1 Introduzione
La modellazione matematica si riferisce all’uso del linguaggio matematico per simulare il comportamento di un sistema “mondo reale” (pratico). Il suo ruolo è quello di fornire una migliore comprensione e caratterizzazione del sistema. La teoria è utile per trarre conclusioni generali da modelli semplici, e i computer sono utili per trarre conclusioni specifiche da modelli complicati (Bender, 2000 ). Nella teoria delle vibrazioni meccaniche, i modelli matematici – detti modelli strutturali – sono utili per l’analisi del comportamento dinamico della struttura da modellare.
La richiesta di prestazioni migliori e affidabili delle strutture vibranti in termini di peso, comfort, sicurezza, rumore e durata è in continuo aumento mentre, allo stesso tempo, c’è una richiesta di cicli di progettazione più brevi, una vita operativa più lunga, la minimizzazione delle esigenze di ispezione e riparazione e costi ridotti. Con l’avvento di potenti computer, è diventato meno costoso sia in termini di costi che di tempo eseguire simulazioni numeriche, piuttosto che eseguire un esperimento sofisticato. La conseguenza è stata un notevole spostamento verso la progettazione assistita dal computer e gli esperimenti numerici, dove i modelli strutturali vengono impiegati per simulare gli esperimenti e per eseguire previsioni accurate e affidabili del comportamento futuro della struttura.
Anche se stiamo entrando nell’era della prototipazione virtuale (Van Der Auweraer, 2002 ), i test sperimentali e l’identificazione del sistema giocano ancora un ruolo chiave perché aiutano lo strutturista dinamico a conciliare le previsioni numeriche con le indagini sperimentali. Il termine ‘identificazione del sistema’ è talvolta usato in un contesto più ampio nella letteratura tecnica e può anche riferirsi all’estrazione di informazioni sul comportamento strutturale direttamente dai dati sperimentali, cioè senza richiedere necessariamente un modello (ad esempio, l’identificazione del numero di modi attivi o la presenza di frequenze naturali entro un certo intervallo di frequenza). Nel presente documento, l’identificazione del sistema si riferisce allo sviluppo (o al miglioramento) di modelli strutturali a partire da misure di ingresso e uscita eseguite sulla struttura reale mediante dispositivi di rilevamento delle vibrazioni.
L’identificazione lineare del sistema è una disciplina che si è notevolmente evoluta negli ultimi 30 anni (Ljung, 1987 ; Soderstrom e Stoica, 1989 ). La stima dei parametri modali – chiamata analisi modale – è indubbiamente l’approccio più popolare per eseguire l’identificazione del sistema lineare nella dinamica strutturale. Il modello del sistema è noto per essere sotto forma di parametri modali, cioè le frequenze naturali, le forme dei modi e i rapporti di smorzamento. La popolarità dell’analisi modale deriva dalla sua grande generalità; i parametri modali possono descrivere il comportamento di un sistema per qualsiasi tipo di input e qualsiasi intervallo di input. Numerosi approcci sono stati sviluppati per questo scopo: il metodo nel dominio del tempo di Ibrahim (Ibrahim e Mikulcik, 1973 ), l’algoritmo di realizzazione dell’eigensistema (Juang e Pappa, 1985 ), il metodo di identificazione stocastica del sottospazio (Van Overschee e De Moor, 1996 ), il metodo dei minimi quadrati nel dominio della frequenza complessa (Peeters et al., 2004 ) per citarne alcuni. Una descrizione dell’analisi modale non rientra nello scopo di questo articolo; il lettore interessato può consultare (Heylen et al., 1997; Maia e Silva, 1997; Ewins, 2000) per ulteriori dettagli. Tuttavia, è importante notare che l’identificazione modale di strutture altamente smorzate o di strutture industriali complesse con alta densità modale e grande sovrapposizione modale è ora alla portata. L’unificazione dello sviluppo teorico degli algoritmi di identificazione modale è stata tentata in (Allemang e Brown, 1998; Allemang e Phillips, 2004 ), che è un altro segno della maturità di questo campo di ricerca.
