A permutációk és kombinációk segítségével összetettebb valószínűségi kérdésekre is válaszolhatunk
Példa 1
Egy 4 számjegyű PIN-kódot választunk ki. Mekkora a valószínűsége annak, hogy nem ismétlődnek a számjegyek?
A PIN-kód minden egyes számjegyének 10 lehetséges értéke van (nevezetesen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), tehát összesen 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10
4 = 10000 lehetséges PIN-kód van.
Hogy ne legyenek ismétlődő számjegyek, mind a négy számjegynek különbözőnek kell lennie, ami csere nélküli kiválasztást jelent. Vagy kiszámíthatjuk a 10 × 9 × 8 × 7-et, vagy észrevehetjük, hogy ez megegyezik a permutációval
10P4 = 5040.
Az ismétlődő számjegyek nélküli PIN-kódok valószínűsége az ismétlődő számjegyek nélküli négyjegyű PIN-kódok száma osztva a négyjegyű PIN-kódok teljes számával. Ez a valószínűség
\displaystyle\frac{{{{}_{{10}}{P}_{{4}}}}{{{{10}^{{4}}}}=\frac{{5040}}}{{10000}}={0,504}}
2. példa
Egy bizonyos állami lottójátékban 48 darab, 1-től 48-ig számozott golyót tesznek egy gépbe, és ezek közül hatot véletlenszerűen kihúznak. Ha a hat kihúzott szám megegyezik a játékos által kiválasztott számokkal, akkor a játékos 1 000 000 dollárt nyer. Ennél a lottójátéknál nem számít, hogy milyen sorrendben húzzák ki a számokat. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy megnyeri az egymillió dolláros nyereményt, ha egyetlen lottószelvényt vásárol.
A valószínűség kiszámításához meg kell számolnunk, hogy összesen hányféleképpen lehet hat számot kihúzni, és hogy a játékos szelvényén szereplő hat szám hányféleképpen egyezhet meg a gépből kihúzott hat számmal. Mivel nincs kikötés arra vonatkozóan, hogy a számok meghatározott sorrendben legyenek, a lottóhúzás lehetséges kimeneteleinek száma
48C6 = 12.271.512. Ezek közül a lehetséges eredmények közül csak egy egyezne meg a játékos szelvényén szereplő mind a hat számmal, így a főnyeremény megnyerésének valószínűsége:
\displaystyle\frac{{{{}_{{6}}}{C}_{6}}}}{{{{{}_{{48}}}{C}_{6}}}}=\frac{{{1}}{{{12271512}}}\approx={0.0000000815}
3. példa
Az előző példában szereplő állami lottón, ha a hat kihúzott számból öt megegyezik a játékos által választott számokkal, akkor a játékos megnyeri a 1000 dolláros második díjat. Számítsuk ki annak valószínűségét, hogy egyetlen lottószelvény vásárlása esetén megnyerjük a második díjat.
A fentiek szerint a lottósorsolás lehetséges kimeneteleinek száma
48C6 = 12 271 512. Ahhoz, hogy megnyerjük a második nyereményt, a szelvényen szereplő hat számból ötnek meg kell egyeznie a hat nyerőszám közül öttel; más szóval a hat nyerőszámból ötöt, a 42 vesztes számból pedig egyet kell választanunk. A 6 nyerőszám közül 5 kiválasztásának módjainak száma 6C5 = 6, a 42 vesztes szám közül 1 kiválasztásának módjainak száma pedig 42C1 = 42. Így a kedvező kimenetelű számok számát az alapszámítási szabály adja meg: 6C5 × 42C1 = 6 × 42 = 252. Tehát a második nyeremény valószínűsége
\displaystyle\frac{{{{\left({}_{{6}}}{C}_{5}}}\right)}{\left({}_{{{42}}}{C}}_{1}}}\right)}}}{{{{{}_{48}}{C}{C}_{{6}}}}=\frac{{252}}}{{12271512}}}\approx{0.0000205}
Kipróbáld most 1
Egy közgazdasági kvíz feleletválasztós kérdése 10 kérdést tartalmaz, egyenként öt válaszlehetőséggel. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy véletlenszerűen kitaláljuk a válaszokat, és pontosan 9 kérdést kapunk helyesen.
Példa 4
Kalkuláljuk ki annak a valószínűségét, hogy véletlenszerűen húzunk öt kártyát egy pakliból, és pontosan egy ászt kapunk.
