Szögletes mozgás

1 Bevezetés

A matematikai modellezés a matematikai nyelv használatára utal egy “valós világbeli” (gyakorlati) rendszer viselkedésének szimulálására. Szerepe a rendszer jobb megértése és jellemzése. Az elmélet alkalmas arra, hogy egyszerű modellekből általános következtetéseket vonjunk le, a számítógépek pedig arra, hogy bonyolult modellekből konkrét következtetéseket vonjunk le (Bender, 2000 ). A mechanikai rezgések elméletében a matematikai modellek – az úgynevezett szerkezeti modellek – a modellezendő szerkezet dinamikus viselkedésének elemzéséhez nyújtanak segítséget.

A rezgő szerkezetek fokozott és megbízható teljesítménye iránti igény a súly, a kényelem, a biztonság, a zaj és a tartósság tekintetében egyre nő, ugyanakkor egyre nagyobb igény mutatkozik a rövidebb tervezési ciklusok, a hosszabb élettartam, az ellenőrzési és javítási igények minimalizálása és a költségek csökkentése iránt. A nagy teljesítményű számítógépek megjelenésével a numerikus szimulációk elvégzése költség és idő szempontjából is olcsóbbá vált, mint egy bonyolult kísérlet elvégzése. Ennek következtében jelentős elmozdulás történt a számítógéppel segített tervezés és a numerikus kísérletek felé, ahol szerkezeti modelleket használnak a kísérletek szimulálására, valamint a szerkezet jövőbeli viselkedésének pontos és megbízható előrejelzésére.

Még ha a virtuális prototípusok korába lépünk is (Van Der Auweraer, 2002 ), a kísérleti vizsgálatok és a rendszerazonosítás még mindig kulcsszerepet játszik, mert segít a szerkezetdinamikusnak a numerikus előrejelzések és a kísérleti vizsgálatok összehangolásában. A “rendszerazonosítás” kifejezést a szakirodalomban néha tágabb összefüggésben használják, és utalhat a szerkezeti viselkedésre vonatkozó információk kinyerésére közvetlenül a kísérleti adatokból, azaz anélkül, hogy szükségszerűen modellt kérnének (pl. az aktív módusok számának vagy a sajátfrekvenciák jelenlétének azonosítása egy bizonyos frekvenciatartományon belül). Jelen dolgozatban a rendszeridentifikáció a szerkezeti modellek fejlesztésére (vagy javítására) utal a valós szerkezeten rezgésérzékelő eszközökkel végzett bemeneti és kimeneti mérésekből.

A lineáris rendszeridentifikáció olyan tudományág, amely az elmúlt 30 évben jelentősen fejlődött (Ljung, 1987 ; Soderstrom és Stoica, 1989 ). A modális paraméterek becslése – más néven modális analízis – kétségtelenül a legnépszerűbb megközelítés a lineáris rendszerazonosítás elvégzésére a szerkezeti dinamikában. A rendszer modellje ismert modális paraméterek, nevezetesen a sajátfrekvenciák, a módusalakok és a csillapítási arányok formájában. A modális analízis népszerűsége a nagyfokú általánosságából ered; a modális paraméterek bármely bemeneti típus és a bemenet bármely tartománya esetén leírhatják a rendszer viselkedését. Erre a célra számos megközelítést dolgoztak ki: Ibrahim időtartománybeli módszer (Ibrahim és Mikulcik, 1973 ), eigensystem realizációs algoritmus (Juang és Pappa, 1985 ), sztochasztikus altér-azonosítási módszer (Van Overschee és De Moor, 1996 ), polireferencia legkisebb négyzetek komplex frekvenciatartománybeli módszer (Peeters et al., 2004 ), hogy csak néhányat említsünk közülük. A modális analízis leírása nem tartozik e dolgozat keretébe; az érdeklődő olvasó további részleteket találhat (Heylen et al., 1997 ; Maia és Silva, 1997 ; Ewins, 2000 ). Fontos azonban megjegyezni, hogy az erősen csillapított szerkezetek vagy a nagy modális sűrűségű és nagy modális átfedéssel rendelkező összetett ipari szerkezetek modális azonosítása már elérhető közelségbe került. A modális identifikációs algoritmusok elméleti fejlődésének egységesítésére tettek kísérletet (Allemang és Brown, 1998 ; Allemang és Phillips, 2004 ), ami újabb jele e kutatási terület érettségének.