L’attenzione in questo documento generale è sull’identificazione dei sistemi strutturali in presenza di non linearità. La non linearità è generica in natura, e il comportamento lineare è un’eccezione. Nella dinamica strutturale, le fonti tipiche di non linearità sono:
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La non linearità geometrica risulta quando una struttura subisce grandi spostamenti e nasce dall’energia potenziale. Un esempio è il pendolo semplice, la cui equazione del moto è θ¨+ω02sinθ=0; il termine non lineare ω02sinθ rappresenta la non linearità geometrica, poiché modella grandi movimenti angolari. Grandi deformazioni di continui elastici flessibili come travi, piastre e gusci sono anche responsabili delle nonlinearità geometriche (vedi, per esempio, (Amabili e Paidoussis, 2003; Nayfeh e Pai, 2004)). Un esempio di un banco di prova che presenta una nonlinearità geometrica è mostrato in Fig. 1. Una trave a sbalzo è collegata alla sua estremità destra ad una trave sottile e corta che mostra una non linearità geometrica quando si verificano grandi deflessioni.
Fig. 1. Trave a sbalzo collegata ad una trave sottile e corta (benchmark ECL; COST Action F3): (a) attrezzatura sperimentale; (b) primo piano della connessione.
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La non linearità inerziale deriva da termini non lineari contenenti velocità e/o accelerazioni nelle equazioni del moto, e prende la sua fonte nell’energia cinetica del sistema (es, termini di accelerazione convettiva in un continuo e accelerazioni di Coriolis nei moti di corpi che si muovono rispetto a telai rotanti).
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Un comportamento non lineare del materiale può essere osservato quando la legge costitutiva che mette in relazione tensioni e deformazioni non è lineare. Questo è spesso il caso delle schiume (White et al., 2000; Schultze et al., 2001; Singh et al., 2003 ) e dei sistemi di montaggio resilienti come gli isolatori in gomma (Richards e Singh, 2001 ).
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La dissipazione dello smorzamento è essenzialmente un fenomeno non lineare e ancora non completamente modellato e compreso. L’assunzione di smorzamento modale non è necessariamente la rappresentazione più appropriata della realtà fisica, e il suo uso diffuso è da attribuire alla sua convenienza matematica. Gli effetti di attrito secco (corpi in contatto, che scivolano l’uno rispetto all’altro) e lo smorzamento isteretico sono esempi di smorzamento non lineare (vedi, ad esempio, Caughey e Vijayaraghavan, 1970; Tomlinson e Hibbert, 1979; Sherif e Abu Omar, 2004; Al-Bender et al., 2004 ). È importante notare che l’attrito secco influenza la dinamica soprattutto per i movimenti di piccola ampiezza, il che è contrario a quanto ci si potrebbe aspettare dalla saggezza convenzionale. Per esempio, gli isolatori a fune elicoidale raffigurati in Fig. 2 sono caratterizzati da un comportamento di ammorbidimento (Juntunen, 2003 ) con attrito all’interno della fune metallica, e cambiamento della geometria dell’anello del filo quando viene caricato; per questo sistema, la frequenza di risonanza si sposta verso il basso come il livello di eccitazione è aumentato, che è una chiara indicazione di un comportamento non lineare.
Fig. 2. Isolatori a fune elicoidale (benchmark VTT; COST Action F3): (a) apparecchiatura sperimentale; gli isolatori sono montati tra la massa di base di uno shaker elettrodinamico e una massa di carico; (b) forza di ripristino misurata.
