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Sezione 4-1: La definizione
Sai, fa sempre un po’ paura quando dedichiamo un’intera sezione solo alla definizione di qualcosa. Le trasformate di Laplace (o semplicemente le trasformate) possono sembrare spaventose quando cominciamo a guardarle per la prima volta. Tuttavia, come vedremo, non sono così male come possono sembrare all’inizio.
Prima di iniziare con la definizione della trasformata di Laplace abbiamo bisogno di togliere di mezzo un’altra definizione.
Una funzione è detta continua piecewise su un intervallo se l’intervallo può essere rotto in un numero finito di sottointervalli sui quali la funzione è continua su ogni sottointervallo aperto (cioè il sottointervallo senza i suoi punti finali) e ha un limite finito nei punti finali di ogni sottointervallo. Qui sotto c’è uno schizzo di una funzione continua piecewise.
In altre parole, una funzione continua piecewise è una funzione che ha un numero finito di interruzioni in essa e non esplode all’infinito in nessun punto.
Ora diamo un’occhiata alla definizione della trasformata di Laplace.
Definizione
Supponiamo che \(f(t)\) sia una funzione continua piecewise. \) e definito come
\7951>
C’è una notazione alternativa per le trasformate di Laplace. Per comodità denoteremo spesso le trasformate di Laplace come,
\
Con questa notazione alternativa, si noti che la trasformata è davvero una funzione di una nuova variabile, \(s\), e che tutte le \(t\) cadranno nel processo di integrazione.
Ora, l’integrale nella definizione della trasformata è chiamato un integrale improprio e probabilmente sarebbe meglio ricordare come funzionano questi tipi di integrali prima di lanciarci nel calcolo di alcune trasformate.
Ora che ci ricordiamo come fare queste, calcoliamo alcune trasformate di Laplace. Inizieremo con la trasformata di Laplace probabilmente più semplice da calcolare.
Non c’è davvero molto da fare qui, a parte inserire la funzione \(f(t) = 1\) in \(\eqref{eq:eq1}\)
\4036>Ora, a questo punto notate che questo non è altro che l’integrale dell’esempio precedente con \(c = – s\). Quindi, tutto quello che dobbiamo fare è riutilizzare \(\eqref{eq:eq2}) con la sostituzione appropriata. Facendo questo si ottiene, \
O, con qualche semplificazione abbiamo,
\
Nota che abbiamo dovuto mettere una restrizione su \(s\) per poter effettivamente calcolare la trasformazione. Tutte le trasformate di Laplace avranno restrizioni su \(s\). In questa fase del gioco, questa restrizione è qualcosa che tendiamo ad ignorare, ma non dovremmo mai dimenticare che è lì.
Facciamo un altro esempio.
Inseriamo la funzione nella definizione della trasformata e facciamo una piccola semplificazione.
\
Ancora una volta, notate che possiamo usare \(\eqref{eq:eq2}\) purché \(c = a – s\). Allora, facciamo così.
Facciamo un altro esempio che non si riduce a un’applicazione di \(\eqref{eq:eq2}}).
Come mostra questo esempio, calcolare le trasformate di Laplace è spesso disordinato.
Prima di passare alla prossima sezione, dobbiamo fare una piccola nota a margine. A volte vedrete la seguente definizione della trasformata di Laplace.
Nota il cambiamento del limite inferiore da zero a infinito negativo. In questi casi si assume quasi sempre che la funzione \(f(t)\) sia di fatto definita come segue,
\
In altre parole, si assume che la funzione sia zero se t<0. In questo caso la prima metà dell’integrale verrà eliminata poiché la funzione è zero e si tornerà alla definizione data in . Di solito si usa una funzione di Heaviside per rendere la funzione zero per t<0. La vedremo in una sezione successiva.