A nemlineáris dinamikus viselkedés számos gyakorlati példájáról számoltak be a mérnöki irodalomban. Az autóiparban a fékcsikorgás, amely a fékrotor öngerjesztett rezgése, amely a betétek és a rotor közötti súrlódásváltozással függ össze, irritáló, de nem életveszélyes példája a nemlinearitás nemkívánatos hatásának (Rhee et al., 1989 ). Számos gépkocsiban viszkoelasztikus motortartók vannak, amelyek kifejezett nemlineáris viselkedést mutatnak: amplitúdó-, frekvencia- és előfeszítésfüggést. A repülőgépekben a nemlineáris folyadék-szerkezet kölcsönhatás mellett a tipikus nemlinearitások közé tartozik a vezérlőfelületek és csuklók holtjátéka és súrlódása, a motor és a pilon közötti kapcsolat nemlineáris keményedése, valamint a hidraulikus működtetők telítési hatásai. A (Von Karman, 1940 ) leír egy kereskedelmi repülőgépet, amelyben a légcsavarok 1/2 rendű szubharmonikus rezgést indukáltak a szárnyakban, ami 1/4 rendű szubharmonikus rezgést eredményezett a kormánylapátban. A rezgések olyan hevesek voltak, hogy a repülőgépre gyakorolt hatások katasztrofálisak voltak (Nayfeh és Mook, 1979 ). A mechatronikai rendszerekben a nemlinearitások forrásai a csapágyak és a vezetőpályák súrlódása, valamint a robotcsuklók holtjátéka és hézagai. Az építőiparban számos szétszerelhető szerkezet, például a koncertek és sportesemények lelátói, az ízületek lazasága miatt jelentős szerkezeti nemlinearitásra hajlamosak. Ez mind hézagokat, mind súrlódást okoz, és érvénytelenítheti a tömegmozgás által létrehozott viselkedés lineáris modellalapú szimulációit. A nemlinearitás egy sérült szerkezetben is előfordulhat: fáradási repedések, szegecsek és csavarok, amelyek dinamikus terhelés hatására később kinyílnak és bezáródnak, vagy belső alkatrészek egymásnak ütköznek.

Az egyre növekvő sebességű szerkezetek teljesítményének kiterjesztése iránti folyamatos érdeklődés miatt egyre könnyebb, rugalmasabb és következésképpen nemlineárisabb szerkezeti elemek tervezésére van szükség. Ebből következik, hogy a nemlineáris (vagy akár erősen nemlineáris) szerkezeti elemek felhasználásának igénye egyre inkább jelen van a mérnöki alkalmazásokban. Ezért meglehetősen paradox módon megfigyelhető, hogy a szerkezeti dinamikában nagyon gyakran természetesnek veszik a lineáris viselkedést. Miért van ez így? El kell ismerni, hogy kellően kis amplitúdójú mozgások esetén a lineáris elmélet pontos lehet a modellezéshez, bár nem mindig ez a helyzet (pl. száraz súrlódás). A fő ok azonban az, hogy a nemlineáris dinamikai rendszerek elmélete sokkal kevésbé megalapozott, mint lineáris megfelelője. A lineáris rendszerre vonatkozó és a modális elemzés alapját képező alapelvek ugyanis a nemlinearitás jelenlétében már nem érvényesek. Ráadásul még a gyenge nemlineáris rendszerek is rendkívül érdekes és összetett jelenségeket mutathatnak, amelyekre a lineáris rendszerek nem képesek. E jelenségek közé tartoznak az ugrások, a bifurkációk, a telítődés, a szubharmonikus, szuperharmonikus és belső rezonanciák, a rezonancia befogása, a határciklusok, a modális kölcsönhatások és a káosz. Azok az olvasók, akik bevezetést keresnek a nemlineáris oszcillációkba, tanulmányozhatják (Nayfeh és Mook, 1979 ; Strogatz, 1994 ; Verhulst, 1999 ; Rand, 2003 ). A matematikához jobban értő olvasók a (Guckenheimer és Holmes, 1983 ; Wiggins, 1990 ) című könyvben találhatják meg. A lineáris és nemlineáris dinamika közötti fontos különbségeket hangsúlyozó rövid bemutatót e dolgozat 2.1. szakasza tartalmazza.

