Puteți folosi permutările și combinațiile pentru a ne ajuta să răspundem la întrebări de probabilitate mai complexe
Exemplu 1
Se selectează un cod PIN din 4 cifre. Care este probabilitatea ca nu există cifre repetate?
Există 10 valori posibile pentru fiecare cifră a PIN-ului (și anume: 0, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), astfel încât există 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10
4 = 10000 de PIN-uri posibile în total.
Pentru a nu avea cifre repetate, toate cele patru cifre ar trebui să fie diferite, ceea ce înseamnă selectarea fără înlocuire. Am putea fie să calculăm 10 × 9 × 8 × 7, fie să observăm că aceasta este aceeași cu permutația
10P4 = 5040.
Probabilitatea de a nu avea cifre repetate este numărul de PIN-uri de 4 cifre fără cifre repetate împărțit la numărul total de PIN-uri de 4 cifre. Această probabilitate este
\displaystyle\frac{{{}_{{10}}{P}_{{4}}}}{{{10}^{{4}}}}=\frac{{5040}}{{{10000}}={0,504}
Exemplu 2
În cadrul loteriei unui anumit stat, 48 de bile numerotate de la 1 la 48 sunt plasate într-o mașină și șase dintre ele sunt extrase la întâmplare. Dacă cele șase numere extrase se potrivesc cu numerele pe care un jucător le-a ales, jucătorul câștigă 1.000.000 de dolari. La această loterie, ordinea în care sunt extrase numerele nu contează. Calculați probabilitatea de a câștiga premiul de un milion de dolari dacă achiziționați un singur bilet de loterie.
Pentru a calcula probabilitatea, trebuie să numărăm numărul total de moduri în care pot fi extrase șase numere și numărul de moduri în care cele șase numere de pe biletul jucătorului s-ar putea potrivi cu cele șase numere extrase din aparat. Având în vedere că nu există nicio cerință ca numerele să fie într-o anumită ordine, numărul de rezultate posibile ale extragerii loteriei este
48C6 = 12.271.512. Dintre aceste rezultate posibile, doar unul singur s-ar potrivi cu toate cele șase numere de pe biletul jucătorului, astfel încât probabilitatea de a câștiga marele premiu este:
\displaystyle\frac{{{{}_{{6}}{C}_{{6}}}}{{{{}_{48}}{C}_{{6}}}}=\frac{{1}}}{{{12271512}}\aprox={0.000000081515}
Exemplul 3
În cazul loteriei de stat din exemplul anterior, dacă cinci din cele șase numere extrase se potrivesc cu numerele alese de jucător, jucătorul câștigă un al doilea premiu de 1.000$. Calculați probabilitatea de a câștiga al doilea premiu dacă achiziționați un singur bilet de loterie.
Ca și mai sus, numărul de rezultate posibile ale extragerii loteriei este
48C6 = 12.271.512. Pentru a câștiga premiul al doilea, cinci dintre cele șase numere de pe bilet trebuie să se potrivească cu cinci dintre cele șase numere câștigătoare; cu alte cuvinte, trebuie să fi ales cinci dintre cele șase numere câștigătoare și unul dintre cele 42 de numere pierzătoare. Numărul de moduri de a alege 5 din cele 6 numere câștigătoare este dat de 6C5 = 6, iar numărul de moduri de a alege 1 din cele 42 de numere pierzătoare este dat de 42C1 = 42. Astfel, numărul de rezultate favorabile este dat de regula de bază de numărare: 6C5 × 42C1 = 6 × 42 = 252. Așadar, probabilitatea de a câștiga al doilea premiu este
\displaystyle\frac{{{{\left({}_{{6}}{{C}_{{5}}\dreapta)}{{\left({}_{{42}}}{C}_{{{1}}\dreapta)}}}{{{{}}_{48}}{C}_{{6}}}}=\frac{{{252}}{{12271512}}}\aprox{0.0000205}
Încercați acum 1
O întrebare cu variante multiple de răspuns la un test de economie conține 10 întrebări cu cinci răspunsuri posibile fiecare. Calculați probabilitatea de a ghici la întâmplare răspunsurile și de a obține exact 9 întrebări corecte.
Exemplu 4
Calculați probabilitatea de a extrage la întâmplare cinci cărți dintr-un pachet și de a obține exact un As.