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Nonlinearity può anche risultare a causa di condizioni limite (per esempio, superfici libere nei fluidi, vibro-impatti dovuti a giunti allentati o contatti con vincoli rigidi, giochi, corpi elastici imperfettamente legati), o certe forze esterne non lineari del corpo (ad es, forze magnetoelastiche, elettrodinamiche o idrodinamiche). La non linearità del gioco e del vibro-impatto possiede una caratteristica forza-flessione non regolare come mostrato in Fig. 3 e generalmente richiede un trattamento speciale rispetto ad altri tipi di non linearità (Babitsky e Krupenin, 2001 ).
Fig. 3. Trave che impatta: (a) attrezzatura sperimentale; (b) forza di reazione misurata.
Molti esempi pratici di comportamento dinamico non lineare sono stati riportati nella letteratura ingegneristica. Nell’industria automobilistica, lo stridio dei freni, che è una vibrazione autoeccitata del rotore del freno legata alla variazione di attrito tra le pastiglie e il rotore, è un esempio irritante ma non pericoloso di un effetto indesiderato della non linearità (Rhee et al., 1989). Molte automobili hanno supporti motore viscoelastici che mostrano un marcato comportamento non lineare: dipendenza da ampiezza, frequenza e precarico. In un aereo, oltre all’interazione non lineare fluido-struttura, le non linearità tipiche includono il gioco e l’attrito nelle superfici di controllo e nei giunti, le non linearità di indurimento nella connessione motore-pilone, e gli effetti di saturazione negli attuatori idraulici. In (Von Karman, 1940) viene descritto un aereo commerciale in cui le eliche inducevano una vibrazione subarmonica di ordine 1/2 nelle ali che produceva una subarmonica di ordine 1/4 nel timone. Le oscillazioni erano così violente che gli effetti sull’aereo erano catastrofici (Nayfeh e Mook, 1979). Nei sistemi meccatronici, le fonti di non linearità sono l’attrito nei cuscinetti e nelle guide, così come il gioco e le distanze nei giunti dei robot. Nell’ingegneria civile, molte strutture smontabili come le tribune ai concerti e agli eventi sportivi sono inclini a una sostanziale non linearità strutturale come risultato dell’allentamento dei giunti. Questo crea sia gioco che attrito e può invalidare qualsiasi simulazione lineare basata su modelli del comportamento creato dal movimento della folla. La non linearità può anche sorgere in una struttura danneggiata: crepe per fatica, rivetti e bulloni che si aprono e chiudono successivamente sotto carico dinamico o parti interne che impattano l’una sull’altra.
Con il continuo interesse ad espandere l’involucro delle prestazioni delle strutture a velocità sempre maggiori, c’è la necessità di progettare elementi strutturali più leggeri, più flessibili e, di conseguenza, più non lineari. Ne consegue che la richiesta di utilizzare componenti strutturali non lineari (o addirittura fortemente non lineari) è sempre più presente nelle applicazioni ingegneristiche. È quindi piuttosto paradossale osservare che molto spesso il comportamento lineare è dato per scontato nella dinamica strutturale. Perché è così? Si dovrebbe riconoscere che a movimenti di ampiezza sufficientemente piccola, la teoria lineare può essere accurata per la modellazione, anche se non è sempre il caso (ad esempio, l’attrito secco). Tuttavia, la ragione principale è che la teoria dei sistemi dinamici non lineari è molto meno consolidata della sua controparte lineare. Infatti, i principi di base che si applicano a un sistema lineare e che costituiscono la base dell’analisi modale non sono più validi in presenza di non linearità. Inoltre, anche i sistemi non lineari deboli possono mostrare fenomeni estremamente interessanti e complessi che i sistemi lineari non possono mostrare. Questi fenomeni includono salti, biforcazioni, saturazione, risonanze subarmoniche, superarmoniche e interne, catture di risonanza, cicli limite, interazioni modali e caos. I lettori che cercano un’introduzione alle oscillazioni non lineari possono consultare (Nayfeh e Mook, 1979; Strogatz, 1994; Verhulst, 1999; Rand, 2003). I lettori più matematici possono fare riferimento a (Guckenheimer e Holmes, 1983; Wiggins, 1990). Un breve tutorial che sottolinea le importanti differenze tra dinamiche lineari e non lineari è disponibile nella sezione 2.1 di questo articolo.