Ez nem jelenti azt, hogy a nemlineáris rendszerek nem kaptak jelentős figyelmet az elmúlt évtizedekben. Még ha évekig a nemlineáris rendszerek vizsgálatának egyik módja a linearizációs megközelítés volt is (Caughey, 1963 ; Iwan, 1973 ), sok erőfeszítést fordítottak arra, hogy elméleteket dolgozzanak ki a nemlineáris rendszerek vizsgálatára a szerkezeti dinamikában. A módusalakok fogalmának nemlineáris kiterjesztését javasolták (Rosenberg, 1962 ; Rosenberg, 1966 ), és tovább vizsgálták (Rand, 1974 ; Shaw és Pierre, 1993 ; Vakakis et al., 1996 ; Vakakis, 1997 ). A gyengén nemlineáris rendszereket alaposan elemezték a perturbációs elmélet segítségével (Nayfeh és Mook, 1979 ; Nayfeh, 1981 ; O’Malley, 1991 ; Kevorkian és Cole, 1996 ). A perturbációs módszerek közé tartozik például az átlagolás módszere, a Lindstedt-Poincaré technika és a több skála módszere, és célja a megoldások aszimptotikusan egységes közelítése. Az elmúlt mintegy évtizedben a klasszikus perturbációs technikák kiterjesztésének köszönhetően megfigyelhető volt az átmenet a gyengén nemlineáris struktúrákról az erősen nemlineáris struktúrákra (erősen nemlineáris rendszerek alatt olyan rendszereket értünk, amelyeknél a nemlineáris tagok a lineáris tagokkal azonos rendűek) (Chan et al., 1996 ; Chen és Cheung, 1996 ) és új módszertanok kifejlesztésének köszönhetően (Pilipchuk, 1985 ; Manevitch, 1999 ; Qaisi és Kilani, 2000 ; Babitsky és Krupenin, 2001 ).

A közelmúltban néhány tanulmány javasolta a nemlinearitások kihasználását azok figyelmen kívül hagyása vagy elkerülése helyett, ami érdekes paradigmaváltást jelent. Például a parametrikus rezonancia koncepcióját kihasználják a szűrési képességekkel rendelkező mikroelektromechanikus oszcillátorok tervezéséhez (Rhoads et al., 2005 ). A (Vakakis és Gendelman, 2001 ; Vakakis et al., 2004a ; Kerschen et al., 2005b ) tanulmányban azt mutatják, hogy az esszenciális (azaz nemlinearizálható) nemlinearitás irreverzibilis nemlineáris energiaátviteli jelenségekhez vezet az alrendszerek között, amit nemlineáris energiapumpálásnak neveznek. A (Nichols et al., 2004 ) tanulmányban a kaotikus lekérdezést és a fázistér-rekonstrukciót egy kompozit gerenda csavaros csatlakozásának szilárdságának értékelésére használják. In (Epureanu and Hashmi, 2005 ), a dinamikus attraktorok geometriai alakját használják ki egy rendszer kis parametrikus változásainak fokozására.

