A komplex számok olyan számok, amelyek két részből – egy valós és egy képzetes számból – állnak. A komplex számok a bonyolultabb matematika, például az algebra építőkövei. A valós élet számos területén alkalmazhatók, különösen az elektronikában és az elektromágnesességben.
A komplex számok szabványos formátuma a + bi, ahol a valós szám az első, a képzeletbeli szám pedig az utolsó. Mivel bármelyik rész lehet 0, technikailag bármely valós szám vagy képzetes szám komplex számnak tekinthető. A komplex nem azt jelenti, hogy bonyolult; azt jelenti, hogy a kétféle szám kombinálódik, és egy komplexumot alkot, mint egy lakókomplexum – egymáshoz kapcsolódó épületek csoportja.
A valós számok olyan kézzelfogható értékek, amelyek egy vízszintes számegyenesen ábrázolhatók, például törtek, egész számok vagy bármilyen megszámlálható szám, amit csak el tudsz képzelni. A képzetes számok absztrakt fogalmak, amelyeket akkor használunk, ha egy negatív szám négyzetgyökére van szükségünk.
Összeadás & komplex számok szorzása
Mivel a komplex szám binomiális – két tagból álló numerikus kifejezés -, az aritmetika általában ugyanúgy történik, mint bármely binomiális esetében, a hasonló tagok kombinálásával és egyszerűsítésével. Például:
(3 + 2i) + (4 – 4i)
(3 + 4) = 7
(2i – 4i) = -2i
Az eredmény 7-2i.
A szorzásnál a polinomok szorzására a FOIL módszert alkalmazzuk: szorozzuk az Elsőt, szorozzuk a Külsőt, szorozzuk a Belsőt, szorozzuk az Utolsót, majd adjuk össze. Például:
(3 – 2i)(5 + 3i) =
(3)(5) + (3)(3i) + (-2i)(5) + (-2i)(3i) =
15 + 9i + -10i + -6i2 =
15 – – i – 6(-1) =
21 – i
Az i2 azért egyszerűsödik (-1)-re, mert i a -1 négyzetgyöke.
A komplex számok osztása
Az osztás azonban bonyolultabbá válik, és konjugáltakat kell használni. A komplex konjugáltak olyan komplex számpárok, amelyek különböző előjelűek, például (a + bi) és (a – bi). A komplex konjugáltak szorzása a középső tag kiiktatását eredményezi. Például:
(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – (bi)2
Ez egyszerűsödik a2 – b2(i2) = a2 – b2(-1)
A végeredmény a2 + b2
A komplex számok osztásakor határozzuk meg a nevező konjugáltját, és szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt a konjugáltal. Például,
(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)
A 7 + 4i konjugáltja 7 – 4i. Tehát szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt a konjugáltjával:
(5 + 2i)(7 – 4i) ÷ (7 + 4i)(7 – 4i) =
(35 + 14i – 20i – 8i2) ÷ (49 – 28i + 28i – 16i2 ) =
(35 – 6i + 8) ÷ (49 + 16) =
(43 – 6i + 8) ÷ (49 + 16) =
(43 – 6i) ÷ 65
Komplex számok abszolút értéke
A szám abszolút értékének a számegyenes nullától való távolságát tekintjük. Mivel a komplex számok képzetes számokat is tartalmaznak, nem ábrázolhatók a valós számegyenesen. Azonban a nullától mérhetők a komplex számsíkon, amely tartalmaz egy x-tengelyt (a valós számhoz) és egy y-tengelyt (a képzetes számhoz).
A komplex számok felhasználásai
A komplex számok felhasználhatók a nullás kvadrátok megoldására. A kvadratikus képlet megoldja az ax2 + bx + c = 0-t x értékeire. Ha a képlet negatívot ad a négyzetgyökben, a komplex számok felhasználhatók a nulla egyszerűsítésére.
A komplex számokat az elektronikában és az elektromágnesességben használják. Egyetlen komplex szám két valós mennyiséget rak össze, így a számokkal könnyebb dolgozni. Az elektronikában például egy áramköri elem állapotát a feszültség (V) és az áram (I) határozza meg. Az áramköri elemeknek lehet kapacitása (c) és induktivitása (L) is, amely leírja, hogy az áramkör hajlamos ellenállni a V és I változásainak. Ahelyett, hogy az áramköri elem állapotát V és I segítségével írnánk le, az így írható le: z = V + Ii. Az elektromosság törvényei ekkor komplex számok összeadásával és szorzásával fejezhetők ki.
Mint már említettük, ez az elektromágnesességre is alkalmazható. Ahelyett, hogy elektromos térerősséggel és mágneses térerősséggel írnánk le, létrehozhatunk egy komplex számot, ahol az elektromos és mágneses komponensek a valós és képzetes számok.
További olvasmányok:
Komplex számok kalkulátora
Math is Fun: Complex Numbers
Math Warehouse: Komplex számok
Újabb hírek