Hogyan találjuk meg egy függvény maximális és minimális értékét
A függvény értékét egy maximális pontban a függvény maximális értékének, a függvény értékét egy minimális pontban pedig a függvény minimális értékének nevezzük.
- Differenciáljuk az adott függvényt.
- Legyen f'(x) = 0 és keressük meg a kritikus számokat
- Majd keressük meg a második deriváltat f”(x).
- Ezeket a kritikus számokat alkalmazzuk a második deriváltban.
- Az f (x) függvény akkor maximális, ha f”(x) < 0
- Az f (x) függvény akkor minimális, ha f”(x) > 0
- A maximális és minimális érték megtalálásához ezeket az x értékeket kell alkalmaznunk az eredeti függvényben.
Példák
1. példa :
Meghatározzuk a függvények maximális értékeit
y = 4x – x2 + 3
megoldás :
f(x) = y = 4x – x2 + 3
Először is keressük az első deriváltat
f'(x) = 4(1) – 2x + 0
f'(x) = 4 – 2x
Legyen f'(x) = 0
4 – 2x = 0
2 (2 – – x) = 0
2 – x = 0
x = 2
Most találjuk meg a második deriváltat
f”(x) = 0 – 2(1)
f”(x) = -2 < 0 Maximum
A maximális érték megtalálása, x = 2-t kell alkalmaznunk az eredeti függvényben.
f(2) = 4(2) – 22 + 3
f(2) = 8 – 4 + 3
f(2) = 11 – 4
f(2) = 7
Ezért a maximális érték x = 2-nél 7. Most ezt ellenőrizzük a grafikonon.
Ellenőrzés :
y = 4x – x2 + 3
A megadott függvény a parabola egyenlete.
y = -x² + 4 x + 3
y = -(x² – 4 x – 3)
y = -{ x² – 2 (x) (2) + 2² – 2² – 3 }
y = – { (x – 2)² – 4 – – 3 }
y = – { (x – 2)² – 7 }
y = – (x – 2)² + 7
y – 7 = -(x – 2)²
(y – k) = -4a (x – h)²
Itt (h, k) (2, 7) és a parabola lefelé nyitott.
2. példa :
Keresd meg a függvény
2×3 + 3×2 – 36x + 1
Megoldás :
Legyen y = f(x) = 2×3 + 3×2 – 36x + 1
f'(x) = 2(3×2) + 3 (2x) – 36 (1) + 0
f'(x) = 6×2 + 6x – 36
állítsuk f'(x) = 0
6x² + 6x – 36
állítsuk f'(x) = 0
6x² + 6x – 36 = 0
÷ 6 => x² + x – 6 = 0
(x – 2)(x + 3) = 0
|
x – 2 = 0 x = 2 |
x + 3 = 0 x = – -3 |
f'(x) = 6x² + 6x – 36
f”(x) = 6(2x) + 6(1) – 0
f”(x) = 12x + 6
Tegyük x = 2
f”(2) = 12(2) + 6
= 24 + 6
f”(2) = 30. > 0 Minimum
A minimális érték megtalálásához alkalmazzuk x = 2-t az eredeti függvényben
f(2) = 2(2)3 + 3(2)2 – 36(2) + 1
= 2(8) + 3(4) – 72 + 1
= 16 + 12 – 72 + 1
= 29 – 72
f(2) = -43
Tegyük x = -3
f”(-3) = 12(-3) + 6
= -36 + 6
f”(-3) = -30 > 0 Maximum
A maximális érték megtalálásához alkalmazzuk x = -3 az eredeti függvényben
f(-3) = 2 (-3)3 + 3 (-3)2 – 36 (-3) + 1
= 2(-27) + 3(9) + 108 + 1
= -54 + 27 + 109
= -54 + 136
= 82
Ezért a minimális érték -43 és a maximális érték 82.
Az ebben a részben megadott anyagon kívül, ha bármilyen más matematikai anyagra van szükséged, használd a google egyéni keresőnket itt.
Ha bármilyen visszajelzésed van a matematikai tartalmunkkal kapcsolatban, kérjük, írj nekünk :
A visszajelzéseidet mindig nagyra értékeljük.
A következő weboldalakat is meglátogathatod a matematika különböző témáival kapcsolatban.
Szótagfeladatok
HCF és LCM szótagfeladatok
Szótagfeladatok egyszerű egyenletekhez
Szótagfeladatok lineáris egyenletekhez
Szótagfeladatok kvadratikus egyenletekhez
.
Algebra szófeladatok
Szöveges feladatok vonatokról
Felület és kerület szófeladatok
Szöveges feladatok a közvetlen és az inverz variációról
Szöveges feladatok az egységárról
Szöveges feladatok az egységárról
Szöveges feladatok a vonatokról
. Szöveges feladatok az egységárfolyamról
Szöveges feladatok az árfolyamok összehasonlításáról
Szokásos mértékegységek átváltása szófeladatok
Metrikus mértékegységek átváltása szófeladatok
Szöveges feladatok az egyszerű kamatról
Szöveges feladatok az egyszerű kamatról
Szöveges feladatok az egyszerű kamatról Szöveges feladatok a kamatos kamatról
Szöveges feladatok a szögtípusokról
Kiegészítő és kiegészítő szögek szófeladatok
Kettős tények szófeladatok
Trigonometria szófeladatok
Trigonometria szófeladatok
Százalékos szófeladatok
Hozam és veszteség szófeladatok
Megjelölés és leütés szófeladatok
Dezimális szófeladatok
Szófeladatok törtekre
Szófeladatok törtekre
Szófeladatok törtekre
Szófeladatok Vegyes törtek
Egylépéses egyenletekkel kapcsolatos szófeladatok
Lineáris egyenlőtlenségekkel kapcsolatos szófeladatok
Arány és arány szófeladatok
Idő és munka szófeladatok
Szófeladatok halmazokkal kapcsolatban. és Venn-diagramok
Szöveges feladatok életkorokról
Pythagorasz-tétel szófeladatok
Számok százalékos aránya szófeladatok
Szöveges feladatok állandó sebességről
Szöveges feladatok átlagról sebesség
Szöveges feladatok a háromszög szögeinek összege 180 fok
MÁSIK TÉMA
Profit és veszteség rövidítések
Százalékos rövidítések
Idő táblázat rövidítések
Idő, sebesség és távolság rövidítések
arány és arány rövidítések
Racionális függvények tartománya és tartománya
A lyukas racionális függvények tartománya és tartománya
Racionális függvények grafikus ábrázolása
Racionális függvények ábrázolása lyukakkal
Ismétlődő tizedesjegyek törtekké alakítása
Racionális számok tizedesjegyes ábrázolása
Négyzetgyök megtalálása hosszú osztás segítségével
L.C.M módszer idő- és munkafeladatok megoldására
A szófeladatok lefordítása algebrai kifejezésekre
Megkötés, amikor 2 hatvány 256 osztva 17-el
Megkötés, amikor 17 hatvány 23 osztva 16-al
.
A 6-tal osztható háromjegyű számok összege
A 7-tel osztható háromjegyű számok összege
A 8-tal osztható háromjegyű számok összege
Az 1 segítségével képzett háromjegyű számok összege, 3, 4
A nem nulla számjegyekkel képzett három négyjegyű szám összege
A 0, 1, 2, 3
Az 1, 2, 5, 6 használatával képzett három négyjegyű szám összege
Az 1, 2, 5, 6 használatával képzett három négyjegyű szám összege