Nella Venezia del XVI secolo, le formule per risolvere le equazioni erano proprietà intellettuale strettamente custodita. Di particolare interesse per l’esperto di balistica e fortificazioni Niccolo Tartaglia erano le equazioni quadratiche e cubiche, che modellano il comportamento dei proiettili in volo, tra le altre cose. Queste equazioni vi possono suonare un campanello dalla matematica scolastica – le equazioni quadratiche hanno un termine x2 e le cubiche un termine x3. Tartaglia e altri matematici notarono che alcune soluzioni richiedevano le radici quadrate dei numeri negativi, e qui sorge un problema. I numeri negativi non hanno radici quadrate – non c’è nessun numero che, se moltiplicato per se stesso, dà un numero negativo. Questo perché i numeri negativi, se moltiplicati insieme, danno un risultato positivo: -2 × -2 = 4 (non -4).
Tartaglia e il suo rivale, Gerolamo Cardano, osservarono che, se permettevano radici quadrate negative nei loro calcoli, potevano ancora dare risposte numeriche valide (numeri reali, come li chiamano i matematici). Tartaglia lo imparò a sue spese quando fu battuto da uno degli studenti di Cardano in un duello di un mese per la risoluzione di equazioni nel 1530.
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I matematici usano i per rappresentare la radice quadrata di meno uno. Questa è chiamata l’unità immaginaria – non è un numero reale, non esiste nella vita ‘reale’. Possiamo però usarla per trovare le radici quadrate dei numeri negativi. Se voglio calcolare le radici quadrate di -4, posso dire che -4 = 4 × -1. Questo significa che la radice quadrata di -4 è la radice quadrata di 4 moltiplicata per la radice quadrata di -1. In simboli:
√-4= √4×√-1
La radice quadrata di 4 è 2, e la radice quadrata di -1 è i, dandoci la risposta che la radice quadrata di -4 è 2i. Dobbiamo anche notare che -2 è anche una radice quadrata di 4 per le ragioni indicate sopra. Questo significa che le radici quadrate di -4 sono 2i e -2i.
La stessa aritmetica di i ha inizialmente posto un ostacolo ai matematici. Ho detto sopra che un negativo per un negativo dà un positivo e siamo innatamente familiari con l’idea che un positivo per un positivo dà un positivo. Con l’unità immaginaria, questo sembra rompersi, con due positivi che si moltiplicano per dare un negativo:
i × i = i2 = -1
E allo stesso modo, qui due negativi si moltiplicano per dare un negativo:
-i × -i = i2 = -1
Questo fu un problema per qualche tempo e fece sentire ad alcune persone che usarli nella matematica formale non era rigoroso. Rafael Bombelli, un altro uomo rinascimentale italiano, scrisse un libro intitolato, semplicemente, Algebra nel 1572 dove cercava di spiegare la matematica a persone senza competenze di livello universitario, rendendolo un pioniere della didattica. In Algebra, spiega come eseguire l’aritmetica su numeri positivi, negativi e immaginari, sostenendo che l’unità immaginaria (la i non è stata usata come simbolo fino al XVIII secolo) non era né positiva né negativa e quindi non obbediva alle solite regole dell’aritmetica.
Il lavoro di questi matematici sui numeri immaginari ha permesso lo sviluppo di quello che ora è chiamato il Teorema Fondamentale dell’Algebra. In termini fondamentali, il numero di soluzioni di un’equazione è sempre uguale alla potenza più alta dell’incognita nell’equazione. Per esempio, quando stavo risolvendo le radici quadrate di -4 sopra, stavo risolvendo l’equazione x2= -4. La potenza più alta (e unica) dell’incognita x nell’equazione è due, ed ecco che abbiamo trovato due risposte, 2i e -2i.
Con un’equazione cubica, dove la potenza più alta è tre, dovrei ottenere tre soluzioni. Guardiamo x3 + 4x = 0, che è la stessa forma di equazione cubica che ha trattato Tartaglia. x = 0 è una soluzione, poiché 03 – 4 × 0 = 0 – 0 = 0, soddisfacendo l’equazione. Ma che dire delle altre due soluzioni che ci aspettiamo da una cubica?
Bene, non ci sono più soluzioni reali all’equazione, ma ce ne sono di immaginarie. Infatti, anche 2i e -2i sono soluzioni di questa equazione, dandoci le nostre tre soluzioni in totale.
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Non fu che qualche centinaio di anni dopo Bombelli che il teorema fondamentale dell’algebra fu rigorosamente dimostrato dal gestore della libreria parigina Jean-Robert Argand nel 1806. Argand fu anche un pioniere nel collegare i numeri immaginari alla geometria attraverso il concetto di numeri complessi.
I numeri complessi sono numeri con una parte reale e una parte immaginaria. Per esempio, 4 + 2i è un numero complesso con una parte reale uguale a 4 e una parte immaginaria uguale a 2i. Si scopre che sia i numeri reali che i numeri immaginari sono anche numeri complessi. Per esempio, 17 è un numero complesso con una parte reale uguale a 17 e una parte immaginaria uguale a zero, e i è un numero complesso con una parte reale di zero.
Un altro francese, Abraham de Moivre, fu tra i primi a mettere in relazione i numeri complessi con la geometria con il suo teorema del 1707 che collegava i numeri complessi e la trigonometria. Argand ha poi sviluppato i diagrammi di Argand, che sono come un normale grafico con un asse x e y, tranne che i suoi assi sono i numeri reali e immaginari. Queste scoperte permisero di risolvere problemi algebrici complessi usando la geometria.
Come molti sviluppi della matematica, tutto questo era di interesse puramente accademico fino alla moderna era elettronica. I numeri complessi si sono rivelati incredibilmente utili nell’analisi di tutto ciò che si presenta sotto forma di onde, come la radiazione elettromagnetica che usiamo nelle radio e nel wifi, i segnali audio per la musica e la comunicazione vocale e gli alimentatori a corrente alternata. Allo stesso modo, la fisica quantistica riduce tutte le particelle a forme d’onda, il che significa che i numeri complessi sono strumentali alla comprensione di questo strano mondo che ci ha permesso di godere dei moderni computer, delle fibre ottiche, del GPS, della risonanza magnetica per immagini, solo per citarne alcuni. Grazie al cielo i matematici, da 500 anni fa ad oggi, hanno deciso che i numeri immaginari erano degni di essere studiati.
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