Sok kártyajátékban (például a pókerben) nem fontos a kártyák sorrendje (hiszen a játékos tetszés szerint átrendezheti a kezében lévő lapokat); a következő feladatokban ezt feltételezzük, hacsak másképp nem szerepel. Így kombinációkat használunk az 5 lapos kezek lehetséges számának kiszámításához,
52C5. Ez a szám kerül a valószínűségi képletünk nevezőjébe, mivel ez a lehetséges kimenetek száma.
A számlálóhoz szükségünk van arra, hogy hányféleképpen húzhatunk egy ászt és négy másik lapot (egyik sem ász) a pakliból. Mivel négy ász van, és pontosan egyet akarunk belőlük, ezért
4C1 módja lesz az egyik ász kiválasztásának; mivel 48 nem ász van, és négyet akarunk belőlük, ezért 48C4 módja lesz a négy nem ász kiválasztásának. Most az alapszámítási szabály segítségével kiszámoljuk, hogy 4C1 × 48C4 módja lesz egy ász és négy nem ász kiválasztásának.
Mindezt összesítve, we have
\displaystyle{P}{\left(\text{one Ace}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{1}}\right)}{\left({}_{{48}}{C}_{{4}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{778320}}{{2598960}}\approx{0.299}
5. példa
Kalkulálja ki annak a valószínűségét, hogy véletlenszerűen öt lapot húz egy pakliból, és pontosan két ászt kap.
A megoldás hasonló az előző példához, csak most 4-ből 2 ászt és 48-ból 3 nem ászt választunk; a nevező ugyanaz marad:
Hasznos megjegyezni, hogy ezek a kártyaproblémák feltűnően hasonlítanak a korábban tárgyalt lottóproblémákhoz.
Kipróbáld most 2
Kalkuláljuk ki annak a valószínűségét, hogy véletlenszerűen húzunk öt lapot egy pakli kártyából, és három ászt és két királyt kapunk.
Születésnapi probléma
Tartsunk egy kis szünetet, hogy megvizsgáljuk a valószínűségelmélet egy híres problémáját:
Tegyük fel, hogy van egy 30 fős szoba. Mekkora a valószínűsége annak, hogy van legalább egy közös születésnap?
Kitaláljuk a fenti probléma válaszát. Elég alacsony volt a tipped, például 10% körüli? Ez tűnik intuitív válasznak (talán 30/365?). Lássuk, hogy érdemes-e hallgatnunk az intuíciónkra. Kezdjük azonban egy egyszerűbb problémával:
6. példa
Tegyük fel, hogy három ember van egy szobában. Mennyi a valószínűsége annak, hogy e három ember között legalább egy közös születésnap van?
Egy csomóféleképpen lehet legalább egy közös születésnap. Szerencsére van egy egyszerűbb módja is. Feltesszük magunknak a kérdést: “Mi az alternatívája annak, hogy van legalább egy közös születésnap?”. Ebben az esetben az alternatíva az, hogy
nincs közös születésnap. Más szóval a “legalább egy” alternatívája az, hogy nincs. Más szóval, mivel ez egy kiegészítő esemény,
P(legalább egy) = 1 – P(nincs)
Azzal kezdjük tehát, hogy kiszámítjuk annak a valószínűségét, hogy nincs közös születésnap. Képzeljük el, hogy te vagy a három ember egyike. A születésnapod bármi lehet konfliktus nélkül, tehát 365-ből 365 lehetőség van a születésnapodra. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a második személynek nincs közös születésnapja? Az évben 365 nap van (hagyjuk figyelmen kívül a szökőéveket), és ha a születésnapodat kivesszük a konfliktusból, akkor 364 olyan választás van, amely garantálja, hogy nincs közös születésnapod ezzel a személlyel, tehát a valószínűsége annak, hogy a második személy nem osztozik a születésnapodon, 364/365. Most térjünk át a harmadik személyre. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ennek a harmadik személynek nem ugyanaz a születésnapja, mint neked vagy a második személynek? Van 363 olyan nap, amely nem duplikálja sem a te, sem a második személy születésnapját, tehát annak a valószínűsége, hogy a harmadik személynek nincs közös születésnapja az első kettővel, 363/365.
