Dear Straight Dope:
Elég idős vagyok ahhoz, hogy hallottam az “új matematikáról”, de amennyire én tudom, ezt tanították nekem az iskolában. Megkérdeztem nálam idősebbeket, hogy mi is volt pontosan a “régi matek”. Határozottan biztosak voltak benne, hogy az újmódi dolgokkal kellett megismerkednem, de értetlenkedni látszottak, amikor megkérdeztem tőlük, hogy mi a különbség. Én személy szerint tényleg nem találtam olyan matematikát, amit a középiskolában vagy az egyetemen tanítottak volna, aminek ne lettek volna szilárd alapjai e század előtt.”
Matt de Vries
Ian, Jill és Dex válasza:
A tizenötödik században, amikor a német szülők azt akarták, hogy a gyerekeik megtanuljanak összeadni és kivonni, a helyi egyetemekre küldték őket. Ahhoz azonban, hogy megtanulják a szorzást és az osztást, Olaszországba kellett küldeniük a gyerekeiket a felsőoktatásba. A nem sokkal később Európába érkező új matematika, amely a CCLXIV x MDCCCIV-et olyan feladattá alakította át, amelyet hatodikosoknak is megtaníthatunk, valóban forradalmi volt. A hatvanas évek új matematikája, nos, mint a hatvanas évek sok más mozgalma, bomlasztó, megvetett és mérsékelten hasznos volt, és ma is létezik, de inkognitóban.
A Szputnyik fellövése után az amerikaiak úgy érezték, hogy az iskolák válságban vannak. Az 1950-ben a tudományos alapkutatás előmozdítására létrehozott Nemzeti Tudományos Alapítványt (NSF) 1957-ben kibővítették, és elkezdték vizsgálni és előmozdítani a középiskolai oktatás változását a matematika, a biológia, a kémia és a társadalomtudományok területén. A tantervekben és a szövegekben bekövetkezett változások leszűrődő hatást gyakoroltak az általános iskolákra is. E változások fő irányvonala az volt, hogy a tanári “elbeszélésről” és a diákok előadásáról áttértek a “kutatásra” és a “felfedezésre”, abban a reményben, hogy a diákok nagyobb valószínűséggel fogják megtartani azokat az információkat, amelyekre maguk jöttek rá, mint amit csak előadás formájában elmondtak nekik és bemagoltak. A természettudományokban, és kisebb mértékben a társadalomtudományokban ezt “gyakorlati tanulásnak” nevezték. Ezt a tanítási technikát még ma is nagyra tartják a pedagógusok és a szülők.
Az absztraktabb matematikában azonban a “gyakorlatias” konnotáció zavarta azokat a tanárokat és szülőket, akik az összeadási tényeket és a szorzótáblákat kívülről tanulták. Az új matematika egyik fókuszpontja a halmazelmélet volt, ahol a diákokat arra ösztönözték, hogy a számokról új, remélhetőleg konkrétabb módon gondolkodjanak. A diákok fogtak egy négy elemből álló halmazt, és hozzáadták egy másik, öt elemből álló halmazhoz. Igen, az eredmény még mindig kilenc volt, de a hangsúly az összeadás fogalmán volt, nem pedig a válaszon önmagában. Ezzel a technikával a tanulók remélhetőleg felfedezik, hogy a halmazok sorrendjüktől függetlenül ugyanazt a számot adják (a kommutatív tulajdonság), és hogy az egyik eredeti halmazból kivonva a kombinált halmazból a másik eredeti halmazt kapják, felfedezve ezzel a kivonást, az összeadás fordítottját. Az új matematika egyéb szempontjai közé tartozik a 10-es bázistól eltérő számbázisok használata és az absztraktabb számelméleti fogalmak, például a prímszámok bevezetése a tanulók pályafutásának korábbi szakaszában. Mint mondja, e fogalmak egyike sem volt újonnan felfedezett a 20. században; az elmozdulás pusztán a tanítási technikában történt, nem az alapfogalmakban.
A tanárok meglehetősen ellenálltak ennek, megjegyezve, hogy az osztály egészének oktatása kevésbé egységes, és nagymértékben megnőtt annak a lehetősége, hogy egyes diákok túlságosan lemaradjanak. A szülők még hangosabban tiltakoztak, azt állítva, hogy már nem tudnak segíteni harmadik osztályos gyermekeiknek a házi feladatok elkészítésében, és rámutattak a konkrétabb készségek, például a számolási készségek észrevehető visszaesésére. Az új matematikát gúnyolták a nyilvánosság előtt, például Tom Lehrer New Math című dalában: “Ez olyan egyszerű / Olyan nagyon egyszerű, / Hogy csak egy gyerek tudja megcsinálni!” 1976-ra az iskolai körzeteknek csak 9%-a használta az NSF által előírt tantervet a matematikai programjaiban. Morris Kline a Why Johnny Can’t Add: The Failure of the New Math, azt írta, hogy “szinte tökéletes rendszerességgel tapsolják meg a visszatérést a hagyományos tartalmi oktatási módszerekhez, és a tanulók teljesítményének magasabb színvonalát.”
