I 1500-talets Venedig var formler för att lösa ekvationer en välbevakad intellektuell egendom. Av särskilt intresse för ballistik- och befästningsexperten Niccolo Tartaglia var kvadratiska och kubiska ekvationer, som bland annat modellerar projektilers beteende under flygning. Dessa kan mycket väl låta en klocka ringa dig från skolmatematiken – kvadratiska ekvationer har en x2-term i dem och kubiska ekvationer en x3-term. Tartaglia och andra matematiker noterade att vissa lösningar krävde kvadratrötter av negativa tal, och här ligger ett problem. Negativa tal har inga kvadratrötter – det finns inget tal som, när det multipliceras med sig självt, ger ett negativt tal. Detta beror på att negativa tal, när de multipliceras med varandra, ger ett positivt resultat: -2 × -2 = 4 (inte -4).
Tartaglia och hans rival Gerolamo Cardano observerade att om de tillät negativa kvadratrötter i sina beräkningar kunde de ändå ge giltiga numeriska svar (Reella tal, som matematikerna kallar dem). Tartaglia fick lära sig detta på det hårda sättet när han 1530 besegrades av en av Cardanos elever i en månadslång ekvationslösningsduell.
- Fem märkliga fakta om matematik
- Kan matematiken besegra terrorismen?
Matematiker använder i för att representera kvadratroten av minus ett. Detta kallas den imaginära enheten – det är inte ett verkligt tal, existerar inte i det ”verkliga” livet. Vi kan dock använda den för att hitta kvadratrötterna av negativa tal. Om jag vill beräkna kvadratrötterna av -4 kan jag säga att -4 = 4 × -1. Det betyder att kvadratroten av -4 är kvadratroten av 4 multiplicerad med kvadratroten av -1. I symboler:
√-4= √4×√-1
Kvadratroten av 4 är 2, och kvadratroten av -1 är i, vilket ger oss svaret att kvadratroten av -4 är 2i. Vi bör också notera att -2 också är en kvadratrot av 4 av de skäl som anges ovan. Detta innebär att kvadratrötterna till -4 är 2i och -2i.
Aritmetiken av i i sig själv utgjorde till en början ett hinder för matematikerna. Jag konstaterade ovan att en negativ gånger en negativ ger en positiv och vi är inneboende bekanta med tanken att en positiv gånger en positiv ger en positiv. Med den imaginära enheten tycks detta bryta samman, där två positiva multipliceras för att ge en negativ:
i × i = i2 = -1
Och på samma sätt multipliceras här två negativa för att ge en negativ:
-i × -i = i2 = -1
Detta var ett problem under en längre tid och fick en del människor att tycka att det inte var rigoröst att använda dem i den formella matematiken. Rafael Bombelli, en annan italiensk renässansmänniska, skrev 1572 en bok som helt enkelt hette Algebra där han försökte förklara matematik för människor som inte hade någon examen, vilket gjorde honom till en tidig utbildningspionjär. I Algebra förklarar han hur man utför aritmetik på positiva, negativa och imaginära tal och argumenterar för att den imaginära enheten (i användes inte som symbol förrän på 1700-talet) varken var positiv eller negativ och därmed inte följde de vanliga aritmetiska reglerna.
Det arbete som dessa matematiker utförde på imaginära tal gjorde det möjligt att utveckla det som nu kallas för Algebras fundamentala sats. I grundläggande termer är antalet lösningar till en ekvation alltid lika med den högsta potensen av den okända i ekvationen. När jag till exempel räknade ut kvadratrötterna av -4 ovan löste jag ekvationen x2= -4. Den högsta (och enda) potensen för den okända x i ekvationen är två, och se och häpna, vi hittade två svar, 2i och -2i.
Med en kubisk ekvation, där den högsta potensen är tre, borde jag få tre lösningar. Låt oss titta på x3 + 4x = 0, som är samma form av kubisk ekvation som Tartaglia behandlade. x = 0 är en lösning, eftersom 03 – 4 × 0 = 0 – 0 – 0 = 0, vilket uppfyller ekvationen. Men hur är det med de andra två lösningarna som vi förväntar oss av en kubisk?
Ja, det finns inte längre några reella lösningar till ekvationen, men det finns imaginära lösningar. Faktum är att 2i och -2i också är lösningar till ekvationen, vilket ger oss våra tre lösningar totalt.
Lyssna på Science Focus Podcast-avsnitt om matematik:
- Vad är det med algoritmer? – Hannah Fry
- Vad händer när matematiken går fruktansvärt, fruktansvärt fel? – Matt Parker
Det dröjde några hundra år efter Bombelli innan algebrans fundamentala sats bevisades rigoröst av den parisiske bokhandelsföreståndaren Jean-Robert Argand 1806. Argand var också en pionjär när det gällde att koppla imaginära tal till geometri via begreppet komplexa tal.
Komplexa tal är tal med en reell del och en imaginär del. Till exempel är 4 + 2i ett komplext tal med en reell del som är lika med 4 och en imaginär del som är lika med 2i. Det visar sig att både reella tal och imaginära tal också är komplexa tal. Exempelvis är 17 ett komplext tal med en reell del som är lika med 17 och en imaginär del som är lika med noll, och i är ett komplext tal med en reell del som är noll.
En annan fransman, Abraham de Moivre, var en av de första som kopplade samman komplexa tal med geometri med sin sats från 1707 som kopplade samman komplexa tal och trigonometri. Argand utvecklade sedan Arganddiagram, som är som en normal graf med en x- och y-axel, förutom att hans axlar är de reella och de imaginära talen. Dessa genombrott gjorde det möjligt att lösa komplexa algebraiska problem med hjälp av geometri.
Som så många utvecklingar inom matematiken var allt detta av rent akademiskt intresse fram till den moderna elektroniska tidsåldern. Komplexa tal visar sig vara otroligt användbara för att analysera allt som kommer i vågor, t.ex. den elektromagnetiska strålning som vi använder i radioapparater och wifi, ljudsignaler för musik- och röstkommunikation och växelströmsströmförsörjning. I kvantfysiken reduceras alla partiklar till vågformer, vilket innebär att komplexa tal är viktiga för att förstå denna märkliga värld som har gjort det möjligt för oss att njuta av moderna datorer, fiberoptik, GPS, MRT-bilder, för att bara nämna några exempel. Tack och lov att matematiker, från 500 år sedan till idag, bestämde sig för att imaginära tal trots allt var värda att undersöka.
Följ Science Focus på Twitter, Facebook, Instagram och Flipboard