Exponenciális növekedés
Charles Darwinra a természetes szelekció elméletében nagy hatással volt Thomas Malthus angol lelkész. Malthus 1798-ban publikált egy könyvet, amelyben azt állította, hogy a korlátlan természeti erőforrásokkal rendelkező népesség nagyon gyorsan növekszik, majd a népességnövekedés az erőforrások kimerülésével csökken. A népességméret növekedésének ezt a gyorsuló mintázatát exponenciális növekedésnek nevezik.
Az exponenciális növekedés legjobb példáját a baktériumoknál láthatjuk. A baktériumok prokarióták, amelyek prokarióta hasadással szaporodnak. Ez az osztódás sok baktériumfaj esetében körülbelül egy órát vesz igénybe. Ha 1000 baktériumot helyezünk egy nagy lombikba, korlátlan tápanyagellátással (hogy a tápanyagok ne fogyjanak ki), akkor egy óra elteltével egy osztódási kör következik be, és minden egyes organizmus osztódik, így 2000 organizmus keletkezik – ez 1000-rel több. Egy újabb óra múlva a 2000 organizmus mindegyike megduplázódik, így 4000 keletkezik, ami 2000 organizmusos növekedést jelent. A harmadik óra elteltével 8000 baktériumnak kell lennie a lombikban, ami 4000 élőlénnyel való növekedést jelent. Az exponenciális növekedés fontos fogalma, hogy a populáció növekedési üteme – az egyes szaporodási generációkban hozzáadott szervezetek száma – gyorsul, azaz egyre nagyobb ütemben növekszik. 1 nap és 24 ilyen ciklus után a populáció 1000-ről több mint 16 milliárdra nőtt volna. Ha a populáció méretét, N-t, az idő függvényében ábrázoljuk, egy J alakú növekedési görbét kapunk (\(\PageIndex{1}\) ábra).
A baktériumos példa nem reprezentálja a valós világot, ahol az erőforrások korlátozottak. Ráadásul néhány baktérium elpusztul a kísérlet során, és így nem szaporodik, ami csökkenti a növekedési rátát. Ezért a populáció növekedési rátájának kiszámításakor a halálozási rátát (D) (az adott időintervallum alatt elpusztuló szervezetek száma) levonjuk a születési rátából (B) (az adott időintervallum alatt megszülető szervezetek száma). Ez a következő képletben látható:
A születési rátát általában egy főre (egy egyedre) vetítve fejezik ki. Tehát B (születési ráta) = bN (az egy főre jutó “b” születési ráta szorozva az “N” egyének számával) és D (halálozási ráta) =dN (az egy főre jutó “d” halálozási ráta szorozva az “N” egyének számával). Ezenkívül az ökológusokat a populáció egy adott időpontban, egy végtelenül kis időintervallumban érdekli. Ezért a differenciálszámítás terminológiáját használják a “pillanatnyi” növekedési ráta kiszámítására, a szám és az idő változását a szám és az idő pillanatnyi mérésével helyettesítve.
Megjegyezzük, hogy az első kifejezéshez kapcsolódó “d” a deriváltra utal (ahogy a számtanban használják a kifejezést), és különbözik a halálozási rátától, amelyet “\(d\)”-nek is neveznek. A születési és halálozási ráta közötti különbség tovább egyszerűsíthető, ha a születési és halálozási ráta közötti kapcsolatot az “r” (belső növekedési ráta) kifejezéssel helyettesítjük:
A “\(r\)” érték lehet pozitív, ami azt jelenti, hogy a népesség mérete növekszik; vagy negatív, ami azt jelenti, hogy a népesség mérete csökken; vagy nulla, amikor a népesség mérete változatlan, ez a nulla népességnövekedésnek nevezett állapot. A képlet további finomítása felismeri, hogy a különböző fajok belső növekedési rátája (amelyet gyakran a szaporodási potenciálként gondolnak el) még ideális körülmények között is eredendően különbözik. Nyilvánvaló, hogy egy baktérium gyorsabban szaporodik és nagyobb belső növekedési rátával rendelkezik, mint egy ember. Egy faj maximális növekedési rátája a biotikus potenciál, vagy \(r_{max}\), így az egyenlet a következőre változik: