A 16. századi Velencében az egyenletek megoldására szolgáló képletek szigorúan őrzött szellemi tulajdonnak számítottak. Niccolo Tartaglia ballisztikus és erődítési szakértő számára különösen érdekesek voltak a négyzetes és köbös egyenletek, amelyek többek között a lövedékek repülés közbeni viselkedését modellezték. Ezek talán ismerősen csengenek az iskolai matematikából – a kvadratikus egyenletekben van egy x2-es tag, a köbös egyenletekben pedig egy x3-as tag. Tartaglia és más matematikusok észrevették, hogy egyes megoldásokhoz negatív számok négyzetgyöke szükséges, és ebben rejlik egy probléma. A negatív számoknak nincs négyzetgyökük – nincs olyan szám, amely önmagával megszorozva negatív számot adna. Ennek az az oka, hogy a negatív számok összeszorozva pozitív eredményt adnak: -2 × -2 = 4 (nem -4).
Tartaglia és riválisa, Gerolamo Cardano megfigyelte, hogy ha a számításaikban megengedik a negatív négyzetgyököket, akkor is érvényes számszerű válaszokat adhatnak (Valós számok, ahogy a matematikusok nevezik). Tartaglia ezt a nehezebb úton tanulta meg, amikor 1530-ban egy hónapig tartó egyenletmegoldó párbajban Cardano egyik tanítványa legyőzte.
- Öt furcsa tény a matematikáról
- A matematika legyőzheti a terrorizmust?
A matematikusok az i-t használják a mínusz egy négyzetgyökének jelölésére. Ezt nevezik képzeletbeli egységnek – ez nem valós szám, nem létezik a “valós” életben. Használhatjuk azonban negatív számok négyzetgyökének megtalálására. Ha ki akarom számolni a -4 négyzetgyökét, akkor azt mondhatom, hogy -4 = 4 × -1. Ez azt jelenti, hogy a -4 négyzetgyöke a 4 négyzetgyöke szorozva a -1 négyzetgyökével. Szimbólumokban:
√-4= √4×√-1
A 4 négyzetgyöke 2, a -1 négyzetgyöke pedig i, így azt a választ kapjuk, hogy a -4 négyzetgyöke 2i. Azt is meg kell jegyeznünk, hogy -2 is 4 négyzetgyöke a fent említett okok miatt. Ez azt jelenti, hogy -4 négyzetgyöke 2i és -2i.
Az i aritmetikája önmagában kezdetben akadályt jelentett a matematikusok számára. Fentebb azt állítottam, hogy egy negatív szorozva egy negatíval pozitívot ad, és mi eredendően ismerjük azt a gondolatot, hogy egy pozitív szorozva egy pozitíval pozitívot ad. A képzeletbeli egységgel ez megtörni látszik, két pozitív szorzata negatívot ad:
i × i = i2 = -1
Ezzel megegyezően itt két negatív szorzata negatívot ad:
-i × -i = i2 = -1
Ez egy ideig problémát jelentett, és egyesek úgy érezték, hogy a formális matematikában való használata nem szigorú. Rafael Bombelli, egy másik olasz reneszánsz ember, 1572-ben írt egy könyvet, amelynek címe egyszerűen Algebra volt, és amelyben megpróbálta elmagyarázni a matematikát a diplomával nem rendelkező embereknek, így ő egy korai oktatási úttörő volt. Az Algebrában elmagyarázza, hogyan lehet számtani pozitív, negatív és képzeletbeli számokkal, és érvel amellett, hogy a képzeletbeli egység (az i-t a 18. századig nem használták szimbólumként) nem pozitív és nem negatív, és ezért nem engedelmeskedik az aritmetika szokásos szabályainak.
Ezeknek a matematikusoknak a képzeletbeli számokkal kapcsolatos munkája lehetővé tette annak kidolgozását, amit ma az algebra alaptételének nevezünk. Alapvetően elmondható, hogy egy egyenlet megoldásainak száma mindig egyenlő az egyenletben szereplő ismeretlen legnagyobb hatványával. Például amikor fentebb a -4 négyzetgyökét dolgoztam ki, az x2= -4 egyenletet oldottam meg. Az egyenletben szereplő x ismeretlen legnagyobb (és egyetlen) hatványa kettő, és lám, két választ találtunk, 2i és -2i.
Egy köbös egyenletnél, ahol a legnagyobb hatvány három, három megoldást kellene kapnom. Nézzük meg az x3 + 4x = 0-t, ami ugyanolyan formájú köbös egyenlet, mint amivel Tartaglia is foglalkozott. x = 0 egy megoldás, mivel 03 – 4 × 0 = 0 – 4 × 0 = 0 – 0 = 0, ami teljesíti az egyenletet. De mi a helyzet a másik két megoldással, amit egy kockától várunk?
Nos, az egyenletnek már nincs valós megoldása, de vannak képzeletbeli megoldásai. Valójában 2i és -2i is megoldása ennek az egyenletnek, így összesen három megoldásunk van.
Hallgassa meg a Science Focus Podcast epizódjait a matematikáról:
- Mi a helyzet az algoritmusokkal? – Hannah Fry
- Mi történik, ha a matematika szörnyen, szörnyen rosszul megy? – Matt Parker
Az algebra alaptételét csak néhány száz évvel Bombelli után, 1806-ban bizonyította szigorúan Jean-Robert Argand párizsi könyvkereskedő. Argand volt az úttörője annak is, hogy a komplex számok fogalmán keresztül a képzetes számokat a geometriához kapcsolja.
A komplex számok olyan számok, amelyeknek van egy valós és egy képzetes része. Például a 4 + 2i olyan komplex szám, amelynek valós része 4, képzetes része pedig 2i. Kiderül, hogy a valós számok és a képzetes számok is komplex számok. Például a 17 olyan komplex szám, amelynek valós része 17 és képzeletbeli része nulla, az i pedig olyan komplex szám, amelynek valós része nulla.
Egy másik francia, Abraham de Moivre az elsők között kapcsolta össze a komplex számokat a geometriával 1707-es tételével, amely a komplex számokat és a trigonometriát kapcsolta össze. Argand ezután fejlesztette ki az Argand-diagramokat, amelyek olyanok, mint egy normál grafikon x- és y-tengellyel, csakhogy az ő tengelyei a valós és a képzeletbeli számok. Ezek az áttörések lehetővé tették, hogy az összetett algebrai problémákat a geometria segítségével oldjuk meg.
Mint oly sok fejlesztés a matematikában, mindez a modern elektronikus korszakig pusztán tudományos érdeklődésre tartott számot. A komplex számokról kiderült, hogy hihetetlenül hasznosak mindannak az elemzésében, ami hullámokban érkezik, mint például a rádiókban és a wifiben használt elektromágneses sugárzás, a zenei és hangkommunikációhoz használt hangjelek és a váltakozó áramú áramforrások. Hasonlóképpen, a kvantumfizika minden részecskét hullámformákra redukál, ami azt jelenti, hogy a komplex számok fontos szerepet játszanak ennek a különös világnak a megértésében, amely lehetővé tette számunkra a modern számítógépek, az optikai szálak, a GPS és az MRI-képalkotás használatát, hogy csak néhányat említsünk. Hála az égnek, hogy a matematikusok 500 évvel ezelőttől napjainkig úgy döntöttek, hogy a képzeletbeli számokat mégiscsak érdemes vizsgálni.
Kövesse a Science Focus-t Twitteren, Facebookon, Instagramon és Flipboardon
.