În multe jocuri de cărți (cum ar fi pokerul) ordinea în care sunt extrase cărțile nu este importantă (deoarece jucătorul poate rearanja cărțile din mâna sa în orice mod dorește); în problemele care urmează, vom presupune că acesta este cazul, dacă nu se specifică altfel. Astfel, vom folosi combinații pentru a calcula numărul posibil de mâini cu 5 cărți,
52C5. Acest număr va merge la numitorul formulei noastre de probabilitate, deoarece este numărul de rezultate posibile.
Pentru numărător, avem nevoie de numărul de moduri de a extrage un As și alte patru cărți (niciunul dintre ele As) din pachet. Din moment ce există patru Ași și dorim exact unul dintre ei, vor exista
4C1 moduri de a selecta un As; din moment ce există 48 de cărți care nu sunt Ași și dorim 4 dintre ele, vor exista 48C4 moduri de a selecta cele patru cărți care nu sunt Ași. Acum folosim regula de bază de numărare pentru a calcula că vor exista 4C1 × 48C4 moduri de a alege un as și patru non-As.
Punând toate acestea cap la cap, we have
\displaystyle{P}{\left(\text{one Ace}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{1}}\right)}{\left({}_{{48}}{C}_{{4}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{778320}}{{2598960}}\approx{0.299}
Exemplul 5
Calculează probabilitatea de a extrage la întâmplare cinci cărți dintr-un pachet și de a obține exact doi ași.
Soluția este similară cu exemplul anterior, cu excepția faptului că acum alegem 2 ași din 4 și 3 non-acri din 48; numitorul rămâne același:
Este util să observăm că aceste probleme cu cărți sunt remarcabil de asemănătoare cu problemele de loterie discutate anterior.
Încercați acum 2
Calculați probabilitatea de a extrage la întâmplare cinci cărți dintr-un pachet de cărți și de a obține trei Ași și doi Regi.
Problema zilei de naștere
Să luăm o pauză pentru a lua în considerare o problemă celebră în teoria probabilităților:
Să presupunem că aveți o cameră plină cu 30 de persoane. Care este probabilitatea ca să existe cel puțin o zi de naștere comună?
Să ghiciți răspunsul la problema de mai sus. Ați ghicit destul de puțin, cum ar fi în jur de 10%? Acesta pare a fi răspunsul intuitiv (30/365, poate?). Să vedem dacă ar trebui să ne ascultăm intuiția. Să începem totuși cu o problemă mai simplă.
Exemplul 6
Să presupunem că trei persoane se află într-o cameră. Care este probabilitatea ca între aceste trei persoane să existe cel puțin o zi de naștere comună?
Există o mulțime de moduri în care ar putea exista cel puțin o zi de naștere comună. Din fericire, există o modalitate mai ușoară. Ne întrebăm „Care este alternativa la a avea cel puțin o zi de naștere comună?”. În acest caz, alternativa este că nu există
nici o zi de naștere comună. Cu alte cuvinte, alternativa la „cel puțin una” este să nu avem niciuna. Cu alte cuvinte, din moment ce acesta este un eveniment complementar,
P(cel puțin una) = 1 – P(niciuna)
Vom începe, deci, prin a calcula probabilitatea că nu există nicio zi de naștere comună. Să ne imaginăm că sunteți una dintre aceste trei persoane. Ziua ta de naștere poate fi orice fără conflict, deci există 365 de opțiuni din 365 pentru ziua ta de naștere. Care este probabilitatea ca cea de-a doua persoană să nu vă împartă ziua de naștere? Există 365 de zile pe an (să ignorăm anii bisecți) și, eliminând ziua ta de naștere din conflict, există 364 de opțiuni care vor garanta că nu împarți ziua de naștere cu această persoană, astfel încât probabilitatea ca cea de-a doua persoană să nu împartă ziua ta de naștere este 364/365. Acum trecem la a treia persoană. Care este probabilitatea ca această a treia persoană să nu aibă aceeași zi de naștere cu dumneavoastră sau cu cea de-a doua persoană? Există 363 de zile care nu vor dubla ziua dumneavoastră sau a celei de-a doua persoane, astfel încât probabilitatea ca cea de-a treia persoană să nu împartă ziua de naștere cu primele două este de 363/365.
