Possiamo usare permutazioni e combinazioni per aiutarci a rispondere a domande di probabilità più complesse
Esempio 1
Si seleziona un PIN a 4 cifre. Qual è la probabilità che non ci siano cifre ripetute?
Ci sono 10 possibili valori per ogni cifra del PIN (cioè: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), quindi ci sono 10 × 10 × 10 × 10 = 10
4 = 10000 possibili PIN totali. Potremmo calcolare 10 × 9 × 8 × 7, o notare che questo è lo stesso della permutazione
10P4 = 5040.
La probabilità di nessuna cifra ripetuta è il numero di PIN a 4 cifre senza cifre ripetute diviso per il numero totale di PIN a 4 cifre. Questa probabilità è
Esempio 2
Nella lotteria di un certo stato, 48 palline numerate da 1 a 48 sono messe in una macchina e sei di esse sono estratte a caso. Se i sei numeri estratti corrispondono ai numeri che un giocatore aveva scelto, il giocatore vince 1.000.000 di dollari. In questa lotteria, l’ordine di estrazione dei numeri non ha importanza. Calcolare la probabilità di vincere il premio di un milione di dollari se si acquista un singolo biglietto della lotteria.
Per calcolare la probabilità, abbiamo bisogno di contare il numero totale di modi in cui sei numeri possono essere estratti, e il numero di modi in cui i sei numeri sul biglietto del giocatore potrebbero corrispondere ai sei numeri estratti dalla macchina. Dal momento che non c’è nessun vincolo che i numeri siano in un ordine particolare, il numero di risultati possibili dell’estrazione della lotteria è
48C6 = 12.271.512. Di questi possibili risultati, solo uno corrisponderebbe a tutti e sei i numeri sul biglietto del giocatore, quindi la probabilità di vincere il primo premio è:
displaystyle\frac=0.0000000815}
Esempio 3
Nella lotteria statale dell’esempio precedente, se cinque dei sei numeri estratti corrispondono ai numeri che un giocatore ha scelto, il giocatore vince un secondo premio di 1.000 dollari. Calcolare la probabilità di vincere il secondo premio se si acquista un singolo biglietto della lotteria.
Come sopra, il numero di risultati possibili dell’estrazione della lotteria è
48C6 = 12.271.512. Per vincere il secondo premio, cinque dei sei numeri sul biglietto devono corrispondere a cinque dei sei numeri vincenti; in altre parole, dobbiamo aver scelto cinque dei sei numeri vincenti e uno dei 42 numeri perdenti. Il numero di modi per scegliere 5 dei 6 numeri vincenti è dato da 6C5 = 6 e il numero di modi per scegliere 1 dei 42 numeri perdenti è dato da 42C1 = 42. Quindi il numero di risultati favorevoli è dato dalla regola del conteggio di base: 6C5 × 42C1 = 6 × 42 = 252. Quindi la probabilità di vincere il secondo premio è
displaystyle\frac{{{{{sinistra({}_{6}}{C}_{5}}destra)}{{sinistra({}_{42}}{C}_{1}}destra)}}{{{{48}{C}_{6}}}}={frac{252}{12271512}}approssimativamente 0.0000205}
Prova ora 1
Una domanda a scelta multipla in un quiz di economia contiene 10 domande con cinque possibili risposte ciascuna. Calcolare la probabilità di indovinare casualmente le risposte e ottenere esattamente 9 domande corrette.
Esempio 4
Calcolare la probabilità di pescare casualmente cinque carte da un mazzo e ottenere esattamente un Asso.
In molti giochi di carte (come il poker) l’ordine in cui le carte sono pescate non è importante (poiché il giocatore può riordinare le carte nella sua mano in qualsiasi modo scelga); nei problemi che seguono, assumeremo che questo sia il caso a meno che non sia diversamente specificato. Così usiamo le combinazioni per calcolare il possibile numero di mani di 5 carte,
52C5. Questo numero andrà nel denominatore della nostra formula di probabilità, poiché è il numero di possibili risultati.
Per il numeratore, abbiamo bisogno del numero di modi di pescare un Asso e altre quattro carte (nessuno dei quali Assi) dal mazzo. Poiché ci sono quattro Assi e ne vogliamo esattamente uno, ci saranno
4C1 modi per selezionare un Asso; poiché ci sono 48 non Assi e ne vogliamo 4, ci saranno 48C4 modi per selezionare i quattro non Assi. Ora usiamo la Regola del Conteggio di Base per calcolare che ci saranno 4C1 × 48C4 modi per scegliere un asso e quattro non-assi.
Mettendo tutto insieme, we have
\displaystyle{P}{\left(\text{one Ace}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{1}}\right)}{\left({}_{{48}}{C}_{{4}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{778320}}{{2598960}}\approx{0.299}
Esempio 5
Calcolare la probabilità di pescare a caso cinque carte da un mazzo e ottenere esattamente due assi.
La soluzione è simile all’esempio precedente, tranne che ora stiamo scegliendo 2 Assi su 4 e 3 non Assi su 48; il denominatore rimane lo stesso:
È utile notare che questi problemi di carte sono notevolmente simili ai problemi della lotteria discussi in precedenza.
Prova ora 2
Computa la probabilità di pescare a caso cinque carte da un mazzo di carte e ottenere tre assi e due re.
Problema del compleanno
Facciamo una pausa per considerare un famoso problema nella teoria della probabilità:
Supponiamo di avere una stanza piena di 30 persone. Qual è la probabilità che ci sia almeno un compleanno condiviso?
Trova la risposta a questo problema. La tua ipotesi era abbastanza bassa, come circa il 10%? Questa sembra essere la risposta intuitiva (30/365, forse?). Vediamo se dovremmo ascoltare la nostra intuizione. Cominciamo però con un problema più semplice.
