Matematicamente, il tipo più semplice di onda trasversale è un’onda sinusoidale piana linearmente polarizzata. “Piano” qui significa che la direzione di propagazione è immutabile e uguale su tutto il mezzo; “linearmente polarizzata” significa che anche la direzione dello spostamento è immutabile e uguale su tutto il mezzo; e la grandezza dello spostamento è una funzione sinusoidale solo del tempo e della posizione lungo la direzione di propagazione.
Il moto di una tale onda può essere espresso matematicamente come segue. Sia d la direzione di propagazione (un vettore di lunghezza unitaria), e o un qualsiasi punto di riferimento nel mezzo. Sia u la direzione delle oscillazioni (un altro vettore di lunghezza unitaria perpendicolare a d). Lo spostamento di una particella in qualsiasi punto p del mezzo e qualsiasi tempo t (secondi) sarà
S ( p , t ) = A u sin ( t – ( p – o ) ⋅ d v T + ϕ ) {\displaystyle S(p,t)=A u sin {(t-(p-o)\frac {t-(p-o)\cdot {frac {d}{v}}}{T}}+\phi \destra)}}
dove A è l’ampiezza o forza dell’onda, T è il suo periodo, v è la velocità di propagazione e φ è la sua fase a o. Tutti questi parametri sono numeri reali. Il simbolo “-” denota il prodotto interno di due vettori.
Con questa equazione, l’onda viaggia nella direzione d e le oscillazioni avvengono avanti e indietro lungo la direzione u. Si dice che l’onda è polarizzata linearmente nella direzione u.
Un osservatore che guarda un punto fisso p vedrà la particella lì muoversi in un moto armonico semplice (sinusoidale) con periodo T secondi, con spostamento massimo della particella A in ogni senso; cioè, con una frequenza di f = 1/T cicli completi di oscillazione ogni secondo. Un’istantanea di tutte le particelle in un tempo fisso t mostrerà lo stesso spostamento per tutte le particelle su ogni piano perpendicolare a d, con gli spostamenti nei piani successivi che formano un modello sinusoidale, con ogni ciclo completo che si estende lungo d della lunghezza d’onda λ = v T = v/f. L’intero modello si muove nella direzione d con velocità V.
La stessa equazione descrive un’onda luminosa sinusoidale polarizzata linearmente, tranne che lo “spostamento” S(p, t) è il campo elettrico nel punto p e nel tempo t. (Il campo magnetico sarà descritto dalla stessa equazione, ma con una direzione di “spostamento” che è perpendicolare sia a d che a u, e una diversa ampiezza.)
Principio di sovrapposizioneModifica
In un mezzo elastico omogeneo, le oscillazioni complesse (vibrazioni in un materiale o flussi di luce) possono essere descritte come la sovrapposizione di molte semplici onde sinusoidali, sia trasversali (polarizzate linearmente) che longitudinali.
Le vibrazioni di una corda di violino, per esempio, possono essere analizzate come la somma di molte onde trasversali di diverse frequenze, che spostano la corda in alto o in basso o da sinistra a destra. Le increspature in uno stagno possono essere analizzate come una combinazione di onde trasversali e longitudinali (onde di gravità) che si propagano insieme.
Polarizzazione circolareModifica
Se il mezzo è lineare e permette più direzioni di spostamento indipendenti per la stessa direzione di spostamento d, possiamo scegliere due direzioni di polarizzazione reciprocamente perpendicolari, ed esprimere qualsiasi onda polarizzata linearmente in qualsiasi altra direzione come una combinazione lineare (mescolanza) di quelle due onde.
Combinando due onde con la stessa frequenza, velocità e direzione di viaggio, ma con fasi diverse e direzioni di spostamento indipendenti, si ottiene un’onda polarizzata circolarmente o ellitticamente. In tale onda le particelle descrivono traiettorie circolari o ellittiche, invece di muoversi avanti e indietro.
Può aiutare la comprensione rivisitare l’esperimento di pensiero con una corda tesa menzionato sopra. Notate che potete anche lanciare onde sulla corda muovendo la mano a destra e a sinistra invece che su e giù. Questo è un punto importante. Ci sono due direzioni indipendenti (ortogonali) in cui le onde possono muoversi (questo è vero per qualsiasi direzione ad angolo retto, su e giù e destra e sinistra sono scelte per chiarezza). Qualsiasi onda lanciata muovendo la mano in linea retta è un’onda polarizzata linearmente.
Ma ora immaginate di muovere la mano in cerchio. Il vostro movimento lancerà un’onda a spirale sulla corda. State muovendo la mano simultaneamente su e giù e da un lato all’altro. I massimi del movimento da un lato all’altro si verificano a un quarto di lunghezza d’onda (o un quarto di strada intorno al cerchio, cioè 90 gradi o π/2 radianti) dai massimi del movimento verso l’alto e verso il basso. In qualsiasi punto lungo la corda, lo spostamento della corda descriverà lo stesso cerchio della tua mano, ma ritardato dalla velocità di propagazione dell’onda. Notate anche che potete scegliere di muovere la mano in un cerchio in senso orario o in un cerchio in senso antiorario. Questi movimenti circolari alternati producono onde polarizzate circolarmente a destra e a sinistra.
Nella misura in cui il vostro cerchio è imperfetto, un movimento regolare descriverà un’ellisse, e produrrà onde polarizzate ellitticamente. All’estremo dell’eccentricità la vostra ellisse diventerà una linea retta, producendo una polarizzazione lineare lungo l’asse maggiore dell’ellisse. Un moto ellittico può sempre essere decomposto in due moti lineari ortogonali di ampiezza disuguale e 90 gradi fuori fase, con la polarizzazione circolare che è il caso speciale in cui i due moti lineari hanno la stessa ampiezza.