Vrem ca a doua persoană să nu împartă ziua de naștere cu tine
și ca a treia persoană să nu împartă ziua de naștere cu primele două persoane, așa că folosim regula înmulțirii:
\displaystyle{P}{\left(\text{no shared birthday}\right)}=\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\approx{0.9918}
și apoi scădem din 1 pentru a obține
P(zi de naștere comună) = 1 – P(fără zi de naștere comună) = 1 – 0,9918 = 0,0082.
Este un număr destul de mic, așa că poate are sens ca răspunsul la problema noastră inițială să fie mic. Haideți să facem grupul nostru un pic mai mare.
Exemplul 7
Să presupunem că cinci persoane se află într-o cameră. Care este probabilitatea ca între aceste cinci persoane să existe cel puțin o zi de naștere comună?
Continuând modelul din exemplul anterior, răspunsul ar trebui să fie
\displaystyle{P}{\left(\text{ziua de naștere comună}\right)}={1}-\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\cdot\frac{{362}}{{365}}\cdot\frac{{361}}{{365}}\approx{0.0271}
Rețineți că am putea rescrie acest lucru mai compact sub forma
\displaystyle{P}{\left(\text{ziua de naștere comună}\right)}={1}-\frac{{{}_{{365}}{P}_{5}}}}{{365}^{{{5}}}\aprox{0.0271}
care ușurează puțin tastarea într-un calculator sau computer și care sugerează o formulă frumoasă pe măsură ce continuăm să extindem populația grupului nostru.
Exemplu 8
Să presupunem că într-o cameră se află 30 de persoane. Care este probabilitatea ca între aceste 30 de persoane să existe cel puțin o zi de naștere comună?
Aici putem calcula
\displaystyle{P}{\left(\text{ziua de naștere comună}\right)}={1}-\frac{{{{}_{{365}}{P}_{{30}}}}{{365}^{{{30}}}\aprox{0.706}
care ne dă rezultatul surprinzător că atunci când te afli într-o cameră cu 30 de persoane există o șansă de 70% să existe cel puțin o zi de naștere comună!
Dacă vă place să pariați și dacă reușiți să convingeți 30 de persoane să își dezvăluie zilele de naștere, s-ar putea să puteți câștiga niște bani pariind cu un prieten că vor fi cel puțin două persoane cu aceeași zi de naștere în cameră, oricând vă aflați într-o cameră cu 30 sau mai multe persoane. (Desigur, ar trebui să vă asigurați că prietenul dvs. nu a studiat probabilitatea!) Nu v-ar fi garantat că veți câștiga, dar ar trebui să câștigați mai mult de jumătate din timp.
Acest rezultat este unul dintre multele rezultate din teoria probabilităților care este contraintuitiv; adică, merge împotriva instinctelor noastre instinctuale. Dacă tot nu credeți în matematică, puteți efectua o simulare. Pentru a nu mai fi nevoit să adunați grupuri de 30 de persoane, cineva a avut amabilitatea de a dezvolta un applet Java, astfel încât să puteți efectua o simulare pe calculator. Accesați această pagină web:
http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html, iar după ce applet-ul s-a încărcat, selectați 30 de zile de naștere și apoi continuați să faceți clic pe Start și Reset. Dacă țineți evidența numărului de ori în care se repetă o zi de naștere, ar trebui să obțineți o zi de naștere repetată cam de 7 ori din 10 ori când executați simularea.
Încercați acum 3
Să presupunem că într-o cameră se află 10 persoane. Care este probabilitatea ca între aceste 10 persoane să existe cel puțin o zi de naștere comună?
- \displaystyle{P}{\left({9}\ \text{ răspunsuri corecte}\right)}=\frac{9\cdot4}{(5^{10})}\aprox0.0000037 șanse
- \displaystyle{P}{\left(\text{trei ași și doi Kings}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{3}}\right)}{\left({}_{{4}}{C}_{{2}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{24}}{{2598960}}\approx{0.0000092}
- \displaystyle{P}{{\left(\text{fapte de naștere împărtășită}\dreapta)}={1}-\frac{{{{}_{{365}}{P}_{10}}}}{{365}^{{10}}}\aprox{0.117}
David Lippman, Math in Society, „Probability,” licențiat sub o licență CC BY-SA 3.0.