Visa mobilmeddelande Visa alla anteckningar Visa alla anteckningar Dölj alla anteckningar
Avsnitt 4-1 : Definitionen
Du vet, det är alltid lite skrämmande när vi ägnar ett helt avsnitt bara åt definitionen av något. Laplacetransformationer (eller bara transformationer) kan verka skrämmande när vi först börjar titta på dem. Som vi kommer att se är de dock inte så hemska som de kan verka till en början.
För att börja med definitionen av Laplacetransformationen måste vi få en annan definition ur vägen.
En funktion kallas styckevis kontinuerlig på ett intervall om intervallet kan brytas upp i ett ändligt antal delintervaller där funktionen är kontinuerlig på varje öppet delintervall (dvs. delintervallet utan ändpunkter) och har en ändlig gräns vid ändpunkterna i varje delintervall. Nedan följer en skiss av en styckevis kontinuerlig funktion.
En styckevis kontinuerlig funktion är med andra ord en funktion som har ett ändligt antal brytpunkter och som inte blåser upp till oändlighet någonstans.
Nu ska vi ta en titt på definitionen av Laplacetransformen.
Definition
Förutsatt att \(f(t)\) är en styckevis kontinuerlig funktion. Laplacetransformen av \(f(t)\) betecknas \(\mathcal{L}\left\{ {f\left( t \right)} \right\}\\) och definieras som
\
Det finns en alternativ notation för Laplacetransformationer. För enkelhetens skull kommer vi ofta att beteckna Laplace-transformationer som,
\
Med denna alternativa notation kan man notera att transformationen egentligen är en funktion av en ny variabel, \(s\), och att alla \(t\) kommer att försvinna i integrationsprocessen.
Nu kallas integralen i definitionen av transformationen för en olämplig integral och det vore nog bäst att minnas hur dessa typer av integraler fungerar innan vi faktiskt hoppar in i beräkningen av några transformationer.
Nu när vi minns hur man gör dessa, låt oss beräkna några Laplace-transformationer. Vi börjar med den förmodligen enklaste Laplacetransformen att beräkna.
Det finns egentligen inte så mycket att göra här annat än att sätta in funktionen \(f(t) = 1\) i \(\eqref{eq:eq1}\)
\
Nu, vid det här laget märker du att detta inte är något annat än integralen i det föregående exemplet med \(c = – s\). Allt vi behöver göra är därför att återanvända \(\eqref{eq:eq2}\) med lämplig substitution. Detta ger,
\
Och, med viss förenkling har vi,
\
Bemärk att vi var tvungna att sätta en restriktion på \(s\) för att faktiskt kunna beräkna transformationen. Alla Laplace-transformationer kommer att ha begränsningar på \(s\). I detta skede av spelet är denna begränsning något som vi tenderar att ignorera, men vi bör verkligen aldrig glömma att den finns där.
Låt oss göra ett annat exempel.
Sätt in funktionen i definitionen av transformationen och gör en liten förenkling.
\
När vi återigen ser att vi kan använda \(\eqref{eq:eq2}\) under förutsättning att \(c = a – s\). Så låt oss göra detta.
\
Låt oss göra ytterligare ett exempel som inte handlar om en tillämpning av \(\eqref{eq:eq2}\).
Som det här exemplet visar är det ofta rörigt att beräkna Laplacetransformer.
För att gå vidare till nästa avsnitt måste vi göra en liten sidoanmärkning. Ibland kommer du att se följande som definitionen av Laplace-transformen.
\
Bemärk ändringen av den nedre gränsen från noll till negativ oändlighet. I dessa fall finns det nästan alltid ett antagande att funktionen \(f(t)\) faktiskt är definierad enligt följande,
\
Med andra ord antas det att funktionen är noll om t<0. I detta fall faller den första halvan av integralen bort eftersom funktionen är noll och vi återgår till den definition som ges i . En Heavisidefunktion används vanligtvis för att göra funktionen noll för t<0. Vi kommer att titta på dessa i ett senare avsnitt.