COME TROVARE IL VALORE MASSIMO E MINIMO DI UNA FUNZIONE
Il valore della funzione in un punto massimo si chiama valore massimo della funzione e il valore della funzione in un punto minimo si chiama valore minimo della funzione.
- Differenzia la funzione data.
- Lascia che f'(x) = 0 e trova i numeri critici
- Poi trova la derivata seconda f”(x).
- Applica questi numeri critici nella derivata seconda.
- La funzione f (x) è massima quando f”(x) < 0
- La funzione f (x) è minima quando f”(x) > 0
- Per trovare il valore massimo e minimo dobbiamo applicare quei valori x nella funzione originale.
Esempi
Esempio 1 :
Determinare i valori massimi delle funzioni
y = 4x – x2 + 3
Soluzione :
f(x) = y = 4x – x2 + 3
Prima troviamo la derivata prima
f'(x) = 4(1) – 2x + 0
f'(x) = 4 – 2x
Lascia che f'(x) = 0
4 – 2x = 0
2 (2 – x) = 0
2 – x = 0
x = 2
Ora troviamo la seconda derivata
f”(x) = 0 – 2(1)
f”(x) = -2 < 0 Massimo
Per trovare il valore massimo, dobbiamo applicare x = 2 nella funzione originale.
f(2) = 4(2) – 22 + 3
f(2) = 8 – 4 + 3
f(2) = 11 – 4
f(2) = 7
Quindi il valore massimo è 7 a x = 2. Ora controlliamo questo nel grafico.
Controllo :
y = 4x – x2 + 3
La funzione data è l’equazione della parabola.
y = -x² + 4 x + 3
y = -(x² – 4 x – 3)
y = -{ x² – 2 (x) (2) + 2² – 2² – 3 }
y = – { (x – 2)² – 4 – 3 }
y = – { (x – 2)² – 7 }
y = – (x – 2)² + 7
y – 7 = – (x – 2)²
(y – k) = -4a (x – h)²
Qui (h, k) è (2, 7) e la parabola è aperta verso il basso.
Esempio 2 :
Trova il valore massimo e minimo della funzione
2×3 + 3×2 – 36x + 1
Soluzione :
Lascia che y = f(x) = 2×3 + 3×2 – 36x + 1
f'(x) = 2(3×2) + 3 (2x) – 36 (1) + 0
f'(x) = 6×2 + 6x – 36
imposta f'(x) = 0
6x² + 6x – 36 = 0
÷ per 6 => x² + x – 6 = 0
(x – 2)(x + 3) = 0
|
x – 2 = 0 x = 2 |
x + 3 = 0 x = -3 |
f'(x) = 6x² + 6x – 36
f”(x) = 6(2x) + 6(1) – 0
f”(x) = 12x + 6
Mettere x = 2
f”(2) = 12(2) + 6
= 24 + 6
f”(2) = 30 > 0 Minimo
Per trovare il valore minimo applichiamo x = 2 nella funzione originale
f(2) = 2(2)3 + 3(2)2 – 36(2) + 1
= 2(8) + 3(4) – 72 + 1
= 16 + 12 – 72 + 1
= 29 – 72
f(2) = -43
Mettere x = -3
f”(-3) = 12(-3) + 6
= -36 + 6
f”(-3) = -30 > 0 Massimo
Per trovare il valore massimo applichiamo x = -3 nella funzione originale
f(-3) = 2 (-3)3 + 3 (-3)2 – 36 (-3) + 1
= 2(-27) + 3(9) + 108 + 1
= -54 + 27 + 109
= -54 + 136
= 82
Quindi il valore minimo è -43 e quello massimo è 82.
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