Cosa sono i numeri complessi?

I numeri complessi sono numeri che consistono di due parti – un numero reale e un numero immaginario. I numeri complessi sono i mattoni della matematica più complessa, come l’algebra. Possono essere applicati a molti aspetti della vita reale, specialmente in elettronica ed elettromagnetismo.

Il formato standard per i numeri complessi è a + bi, con il numero reale per primo e il numero immaginario per ultimo. Poiché entrambe le parti potrebbero essere 0, tecnicamente qualsiasi numero reale o immaginario può essere considerato un numero complesso. Complesso non significa complicato; significa che i due tipi di numeri si combinano per formare un complesso, come un complesso residenziale – un gruppo di edifici uniti insieme.

I numeri reali sono valori tangibili che possono essere tracciati su una linea numerica orizzontale, come frazioni, numeri interi o qualsiasi numero numerabile che si possa pensare. I numeri immaginari sono concetti astratti che si usano quando si ha bisogno della radice quadrata di un numero negativo.

Aggiungere & moltiplicando numeri complessi

Perché un numero complesso è un binomio – un’espressione numerica con due termini – l’aritmetica è generalmente fatta nello stesso modo di qualsiasi binomio, combinando i termini simili e semplificando. Per esempio:

(3 + 2i) + (4 – 4i)

(3 + 4) = 7

(2i – 4i) = -2i

Il risultato è 7-2i.

Per la moltiplicazione, si usa il metodo FOIL per la moltiplicazione dei polinomi: moltiplicare il Primo, moltiplicare l’Esterno, moltiplicare l’Interno, moltiplicare l’Ultimo, e poi aggiungere. Per esempio:

(3 – 2i)(5 + 3i) =

(3)(5) + (3)(3i) + (-2i)(5) + (-2i)(3i) =

15 + 9i + -10i + -6i2 =

15 – i – 6(-1) =

21 – i

La ragione per cui i2 si semplifica a (-1) è perché i è la radice quadrata di -1.

Dividere numeri complessi

La divisione, tuttavia, diventa più complicata e richiede l’uso di coniugati. I coniugati complessi sono coppie di numeri complessi che hanno segni diversi, come (a + bi) e (a – bi). Moltiplicando i coniugati complessi, il termine centrale si annulla. Per esempio:

(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – (bi)2

Questo si semplifica in a2 – b2(i2) = a2 – b2(-1)

Il risultato finale è a2 + b2

Quando si dividono numeri complessi, determinare il coniugato del denominatore e moltiplicare il numeratore e il denominatore per il coniugato. Per esempio,

(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)

Il coniugato di 7 + 4i è 7 – 4i. Quindi, moltiplicare il numeratore e il denominatore per il coniugato:

(5 + 2i)(7 – 4i) ÷ (7 + 4i)(7 – 4i) =

(35 + 14i – 20i – 8i2) ÷ (49 – 28i + 28i – 16i2 ) =

(35 – 6i + 8) ÷ (49 + 16) =

(43 – 6i) ÷ 65

Valore assoluto dei numeri complessi

Il valore assoluto di un numero è considerato la sua distanza dallo zero sulla linea dei numeri. Poiché i numeri complessi includono numeri immaginari, non possono essere tracciati sulla linea dei numeri reali. Tuttavia, possono essere misurati da zero sul piano dei numeri complessi, che include un asse x (per il numero reale) e un asse y (per il numero immaginario).

Usi dei numeri complessi

I numeri complessi possono essere usati per risolvere quadratiche per zeri. La formula quadratica risolve ax2 + bx + c = 0 per i valori di x. Se la formula prevede un negativo nella radice quadrata, i numeri complessi possono essere usati per semplificare lo zero.

I numeri complessi sono usati in elettronica ed elettromagnetismo. Un singolo numero complesso mette insieme due quantità reali, rendendo i numeri più facili da lavorare. Per esempio, in elettronica, lo stato di un elemento del circuito è definito dalla tensione (V) e dalla corrente (I). Gli elementi del circuito possono anche avere una capacità (c) e un’induttanza (L) che descrive la tendenza del circuito a resistere ai cambiamenti di V e I. Invece di descrivere lo stato dell’elemento del circuito da V e I, può essere descritto come z = V + Ii. Le leggi dell’elettricità possono quindi essere espresse usando l’addizione e la moltiplicazione di umeri complessi.

Come detto prima, questo può anche essere applicato all’elettromagnetismo. Invece di essere descritto come intensità del campo elettrico e intensità del campo magnetico, si può creare un numero complesso dove le componenti elettriche e magnetiche sono i numeri reali e immaginari.

Ulteriori letture:

Calcolatrice di numeri complessi

Math is Fun: Numeri complessi

Magazzino della matematica: Numeri complessi