Matematikailag a legegyszerűbb transzverzális hullám a síkbeli lineárisan polarizált szinuszos hullám. A “sík” itt azt jelenti, hogy a terjedési irány változatlan és azonos az egész közegben; a “lineárisan polarizált” azt jelenti, hogy az elmozdulás iránya szintén változatlan és azonos az egész közegben; az elmozdulás nagysága pedig csak az idő és a helyzet szinuszos függvénye a terjedési irány mentén.
Az ilyen hullám mozgása matematikailag a következőképpen fejezhető ki. Legyen d a terjedési irány (egységnyi hosszúságú vektor), és o a közeg bármely vonatkoztatási pontja. Legyen u a rezgések iránya (egy másik, d-re merőleges, egységnyi hosszúságú vektor). A részecske elmozdulása a közeg bármely p pontján és bármely t időpontban (másodperc) a következő lesz
S ( p , t ) = A u sin ( t – ( p – o ) ⋅ d v T + ϕ ) {\displaystyle S(p,t)=Au\sin {\left({\frac {t-(p-o)\cdot {\frac {d}{v}}}{T}}+\phi \right)}}
ahol A a hullám amplitúdója vagy erőssége, T a periódusa, v a terjedési sebessége, φ pedig a fázisa o-nál. Mindezen paraméterek valós számok. A “-” jel két vektor belső szorzatát jelöli.
Az egyenlet szerint a hullám a d irányban terjed, és a rezgések az u irányban oda-vissza történnek.
Egy megfigyelő, aki egy rögzített p pontra néz, azt látja, hogy az ott lévő részecske egyszerű harmonikus (szinuszos) mozgást végez, amelynek periódusa T másodperc, a részecske maximális elmozdulása A minden irányban; vagyis másodpercenként f = 1/T teljes rezgésciklus frekvenciával. Az összes részecske pillanatfelvétele egy rögzített t időpontban az összes részecske számára ugyanazt az elmozdulást fogja mutatni minden egyes d-re merőleges síkban, az egymást követő síkokban az elmozdulások szinuszos mintázatot alkotnak, ahol minden egyes teljes ciklus a d mentén λ = v T = v/f hullámhosszal hosszabbodik. Az egész minta a d irányban V sebességgel mozog.
Ugyanez az egyenlet írja le a síkbeli lineárisan polarizált szinuszos fényhullámot, kivéve, hogy az “elmozdulás” S(p, t) az elektromos tér a p pontban és a t időpontban. (A mágneses teret ugyanezzel az egyenlettel írjuk le, de az “elmozdulás” iránya merőleges a d-re és u-ra is, és amplitúdója is más.)
Szuperpozíció elveSzerkesztés
Homogén rugalmas közegben az összetett rezgések (anyagrezgések vagy fényáramlások) sok egyszerű szinuszos hullám szuperpozíciójaként írhatók le, amelyek lehetnek transzverzális (lineárisan polarizált) vagy longitudinális hullámok.
A hegedűhúr rezgései például sok különböző frekvenciájú transzverzális hullám összegeként elemezhetők, amelyek a húrt vagy felfelé vagy lefelé, vagy balról jobbra tolják el. Egy tó hullámzása elemezhető az együtt terjedő transzverzális és longitudinális hullámok (gravitációs hullámok) kombinációjaként.
Körkörös polarizációSzerkesztés
Ha a közeg lineáris, és ugyanazon d haladási irányhoz több független elmozdulási irányt enged meg, akkor választhatunk két egymásra merőleges polarizációs irányt, és bármely más irányban lineárisan polarizált hullámot e két hullám lineáris kombinációjaként (keveredéseként) fejezhetünk ki.
Két azonos frekvenciájú, sebességű és haladási irányú, de különböző fázisú és független elmozdulási irányú hullám kombinálásával körkörösen vagy elliptikusan polarizált hullámot kapunk. Egy ilyen hullámban a részecskék kör- vagy elliptikus pályát írnak le, ahelyett, hogy oda-vissza mozognának.
A megértést segítheti, ha újra átgondoljuk a fent említett gondolatkísérletet egy megfeszített húrral. Vegyük észre, hogy hullámokat indíthatunk a húron úgy is, hogy a kezünket fel-le helyett jobbra és balra mozgatjuk. Ez egy fontos pont. A hullámok két független (ortogonális) irányba mozoghatnak (ez bármely két, egymással derékszöget bezáró irányra igaz, a fel és le, illetve a jobb és bal irányt az érthetőség kedvéért választottuk). Minden olyan hullám, amelyet a kezünk egyenes vonalú mozgatásával indítunk, lineárisan polarizált hullámok.
De most képzeljük el, hogy a kezünket körben mozgatjuk. A mozgásod spirális hullámot indít el a húron. A kezedet egyszerre mozgatod felfelé és lefelé és oldalirányban is. Az oldalirányú mozgás maximuma negyed hullámhosszra (vagy a kör negyedére, azaz 90 fokra vagy π/2 radiánra) esik a fel-le mozgás maximumaitól. A húr bármely pontján a húr elmozdulása ugyanazt a kört írja le, mint a kezed, de a hullám terjedési sebességével késleltetve. Vegye észre azt is, hogy választhat, hogy a kezét az óramutató járásával megegyező vagy az óramutató járásával ellentétes irányú körben mozgatja. Ezek a váltakozó körmozgások jobb és bal oldali cirkulárisan polarizált hullámokat hoznak létre.
Amennyiben a köröd nem tökéletes, a szabályos mozgás ellipszist ír le, és elliptikusan polarizált hullámokat hoz létre. Az excentricitás szélsőértékénél az ellipszised egyenes lesz, és lineáris polarizációt hoz létre az ellipszis főtengelye mentén. Egy elliptikus mozgás mindig felbontható két ortogonális, egyenlőtlen amplitúdójú és 90 fázissal eltolt lineáris mozgásra, a körkörös polarizáció pedig az a speciális eset, amikor a két lineáris mozgás amplitúdója megegyezik.