Most a szerkezeti modellek kísérleti mérésekből történő fejlesztésére (vagy javítására) összpontosítunk a nemlinearitás jelenlétében, ill, a nemlineáris rendszerazonosításra, kénytelenek vagyunk belátni, hogy nincs olyan általános elemzési módszer, amely minden esetben minden rendszerre alkalmazható lenne (lásd pl. korábbi áttekintéseket (Adams és Allemang, 1998 ; Worden, 2000 )), mint ahogyan ez a lineáris szerkezeti dinamikában a modális elemzés esetében van. Ráadásul számos olyan technika, amely képes alacsony dimenziójú rendszerek kezelésére, összeomlik, ha nagy modális sűrűségű rendszerrel szembesül. Ennek a kudarcnak két okát, nevezetesen a lineáris elmélet különböző fogalmainak alkalmazhatatlanságát és a nemlineáris rendszerek erősen “individualista” jellegét a 2.1. szakaszban tárgyaljuk. A harmadik ok az, hogy az S függvény, amely az x(t) bemenetet az y(t) kimenetre, y(t)=S, leképezi, nem ismert előre. Például a mindenütt jelenlévő Duffing-oszcillátor (Duffing, 1918 ), amelynek mozgásegyenlete my¨(t)+cy˙(t)+ky(t)+k3y3(t)=x(t), tipikus példája a visszaállító erő nemlinearitásának polinomiális formájának, míg a hiszteretikus csillapítás a nem polinomiális nemlinearitás példája. Ez komoly nehézséget jelent a lineáris rendszerek azonosításához képest, amelyek esetében a függvény szerkezete jól meghatározott.

A nemlineáris rendszer azonosítása a verifikációs és validációs(V&V) folyamat szerves része. (Roache, 1998 ) szerint a verifikáció az egyenletek helyes megoldására, azaz a számítások matematikailag helyes elvégzésére, míg a validáció a helyes egyenletek megoldására, azaz a matematikai modell megfogalmazására és az együtthatók olyan kiválasztására vonatkozik, hogy az érdeklődésre számot tartó fizikai jelenséget megfelelő hűséggel írja le. Amint azt (Doebling, 2002 ) megállapítja, a szimulációs tudományok szakirodalmából származik egy definíció, amely a modell validáció számos fontos szempontját megragadja:

Az igazolás, hogy egy modell az alkalmazási területén belül kielégítő pontossággal rendelkezik, amely összhangban van a modell tervezett alkalmazásával (Schlesinger et al., 1979 ).

A verifikáció és validáció tárgyalása meghaladja ennek az áttekintő tanulmánynak a kereteit; az olvasó tanulmányozhatja (Roache, 1998 ; Link és Friswell, 2003 ; Babuska és Oden, 2004 ; Hemez et al., 2005 ) és az ott található hivatkozásokat.

A tanulmány terjedelme: Ennek a felmérő tanulmánynak a motivációja hármas. Először is, tömör kiindulópontot kíván nyújtani azon kutatók és gyakorlati szakemberek számára, akik fel kívánják mérni a nemlineáris strukturális modellek azonosításának jelenlegi állását. Másodszor, a dolgozat célja, hogy áttekintsen néhány, a szakirodalomban javasolt módszert, és rávilágítson néhány olyan okra, amelyek megakadályozzák, hogy ezeket a technikákat komplex szerkezetekre alkalmazzák. A dolgozat utolsó célja, hogy meghatározza azokat a jövőbeli kutatási igényeket, amelyek segítenének “kitolni” a nemlineáris rendszerek azonosításában.

A nemlineáris dinamika témaköre rendkívül széleskörű, és kiterjedt szakirodalom létezik. Ez a dolgozat elkerülhetetlenül elfogult azokkal a területekkel szemben, amelyeket a szerzők a legjobban ismernek, és ez természetesen azokat a területeket jelenti, amelyeken a szerzők és kollégáik már végeztek kutatásokat. Ezért nem nyújt átfogó áttekintést a nemlineáris dinamikai struktúrák azonosításának korábbi és jelenlegi megközelítéseiről; például nem tesz kísérletet az irányításelméletből származó számos fejlesztés összefoglalására.

Az identifikációs folyamat sikerét feltételező kísérlettervezés (pl. a gerjesztő források kiválasztása, a szenzorok száma és helye) nem kerül ismertetésre. Néhány információ megtalálható a (Leontaritis és Billings, 1987 ; Duym és Schoukens, 1995 ; Worden és Tomlinson, 2001 ). A kaotikus rezgések jelenlétében történő rendszerazonosítással (Moon, 1987 ) szintén nem foglalkozunk.