A tankönyveket csak körülbelül 10 évig uralta az új matematikai rendszer. Az olyan elemek azonban, mint a halmazelmélet és a bázis-n számítás a mai napig megmaradtak, bár kevesebb hangsúlyt kaptak, és a teljes tananyag sokkal kisebb részét képezik. Ne is kezdjünk bele az úgynevezett “Új Új Matematika” témakörébe, amely egy olyan vita, amelyre az osztálytermekben, az iskolaszéki és szülői munkaközösségi értekezleteken, és talán a bíróságokon is választ kell adni, és amely a következő néhány évben forró témának ígérkezik. Maradjanak velünk.
SDSTAFF Jill hozzáteszi:
Itt van apám válasza:
“Emlékszem az “új matematika” bevezetésére még Scotts Valleyben. Tényleg nem emlékszem, hogy mi volt az, csak az a benyomásom, hogy inkább abból állt, hogy a matematikáról beszéltek, mint hogy csinálták volna. A legtöbb szülő betegre aggódta magát, mert nem értették.”
“Segítőként emlékszem a Dudley Általános Iskolában töltött ifjúkoromra (K, 1-7). Aritmetikának hívták, nem matematikának. Hét éven át minden nap első tíz-tizenöt perce számok összeadásának, kivonásának, szorzásának és osztásának gyakorlataiból állt. Mindannyian kaptunk egy kártyát, amelyen az aznapi feladatok voltak. Mindegyikünknek volt egy vékony, áttetsző papírból készült táblája. A kártya a felső lap alá került. A válaszokat a papírra írtuk. Ezt mindenki utálta. Másrészt viszont mindenki, aki ezt hét évig végigcsinálta, számológép nélkül is tudott bánni a számokkal.”
“Természetesen a szokásos dolgokat is csináltuk a számtanórán. Az egyik dolog, ami más volt, az az volt, hogy hetedikben logaritmusokat tanultunk. A logaritmusokat ma már nem használják a számítógép és az elektronikus számológép miatt. Én még mindig szeretem őket, mert nagyon ügyesek. (“Király” az új matematikai szó a “szép” szóra.)
“Az alapvető különbség az, hogy mi számtant tanultunk, ami a számokról szól, az új matematika pedig inkább az ötletekről és a fogalmakról szól. A másik: ‘Ez a probléma. Mi a válasz?’ szemben azzal, hogy ‘Ez a fogalom. Mit jelent? Egy újabb kísérlet arra, hogy a tanulás munka helyett szórakoztató legyen.”
SDSTAFF Dex hozzáteszi:
A következő példák segíthetnek tisztázni az új és a régi matematika közötti különbséget.
1960: Egy favágó elad egy kamionnyi fűrészárut 100 dollárért. Az előállítási költsége ennek az árnak a 4/5-ét teszi ki. Mennyi a nyeresége?
1970 (hagyományos matematika): Egy favágó 100 dollárért ad el egy kamionnyi fűrészárut. Az előállítási költsége 80 dollár. Mennyi a nyeresége?
1975 (Új matematika): Egy favágó L mennyiségű fűrészárut cserél M mennyiségű pénzre. Az M halmaz kardinalitása 100, és minden egyes eleme 1 dollárt ér.
(a) készítsen 100 pontot, amelyek az M halmaz elemeit ábrázolják
(b) A termelési költségeket ábrázoló C halmaz 20 ponttal kevesebbet tartalmaz, mint az M halmaz.
(c) Mekkora a P nyereséghalmaz kardinalitása?
1990 (Dumbed-down matek): Egy favágó elad egy kamionnyi fűrészárut 100 dollárért. Az előállítási költsége 80 dollár, a nyeresége pedig 20 dollár. Húzd alá a 20-as számot.
1997 (Teljes matematika): Egy gyönyörű fákkal teli erdő kivágásával a favágó 20 dollárt keres.
(a) Mit gondolsz erről a pénzkeresési módról?
(b) Hogy érezték magukat az erdő madarai és mókusai?
(c) Rajzolj egy képet az erdőről, ahogyan te szeretnéd, hogy kinézzen.
Ian, Jill és Dex
A kérdéseket Cecilnek küldjétek el a [email protected] e-mail címen.
A KÉRDÉSEKET A STRAIGHT DOPE SCIENCE ADVISORY BOARD, CECIL ONLINE AUXILIÁRISA ÍRJA. BÁR AZ SDSAB MINDENT MEGTESZ, EZEKET A ROVATOKAT NEM CECIL, HANEM ED ZOTTI SZERKESZTI, ÍGY PONTOSSÁG SZEMPONTJÁBÓL JOBB, HA SZORÍTASZ.