Lo schema del massimo numero possibile di elettroni = $2n^2$ è corretto.
Anche la risposta di Brian è buona e adotta un approccio diverso.
Hai già imparato i numeri quantici?
Se no…
Ogni guscio (o livello energetico) ha un certo numero di sottogusci, che descrivono i tipi di orbitali atomici disponibili per gli elettroni in quel sottoguscio. Per esempio, il sottoguscio $s$ di qualsiasi livello energetico consiste di orbitali sferici. Il sottoguscio $p$ ha orbitali a forma di manubrio. Le forme degli orbitali iniziano a diventare strane dopo questo. Ogni sottoguscio contiene un numero specifico di orbitali, e ogni orbitale può contenere due elettroni. I tipi di sottogusci disponibili per un guscio e il numero di orbitali in ogni sottoguscio sono definiti matematicamente dai numeri quantici. I numeri quantici sono parametri nell’equazione d’onda che descrive ogni elettrone. Il principio di esclusione di Pauli afferma che due elettroni nello stesso atomo non possono avere esattamente la stessa serie di numeri quantici. Una spiegazione più approfondita utilizzando i numeri quantici può essere trovata qui sotto. Tuttavia, il risultato è il seguente:
I sottogusci sono i seguenti:
- Il sottoguscio $s$ ha un orbitale per un totale di 2 elettroni
- Il sottoguscio $p$ ha tre orbitali per un totale di 6 elettroni
- Il sottoguscio $d$ ha cinque orbitali per un totale di 10 elettroni
- Il sottoguscio $f$ ha sette orbitali per un totale di 14 elettroni
- Il sottoguscio $g$ ha nove orbitali per un totale di 18 elettroni
- Il sottoguscio $h$ ha undici orbitali per un totale di 22 elettroni
ecc.
Ogni livello energetico (guscio) ha più sottogusci a sua disposizione:
- Il primo guscio ha solo il sottoguscio $s$ $implica 2 elettroni
- Il secondo guscio ha i sottogusci $s$ e $p$ $implica 2 + 6 = 8 elettroni
- Il terzo guscio ha il $s$, $p$ e $d$ sottogusci $ implica$ 2 + 6 + 10 = 18 elettroni
- Il quarto guscio ha i sottogusci $s$, $p$, $d$, e $f$ sottogusci $ implica $ 2 + 6 + 10 + 14 = 32 elettroni
- Il quinto guscio ha i sottogusci $s$, $p$, $d$, $f$ e $g$ $ implica $ 2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 50 elettroni
- Il sesto guscio ha i $s$, $p$, $d$, $f$, $g$ e $h$ sottogusci $implica$ 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22 = 72 elettroni
Lo schema è quindi: $2, 8, 18, 32, 50, 72, …$ o $2n^2$
In pratica, nessun atomo conosciuto ha elettroni nei sottogusci $g$ o $h$, ma il modello meccanico quantistico ne prevede l’esistenza.
Utilizzare i numeri quantici per spiegare perché i gusci hanno i sottogusci che hanno e perché i sottogusci hanno il numero di orbitali che hanno.
Gli elettroni negli atomi sono definiti da 4 numeri quantici. Il principio di esclusione di Pauli significa che due elettroni non possono condividere gli stessi numeri quantici.
I numeri quantici:
- $n$, il numero quantico principale definisce il guscio. I valori di $n$ sono interi: $n=1,2,3,…$
- $ell$, il numero quantico di momento angolare orbitale definisce il sottoguscio. Questo numero quantico definisce la forma degli orbitali (densità di probabilità) in cui risiedono gli elettroni. I valori di $\ell$ sono interi dipendenti dal valore di $n$: $\ell = 0,1,2,…,n-1$
- $m_{\ell}$, il numero quantico magnetico definisce l’orientamento dell’orbitale nello spazio. Questo numero quantico determina anche il numero di orbitali per sottoguscio. I valori di $m_\ell}$ sono interi e dipendono dal valore di $\ell$: $m_\ell = -\ell,…,-1,0,1,…,+\ell$
- $m_s$, il numero quantico di momento angolare di spin definisce lo stato di spin di ogni elettrone. Poiché ci sono solo due valori di spin consentiti, ci possono essere solo due elettroni per orbitale. I valori di $m_s$ sono $m_s=\pm \frac{1}{2}$
Per il primo guscio, $n=1$, quindi solo un valore di $\ell$ è permesso: 0$, che è il sottoguscio di S$. Per $ ell=0$ è permesso solo $m_\ell=0$. Così il sottoguscio $s$ ha solo 1 orbitale. Il primo guscio ha 1 sottoguscio, che ha 1 orbitale con 2 elettroni totali.
Per il secondo guscio, $n=2$, quindi i valori ammessi di $\ell$ sono: $ell=0$, che è il sottoguscio $s$, e $ell=1$, che è il sottoguscio $p$. Per $ ell=1$, $m_\ell$ ha tre possibili valori: $m_\ell=-1,0,+1$. Così il sottoguscio $p$ ha tre orbitali. Il secondo guscio ha 2 sottogusci: il sottoguscio $s$, che ha 1 orbitale con 2 elettroni, e il sottoguscio $p$, che ha 3 orbitali con 6 elettroni, per un totale di 4 orbitali e 8 elettroni.
Per il terzo guscio, $n=3$, quindi i valori ammessi di $\ell$ sono: $ell=0$, che è il sottoguscio $s$, $ell=1$, che è il sottoguscio $p$, e $ell=2$, che è il sottoguscio $d$. Per $ ell=2$, $m_\ell$ ha cinque possibili valori: $m_\ell=-2,-1,0,+1,+2$. Così il sottoguscio $d$ ha cinque orbitali. Il terzo guscio ha 3 sottogusci: il sottoguscio $s$, che ha 1 orbitale con 2 elettroni, il sottoguscio $p$, che ha 3 orbitali con 6 elettroni, e il sottoguscio $d$, che ha 5 orbitali con 10 elettroni, per un totale di 9 orbitali e 18 elettroni.
Per il quarto guscio, $n=4$, quindi i valori ammessi di $\ell$ sono: $ell=0$, che è il sottoguscio $s$, $ell=1$, che è il sottoguscio $p$, $ell=2$, che è il sottoguscio $d$, e $ell=3$, che è il sottoguscio $f$. Per $ ell=3$, $m_ell$ ha sette possibili valori: $m_ell=-3,-2,-1,0,+1,+2,-3$. Così il sottoguscio $f$ ha sette orbitali. Il quarto guscio ha 4 sottogusci: il sottoguscio $s$, che ha 1 orbitale con 2 elettroni, il sottoguscio $p$, che ha 3 orbitali con 6 elettroni, il sottoguscio $d$, che ha 5 orbitali con 10 elettroni, e il sottoguscio $f$, che ha 7 orbitali con 14 elettroni, per un totale di 16 orbitali e 32 elettroni.