Questo non significa che i sistemi non lineari non abbiano ricevuto una notevole attenzione negli ultimi decenni. Anche se, per anni, un modo di studiare i sistemi non lineari è stato l’approccio di linearizzazione (Caughey, 1963; Iwan, 1973 ), molti sforzi sono stati spesi per sviluppare teorie per l’indagine dei sistemi non lineari nella dinamica strutturale. Un’estensione non lineare del concetto di forme di modo è stata proposta in (Rosenberg, 1962; Rosenberg, 1966) e ulteriormente studiata in (Rand, 1974; Shaw e Pierre, 1993; Vakakis et al., 1996; Vakakis, 1997). I sistemi debolmente non lineari sono stati analizzati a fondo usando la teoria delle perturbazioni (Nayfeh e Mook, 1979; Nayfeh, 1981; O’Malley, 1991; Kevorkian e Cole, 1996). I metodi di perturbazione includono per esempio il metodo della media, la tecnica di Lindstedt-Poincaré e il metodo delle scale multiple e mirano a ottenere approssimazioni asintoticamente uniformi delle soluzioni. Durante l’ultimo decennio circa, si è assistito a una transizione da strutture debolmente non lineari a strutture fortemente non lineari (per sistemi fortemente non lineari, si intende un sistema per il quale i termini non lineari sono dello stesso ordine dei termini lineari) grazie all’estensione delle tecniche classiche di perturbazione (Chan et al, 1996 ; Chen e Cheung, 1996 ) e allo sviluppo di nuove metodologie (Pilipchuk, 1985 ; Manevitch, 1999 ; Qaisi e Kilani, 2000 ; Babitsky e Krupenin, 2001 ).
Di recente, alcuni studi hanno proposto di sfruttare le non linearità invece di ignorarle o evitarle, il che rappresenta un interessante cambiamento di paradigma. Per esempio, il concetto di risonanza parametrica è sfruttato per progettare oscillatori microelettromeccanici con capacità di filtraggio in (Rhoads et al., 2005). In (Vakakis e Gendelman, 2001; Vakakis et al., 2004a; Kerschen et al., 2005b ), si dimostra che la non linearità essenziale (cioè non linearizzabile) porta a fenomeni irreversibili di trasferimento di energia non lineare tra i sottosistemi, chiamati pompaggio di energia non lineare. In (Nichols et al., 2004), l’interrogazione caotica e la ricostruzione dello spazio di fase sono utilizzate per valutare la resistenza di una connessione bullonata in una trave composita. In (Epureanu e Hashmi, 2005 ), la forma geometrica degli attrattori dinamici viene sfruttata per valorizzare piccole variazioni parametriche in un sistema.
Focalizzandosi ora sullo sviluppo (o il miglioramento) di modelli strutturali da misure sperimentali in presenza di non linearità, cioè, identificazione di sistemi non lineari, si è costretti ad ammettere che non esiste un metodo di analisi generale che possa essere applicato a tutti i sistemi in tutti i casi (si vedano, ad esempio, le precedenti panoramiche (Adams e Allemang, 1998; Worden, 2000 )), come è il caso dell’analisi modale nella dinamica strutturale lineare. Inoltre, molte tecniche che sono in grado di trattare sistemi a bassa dimensionalità crollano se si trovano di fronte a sistemi ad alta densità modale. Due ragioni per questo fallimento, cioè l’inapplicabilità di vari concetti della teoria lineare e la natura altamente ‘individualistica’ dei sistemi non lineari, sono discusse nella sezione 2.1. Una terza ragione è che il funzionale S che mappa l’input x(t) all’output y(t), y(t)=S, non è noto in anticipo. Per esempio, l’onnipresente oscillatore di Duffing (Duffing, 1918), la cui equazione del moto è my¨(t)+cy˙(t)+ky(t)+k3y3(t)=x(t), rappresenta un tipico esempio di forma polinomiale della non linearità della forza di ripristino, mentre lo smorzamento isteretico è un esempio di forma non polinomiale della non linearità. Questo rappresenta una grande difficoltà rispetto all’identificazione dei sistemi lineari per i quali la struttura del funzionale è ben definita.