Esempio 6
Supponiamo che tre persone siano in una stanza. Qual è la probabilità che ci sia almeno un compleanno condiviso tra queste tre persone?
Ci sono molti modi in cui potrebbe esserci almeno un compleanno condiviso. Fortunatamente c’è un modo più semplice. Ci chiediamo “Qual è l’alternativa all’avere almeno un compleanno condiviso?”. In questo caso, l’alternativa è che non ci siano
compleanni condivisi. In altre parole, l’alternativa ad “almeno uno” è non averne nessuno. In altre parole, poiché si tratta di un evento complementare,
P(almeno uno) = 1 – P(nessuno)
Iniziamo, quindi, calcolando la probabilità che non ci sia un compleanno condiviso. Immaginiamo che tu sia una di queste tre persone. Il tuo compleanno può essere qualsiasi cosa senza conflitti, quindi ci sono 365 scelte su 365 per il tuo compleanno. Qual è la probabilità che la seconda persona non condivida il tuo compleanno? Ci sono 365 giorni nell’anno (ignoriamo gli anni bisestili) e togliendo il tuo compleanno dalla contesa, ci sono 364 scelte che ti garantiranno di non condividere il compleanno con questa persona, quindi la probabilità che la seconda persona non condivida il tuo compleanno è 364/365. Ora passiamo alla terza persona. Qual è la probabilità che questa terza persona non abbia lo stesso compleanno tuo o della seconda persona? Ci sono 363 giorni che non duplicheranno il tuo compleanno o quello della seconda persona, quindi la probabilità che la terza persona non condivida il compleanno con le prime due è 363/365.
Vogliamo che la seconda persona non condivida un compleanno con te
e che la terza persona non condivida un compleanno con le prime due persone, quindi usiamo la regola della moltiplicazione:
\displaystyle{P}{\left(\text{no shared birthday}\right)}=\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\approx{0.9918}
e poi sottrarre da 1 per ottenere
P(compleanno condiviso) = 1 – P(nessun compleanno condiviso) = 1 – 0.9918 = 0.0082.
Questo è un numero piuttosto piccolo, quindi forse ha senso che la risposta al nostro problema originale sia piccola. Rendiamo il nostro gruppo un po’ più grande.
Esempio 7
Supponiamo che cinque persone siano in una stanza. Qual è la probabilità che ci sia almeno un compleanno condiviso tra queste cinque persone?
Continuando lo schema dell’esempio precedente, la risposta dovrebbe essere
displaystyle{P}{{sinistra(\testo del compleanno condiviso}destra)}={1}-\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\cdot\frac{{362}}{{365}}\cdot\frac{{361}}{{365}}\approx{0.0271}
Nota che potremmo riscrivere questo in modo più compatto come
displaystyle{P}{left(\testo{compleanno condiviso}destra)}={1}-\frac{{{{{365}}{P}_{5}}}}{{{365}^{5}}}approssimativamente{0.0271}
che lo rende un po’ più facile da digitare in una calcolatrice o computer, e che suggerisce una bella formula mentre continuiamo ad espandere la popolazione del nostro gruppo.
Esempio 8
Supponiamo che 30 persone siano in una stanza. Qual è la probabilità che ci sia almeno un compleanno condiviso tra queste 30 persone?
Qui possiamo calcolare
displaystyle{P}{sinistra(\testo del compleanno condiviso}destra)}={1}-{frac{{{{{365}}{P}_{30}}}}{365}^{30}}}approssimativamente{0.706}
che ci dà il risultato sorprendente che quando si è in una stanza con 30 persone c’è il 70% di possibilità che ci sia almeno un compleanno condiviso!
Se ti piace scommettere, e se riesci a convincere 30 persone a rivelare i loro compleanni, potresti essere in grado di vincere dei soldi scommettendo con un amico che ci saranno almeno due persone con lo stesso compleanno nella stanza ogni volta che sei in una stanza con 30 o più persone. (Naturalmente, dovreste assicurarvi che il vostro amico non abbia studiato la probabilità!) Non avresti la garanzia di vincere, ma dovresti vincere più della metà delle volte.
Questo è uno dei tanti risultati della teoria della probabilità che è controintuitivo; cioè, va contro il nostro istinto. Se ancora non credete alla matematica, potete fare una simulazione. Per non dover andare in giro a radunare gruppi di 30 persone, qualcuno ha gentilmente sviluppato un applet Java in modo da poter condurre una simulazione al computer. Vai a questa pagina web:
http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html, e una volta che l’applet è stata caricata, seleziona 30 compleanni e poi continua a cliccare su Start e Reset. Se tieni traccia del numero di volte che c’è un compleanno ripetuto, dovresti ottenere un compleanno ripetuto circa 7 volte ogni 10 volte che esegui la simulazione.
Prova ora 3
Supponiamo che 10 persone siano in una stanza. Qual è la probabilità che ci sia almeno un compleanno condiviso tra queste 10 persone?
- displaystyle{P}{left({9} \testo{ risposte corrette}}right)}==frac{9\cdot4}{(5^{10})}approx0.0000037 chance
- displaystyle{P}{left(\testo{tre assi e due Kings}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{3}}\right)}{\left({}_{{4}}{C}_{{2}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{24}}{{2598960}}\approx{0.0000092}
- displaystyle{P}{left(\testo{compleanno condiviso}}destra)}={1}-{frac{{{{}_{365}}{P}_{10}}}}{{365}^{10}}{approx{0.117}
David Lippman, Math in Society, “Probability,” con licenza CC BY-SA 3.0.