Mobil értesítés megjelenítése Összes jegyzet megjelenítése Összes jegyzet elrejtése
4-1. szakasz : A definíció
Tudod, mindig kicsit ijesztő, amikor egy egész szakaszt szentelünk csak valaminek a definíciójának. A Laplace-transzformációk (vagy egyszerűen csak transzformációk) ijesztőnek tűnhetnek, amikor először kezdünk el foglalkozni velük. Azonban, mint látni fogjuk, nem is olyan rosszak, mint amilyennek elsőre tűnnek.
Mielőtt a Laplace-transzformáció definíciójával kezdenénk, egy másik definíciót kell elintéznünk.
A függvényt egy intervallumon darabosan folytonosnak nevezzük, ha az intervallum véges számú részintervallumra bontható, amelyen a függvény minden nyitott részintervallumon (azaz a végpontok nélküli részintervallumon) folytonos, és minden részintervallum végpontjainál van egy véges határértéke. Az alábbiakban egy darabosan folytonos függvény vázlata látható.
Más szóval, a darabosan folytonos függvény olyan függvény, amelynek véges számú törése van, és sehol sem robban a végtelenbe.
Most nézzük meg a Laplace-transzformáció definícióját.
Definíció
Tegyük fel, hogy \(f(t)\) egy darabonként folytonos függvény. Az \(f(t)\) Laplace-transzformáltját \(\mathcal{L}\left\{ {f\left( t \right)} jelöli. \right\\}\) és a következőképpen definiált:
\
A Laplace-transzformációnak van egy alternatív jelölése is. Az egyszerűség kedvéért gyakran jelöljük a Laplace-transzformációt,
\
Ezzel az alternatív jelöléssel megjegyezzük, hogy a transzformáció valójában egy új változó, \(s\) függvénye, és hogy az összes \(t\) kiesik az integrálás során.
Most, a transzformáció definíciójában szereplő integrált improvizált integrálnak nevezzük, és valószínűleg az lenne a legjobb, ha felidéznénk, hogyan működnek az ilyen típusú integrálok, mielőtt ténylegesen belevágnánk néhány transzformáció kiszámításába.
Most, hogy már emlékszünk, hogyan kell ezeket elvégezni, számoljunk ki néhány Laplace-transzformációt. Kezdjük a talán legegyszerűbben kiszámítható Laplace-transzformációval.
Nem igazán van más dolgunk, mint a \(f(t) = 1\) függvényt beilleszteni az \(\eqref{eq:eq1}\)
\
Most, ezen a ponton vegyük észre, hogy ez nem más, mint az előző példa integrálja \(c = – s\). Ezért csak annyit kell tennünk, hogy újra felhasználjuk \(\eqref{eq:eq2}\) a megfelelő helyettesítéssel. Így megkapjuk,
\
Vagy némi egyszerűsítéssel,
\
Megjegyezzük, hogy az \(s\)-re korlátozást kellett tennünk ahhoz, hogy ténylegesen kiszámíthassuk a transzformációt. Minden Laplace-transzformációnak lesz korlátozása az \(s\)-re. A játék ezen szakaszában ezt a korlátozást hajlamosak vagyunk figyelmen kívül hagyni, de tényleg nem szabad soha elfelejtenünk, hogy ott van.
Végezzünk egy másik példát.
Tegyük be a függvényt a transzformáció definíciójába, és végezzünk egy kis egyszerűsítést.
\
Még egyszer vegyük észre, hogy \(\eqref{eq:eq2}\) feltéve, hogy \(c = a – s\). Csináljuk tehát ezt.
\
Végezzünk még egy példát, ami nem az \(\eqref{eq:eq2}\) alkalmazásán múlik.
Amint ez a példa is mutatja, a Laplace-transzformációk kiszámítása gyakran rendetlen.
Mielőtt a következő szakaszra lépnénk, egy kis mellékes megjegyzést kell tennünk. Alkalmanként a Laplace-transzformáció definíciójaként a következőt fogjuk látni.
\
Figyeljük meg az alsó határérték változását nulláról negatív végtelenre. Ezekben az esetekben szinte mindig az a feltételezés van, hogy az \(f(t)\) függvény valójában a következőképpen definiált,
\
Más szóval feltételezzük, hogy a függvény nulla, ha t<0. Ebben az esetben az integrál első fele kiesik, mivel a függvény nulla, és visszatérünk az . Általában Heaviside-függvényt használnak, hogy a függvény t<0 esetén zérus legyen. Ezeket egy későbbi szakaszban fogjuk megvizsgálni.