Anche se c’è una differenza tra il modo in cui si faceva l’identificazione dei sistemi non lineari “storicamente” e il modo in cui la si farebbe ora, il processo di identificazione può essere considerato come una progressione attraverso tre passi, cioè rilevamento, caratterizzazione e stima dei parametri, come delineato nella Fig. 4. Una volta che il comportamento non lineare è stato rilevato, si dice che un sistema non lineare è caratterizzato dopo che sono stati determinati la posizione, il tipo e la forma funzionale di tutte le non linearità nel sistema. I parametri del modello selezionato sono poi stimati usando un adattamento lineare ai minimi quadrati o algoritmi di ottimizzazione non lineare a seconda del metodo considerato.
Fig. 4. Processo di identificazione.
L’identificazione dei sistemi lineari è parte integrante del processo di verifica e validazione (V&V). Secondo (Roache, 1998 ), la verifica si riferisce a risolvere le equazioni correttamente, cioè, eseguendo i calcoli in modo matematicamente corretto, mentre la validazione si riferisce a risolvere le equazioni corrette, cioè, formulando un modello matematico e selezionando i coefficienti tali che il fenomeno fisico di interesse sia descritto con un adeguato livello di fedeltà. Come affermato in (Doebling, 2002 ), una definizione che cattura molti degli aspetti importanti della convalida del modello è presa dalla letteratura delle scienze della simulazione:
La dimostrazione che un modello nel suo dominio di applicabilità possiede una gamma soddisfacente di precisione coerente con l’applicazione prevista del modello (Schlesinger et al, 1979 ).
La discussione della verifica e della convalida va oltre lo scopo di questo documento di rassegna; il lettore può consultare (Roache, 1998 ; Link e Friswell, 2003 ; Babuska e Oden, 2004 ; Hemez et al., 2005 ) e i riferimenti ivi contenuti.
Scopo del documento: La motivazione dietro questo documento di indagine è triplice. In primo luogo, intende fornire un punto di partenza conciso per ricercatori e professionisti che desiderano valutare lo stato attuale dell’arte nell’identificazione di modelli strutturali non lineari. In secondo luogo, l’articolo intende passare in rassegna diversi metodi che sono stati proposti nella letteratura tecnica ed evidenziare alcune delle ragioni che impediscono l’applicazione di queste tecniche a strutture complesse. L’ultimo obiettivo di questo documento è quello di identificare le esigenze di ricerca future che aiuterebbero a “spingere la busta” nell’identificazione di sistemi non lineari.
Il soggetto della dinamica non lineare è estremamente ampio, ed esiste una vasta letteratura. Questo documento è inevitabilmente orientato verso quelle aree con cui gli autori hanno maggiore familiarità, e questo significa naturalmente quelle aree in cui gli autori e i colleghi hanno condotto ricerche. Pertanto, non è una panoramica completa degli approcci passati e attuali per l’identificazione di strutture dinamiche non lineari; per esempio, non c’è nessun tentativo di riassumere molti degli sviluppi che hanno origine nella teoria del controllo.
Il design degli esperimenti (per esempio, la selezione delle fonti di eccitazione, il numero e la posizione dei sensori) che condiziona il successo del processo di identificazione non è descritto qui. Alcune informazioni possono essere trovate in (Leontaritis e Billings, 1987; Duym e Schoukens, 1995; Worden e Tomlinson, 2001). Anche l’identificazione del sistema in presenza di vibrazioni caotiche (Moon, 1987) non viene discussa.