Azt akarjuk, hogy a második személynek ne legyen közös születésnapja veled
és a harmadik személynek ne legyen közös születésnapja az első két személlyel, ezért a szorzási szabályt használjuk:
\displaystyle{P}{\left(\text{no shared birthday}\right)}=\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\approx{0.9918}
és aztán kivonjuk 1-ből, hogy megkapjuk
P(közös születésnap) = 1 – P(nincs közös születésnap) = 1 – 0.9918 = 0.0082.
Ez egy elég kicsi szám, így talán érthető, hogy az eredeti feladatunkra adott válasz is kicsi lesz. Tegyük egy kicsit nagyobbra a csoportunkat.
7. példa
Tegyük fel, hogy öt ember van egy szobában. Mennyi a valószínűsége annak, hogy ezen öt ember között legalább egy közös születésnap van?
Folytatva az előző példa mintáját, a válasz legyen
\displaystyle{P}{\left(\text{megosztott születésnap}\right)}={1}-\frac{{365}}{{365}}\cdot\frac{{364}}{{365}}\cdot\frac{{363}}{{365}}\cdot\frac{{362}}{{365}}\cdot\frac{{361}}{{365}}\approx{0.0271}
Megjegyezzük, hogy ezt tömörebben átírhatjuk így
\displaystyle{P}{\left(\text{megosztott születésnap}\right)}={1}-\frac{{{}_{{365}}}{P}_{{5}}}}{{{365}^{{5}}}}\approx{0.0271}
mivel kicsit könnyebb a számológépbe vagy a számítógépbe beírni, és ami egy szép képletet sugall, ha tovább bővítjük a csoportunk népességét.
8. példa
Tegyük fel, hogy 30 ember van egy szobában. Mekkora a valószínűsége annak, hogy e 30 ember között legalább egy közös születésnap van?
Itt kiszámolhatjuk
\displaystyle{P}{\left(\text{megosztott születésnap}\right)}={1}-\frac{{{}_{{{365}}{P}_{{30}}}}{{{365}^{{30}}}}\approx{0.706}
amely azt a meglepő eredményt adja, hogy ha egy szobában 30 ember van, akkor 70% az esélye annak, hogy legalább egy közös születésnap van!
Ha szeretsz fogadni, és ha meg tudsz győzni 30 embert, hogy elárulják a születésnapjukat, akkor talán nyerhetsz némi pénzt azzal, hogy fogadsz egy barátoddal, hogy mindig, amikor egy 30 vagy több fős szobában vagy, legalább két azonos születésnapú ember lesz a szobában. (Természetesen meg kell győződnöd arról, hogy a barátod nem tanult valószínűségszámítást!) Nem lenne garantált a győzelem, de az esetek több mint felében nyernie kellene.
Ez egyike a valószínűségelmélet számos olyan eredményének, amely ellenkezik az intuícióval, azaz ellenkezik a megérzéseinkkel. Ha még mindig nem hiszel a matematikának, elvégezhetsz egy szimulációt. Csak azért, hogy ne kelljen 30 fős csoportokat összeterelni, valaki kedvesen kifejlesztett egy Java appletet, amivel számítógépes szimulációt végezhetsz. Látogass el erre a weboldalra:
http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html, és miután betöltődött az applet, válaszd ki a 30 születésnapot, majd kattints folyamatosan a Start és a Reset gombra. Ha nyomon követi, hogy hányszor ismétlődik a születésnap, akkor a szimuláció futtatásakor 10 alkalomból körülbelül 7 alkalommal kell ismételt születésnapot kapnia.
Kipróbálja most 3
Tegyük fel, hogy 10 ember van egy szobában. Mekkora a valószínűsége annak, hogy e 10 ember között legalább egy közös születésnap van?
- \displaystyle{P}{\left({9}\ \text(helyes válaszok}\right)}=\frac{9\cdot4}{(5^{10})}\approx0.0000037 esély
- \displaystyle{P}{\left(\text{három ász és két Ász Kings}\right)}=\frac{{{\left({}_{{4}}{C}_{{3}}\right)}{\left({}_{{4}}{C}_{{2}}\right)}}}{{{}_{{52}}{C}_{{5}}}}=\frac{{24}}{{2598960}}\approx{0.0000092}
- \displaystyle{P}{\left(\text{megosztott születésnap}\right)}={1}-\frac{{{}_{{365}}}{P}_{{10}}}}{{{365}^{{{10}}}}}\approx{0.117}
David Lippman, Math in Society, “Probability”, CC BY-SA 3.0 licenc alatt.