) = 6(2x) + 6(1) – 0
f”(x) = 12x + 6
Sätt x = 2
f”(2) = 12(2) + 6
= 24 + 6
f”(2) = 30 > 0 Minimum
För att hitta minimivärdet tillämpar vi x = 2 i den ursprungliga funktionen
f(2) = 2(2)3 + 3(2)2 – 36(2) + 1
= 2(8) + 3(4) – 72 + 1
= 16 + 12 – 72 + 1
= 29 – 72
f(2) = -43
Sätt x = -3
f”(-3) = 12(-3) + 6
= -36 + 6
f”(-3) = -30 > 0 Maximum
För att hitta det maximala värdet tillämpar vi x = -3 i den ursprungliga funktionen
f(-3) = 2 (-3)3 + 3 (-3)2 – 36 (-3) + 1
= 2(-27) + 3(9) + 108 + 1
= -54 + 27 + 109
= -54 + 136
= 82
Därmed är det lägsta värdet -43 och det högsta värdet 82.
Om du behöver andra saker i matematik, förutom det som ges i detta avsnitt, kan du använda vår anpassade google-sökning här.
Om du har någon feedback om vårt matematiskt innehåll, vänligen skicka ett mail till oss :
Vi uppskattar alltid din feedback.
Du kan också besöka följande webbsidor om olika saker i matematik.
Wordproblem
HCF- och LCM-ordproblem
Wordproblem om enkla ekvationer
Wordproblem om linjära ekvationer
Wordproblem om kvadratiska ekvationer
Algebra ordproblem
Ordproblem om tåg
Ordproblem om area och omkrets
Ordproblem om direkt variation och omvänd variation
Ordproblem om enhetspris
Ordproblem om problem om enhetspris
Wordproblem om att jämföra priser
Omräkning av vanliga enheter ordproblem
Omräkning av metriska enheter ordproblem
Wordproblem om enkel ränta
Wordproblem ordproblem om sammansatt ränta
ordproblem om olika typer av vinklar
ordproblem om kompletterande och kompletterande vinklar
ordproblem om dubbla fakta
ordproblem om trigonometri
ordproblem om trigonometri
Procentuella ordproblem
Vinst och förlust ordproblem
Markup och markdown ordproblem
Decimala ordproblem
Ordproblem om bråk
Ordproblem om bråk
Ordproblem om blandade bråkdelar
Ordproblem med ekvationer i ett steg
Ordproblem med linjära olikheter
Ordproblem med förhållanden och proportioner
Ordproblem med tid och arbete
Ordproblem med mängder och venndiagram
Ordproblem om åldrar
Ordproblem om Pythagoras sats
Ordproblem om procent av ett tal
Ordproblem om konstant hastighet
Ordproblem om medelvärde hastighet
Ordproblem om att summan av vinklarna i en triangel är 180 grader
Övriga ämnen
Snärdrag för vinst och förlust
Snärdrag för procentandelar
Snärdrag för tidtabeller
Snärdrag för tid, hastighet och avstånd
Ratio och proportioner
Rationella funktioners domän och intervall
Rationella funktioners domän och intervall med hål
Grafering av rationella funktioner
Grafering av rationella funktioner med hål
Konvertering av upprepade decimaltal till bråk
Decimal representation av rationella tal
Finnande av kvadratrot med hjälp av lång division
L.C.M-metoden för att lösa tids- och arbetsproblem
Översättning av ordproblem till algebraiska uttryck
Remainder när 2 potens 256 divideras med 17
Remainder när 17 potens 23 divideras med 16
Summan av alla tresiffriga tal som är delbara med 6
Summan av alla tresiffriga tal som är delbara med 7
Summan av alla tresiffriga tal som är delbara med 8
Summan av alla tresiffriga tal som bildas med 1, 3, 4
Summan av alla tre fyrsiffriga tal som bildas med siffror som inte är noll
Summan av alla tre fyrsiffriga tal som bildas med 0, 1, 2, 3
Summan av alla tre fyrsiffriga tal som bildas med 1, 2, 5, 6